劉春

摘要：著名數(shù)學(xué)教育學(xué)者波利亞在其著作《怎樣解題》中說過：“掌握數(shù)學(xué)意味著什么？就是說善于解題?！盵1]他認(rèn)為中學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是“加強解題的訓(xùn)練”，甚至美國數(shù)學(xué)教師聯(lián)合會把解題提高到了“學(xué)校數(shù)學(xué)核心”這一高度。而“一題多解”可以開闊學(xué)生思路，發(fā)散學(xué)生思維。尤其是平面向量自2000年回歸高考后，數(shù)量積求法問題就一直是高考選填題中的熱點內(nèi)容，經(jīng)常處于壓軸題位置。而學(xué)生掌握情況不盡如人意，因此筆者將以19年天津高考卷（理）14題的教學(xué)為例，淺談一題多解在教學(xué)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：一題多解;數(shù)量積;圖形;建系

題干：在四邊形ABCD中，AD//BC，，AD=5，∠A=30°，點E在線段CB的延長線上，且AE=BE，則_____________.

關(guān)于本題教學(xué)過程如下：

問題1：數(shù)量積求值的方法有哪些？

生1：定義法 投影法

生2：特值法

生3：向量分解法

生4：坐標(biāo)法

生5：利用極化恒等式

問題2：這道題不適宜用哪些方法？說明理由

生6：不適用定義法，因為目標(biāo)向量模長夾角均不清楚

生7：也不適用投影法，目標(biāo)向量關(guān)系太模糊，投影不容易看出來

生8：亦不適用極化恒等式法，兩向量所在的有向線段起點不重合，并且移到同一起點后終點連線所在有向線段模長也不是定值

生9：該題干具有太多數(shù)量關(guān)系，幾何關(guān)系，相互制約，不宜特殊化

師：同學(xué)們回答的都很好，數(shù)量積的求值方法是很多的，但是對于特定的題目我們要找到最適合他的方法就需要我們清楚每種方法下所對應(yīng)的典型條件

問題3：回到這個問題本身，當(dāng)你看到題干中如此多的數(shù)量和幾何關(guān)系，你的第一想法是什么？

學(xué)生齊答：畫圖

師：看來同學(xué)們都很有數(shù)形結(jié)合的思想，那么現(xiàn)在請同學(xué)們在草稿本上畫出圖形

教師巡視，并搜集情況，發(fā)現(xiàn)大家的作圖方式大概有如下兩種

問題6：

使用向量分解法如何求解？其理論依據(jù)是什么？適用于這個題嗎？

師：向量分解法主要用于處理當(dāng)目標(biāo)向量關(guān)系（模長關(guān)系，夾角關(guān)系）不明確，可依據(jù)平面向量基本定理，將目標(biāo)向量用基底表示出來，把目標(biāo)向量的數(shù)量積問題轉(zhuǎn)化成為基底間的數(shù)量積問題

問題7：本題中你會選取哪兩個向量作為基底？原因是什么？

生10：我會選取作為基底，原因是的模長和角度都是已知的

師：那請你在黑板上板書你的過程

學(xué)生板書如下

此時有學(xué)生“蠢蠢欲動”，教師繼續(xù)提問

師：你還有別的分解方法嗎？

生11：可以不分解向量，只將向量分解成為，因為與間的夾角和他們的模長都是清楚的

教學(xué)反思

1.教師要少講精講

一題多解的教學(xué)盡量做到“一題一課”，題目不宜過多，要讓學(xué)生既見樹木，又見森林，一題多解主要是從不同的角度進行思考，而角度的確定需要老師做一定的引導(dǎo)，比如案例中的問題1和問題2，不能瞎想，思考要有依據(jù)。

2.學(xué)生要參與進來

問題是課堂教學(xué)的心臟，解決問題就是課堂教學(xué)的過程[2]，問題的提出大多數(shù)情況下由老師來完成，但問題的解答，思考問題的過程都一定要讓學(xué)生來完成，比如課堂上讓學(xué)生上黑板來寫，以此保留多個同學(xué)的解題思路，拒絕只有學(xué)優(yōu)生唱獨角戲，并通過對比各種方法的異同點，讓學(xué)困生有思路，培養(yǎng)其學(xué)習(xí)的自信心與熱情。

參考文獻：

[1]G.波利亞.怎樣解題[M].涂泓.上海.上?？萍冀逃霭嫔?2018

[2]喬榮凝.陽光教師的學(xué)思課堂[M].北京.北京師范大學(xué)出版社.2021.