王妍

【摘要】小學(xué)生在之前用字母表示數(shù)等知識的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)方程這部分的知識，認(rèn)識并理解方程的意義以及性質(zhì)，并將這部分知識應(yīng)用于解決實際問題，然而學(xué)生在解決實際問題的過程中出現(xiàn)了不少問題，出現(xiàn)新舊知識的矛盾沖突。本文旨在幫助學(xué)生解決實際問題中出現(xiàn)的問題，更加深刻地理解方程的意義，并更好地應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】方程 問題解決 應(yīng)用

蘇教版數(shù)學(xué)五年級下冊第一單元安排的內(nèi)容就是簡易方程。在這個單元學(xué)生認(rèn)識了方程的含義，等式的性質(zhì)，還學(xué)會了解簡易方程的方法，在此基礎(chǔ)上還安排了列方程解決實際問題的內(nèi)容。學(xué)生在學(xué)習(xí)基本的方程知識的基礎(chǔ)上，將這部分知識用于解決日常生活中遇到的實際問題。雖然書本上對于方程的定義作出了一定的解釋，然而在利用這個定義去解決實際問題的過程中，學(xué)生出現(xiàn)了不少的問題。不過在解決這些問題的過程中，學(xué)生能夠深刻地體會方程的意義，豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)，并為后面進一步學(xué)習(xí)代數(shù)知識以及其他學(xué)科知識打下了重要的基礎(chǔ)。接下來，筆者以這一課例來進行深入研究。

【教學(xué)片段一】

出示：商店進了一批羽毛球，賣了69個，還剩31個，這一批羽毛球有多少個？

師：想一想，這道題要求什么？

生：求這一批羽毛球一共有多少個。

師：怎樣列方程解決這個問題呢？生：可以設(shè)這一批羽毛球一共有x個，根據(jù)賣出的數(shù)量+

還剩的數(shù)量=一共的數(shù)量，列出方程：69+31=x。

師：在列出的這道方程中，這個未知數(shù)可以去掉嗎？如果去掉的話影響求解嗎？

生：可以去掉，對解這道題毫無影響，同樣能計算出羽毛球的數(shù)量。

師：所以說像69+31=x這樣的方程不能體現(xiàn)列方程解決實際問題的特點，所以一般不這樣列方程。

師：還可以怎樣來列方程解答呢？

生：設(shè)這一批羽毛球一共有x個，根據(jù)一共的數(shù)量一賣出的數(shù)量一還剩的數(shù)量，列出方程：x-69=31。然后根據(jù)等式的性質(zhì)來進行解答。

師：這樣列出的方程中的未知數(shù)x可以去掉嗎？如果去掉影響計算嗎？

生：不可以去掉，去掉的話就不是一道完整的算式了。更沒法通過等式的性質(zhì)來進行求解。

生：還可以設(shè)這一批羽毛球一共有x個，根據(jù)一共的數(shù)量一還剩的數(shù)量一賣出的數(shù)量這組相等關(guān)系來列方程，列出的方程為：x-31=69。

師：下面的這兩種列方程的方法和第一種方法相比，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生：第一種列方程的方法，雖然未知數(shù)參與了列式，但在實際的計算過程中毫無作用，都可以省略，也不會影響這道題的求解。本質(zhì)上這就是算術(shù)方法，直接求出這批羽毛球一共有多少個。

生：后兩種列式的方法，未知數(shù)是不可以去掉的，去掉的話就不是一個完整的算式了，然后再根據(jù)等式的性質(zhì)求出未知數(shù)的值。

從同學(xué)們的發(fā)言中，我們可以看出來，既然要求列方程解決這個實際問題，我們列出的算式就得體現(xiàn)用方程解決實際問題的特點，不能僅僅是形式上看起來像是方程，實際本質(zhì)上卻是直接計算的方法。而且這也體現(xiàn)出了不同的思維方式，直接計算的話，就是利用已知條件直接求出未知數(shù)，這是逆向思維。而列方程來進行求解，是未知數(shù)也參與列式，根據(jù)等量關(guān)系列出方程并求出未知數(shù)，這是順向思維。順向思維更有利于去解決復(fù)雜的問題，降低解決問題的難度。張奠宙教授就對算術(shù)方法和方程方法的區(qū)別做過這樣的比喻：“比如我們要過河，到達河的對岸，算術(shù)方法就是依據(jù)現(xiàn)有的條件摸著石頭過河，而方程方法則是在河的此岸和彼岸拉一條繩子，建立關(guān)系，然后順著繩子到達對岸?！?/p>

【教學(xué)片段二】

在做書本上的這一道練習(xí)題時，班上又出現(xiàn)了不同的聲音。題目是這樣的：獵豹是世界上跑得最快的動物，時速能達到110千米，比貓的最快時速的2倍還多20千米。貓的最快時速是多少千米？

師：除了2x+20=110，還可以怎樣來列方程？

生：（110-20）÷x=2

生：（110-20）÷2=x

師：不考慮計算的難易程度，你覺得上面的幾個方程，你最喜歡哪一種，哪一種你感覺很別扭？談?wù)勀愕目捶ā?/p>

生：方程（110-20）÷2=x看起來都不像是方程了，這個未知數(shù)x好像都能去掉了，可有可無。

師：去掉這個x，這道算式還能繼續(xù)算下去嗎？

生：這個x就是我們要求的數(shù)，如果把這個未知數(shù)去掉的話，根本不影響計算，可以看出這個方程其實不是真正意義上的方程，只是看起來像是方程，而這個未知數(shù)在上面就是一個形式，對解題毫無影響。本質(zhì)上還是運用算術(shù)的方法進行計算。

師：那另外的兩個方程呢？是不是也可以去掉方程中的未知數(shù)x呢？這個未知數(shù)還是可有可無的嗎？

生：在這道方程2x+20=110中，如果去掉x的話，方程就變成了2+20=110了，就不是一個正確的算式了，更不要說再進行計算了。

生：（110-20）÷x=2，也是不可以去掉未知數(shù)x的，如果去掉的話，也就不是一道完整的算式了，也沒法進行計算了。

師：從剛剛的三道算式的對比中，我們發(fā)現(xiàn)雖然我們列的都是方程，都是含有未知數(shù)的等式，而且都是符合題意的，但是并不是所有含有未知數(shù)的等式都能體現(xiàn)列方程解決實際問題的特點。由此可見，方程中的未知數(shù)不僅要參與列式，還得要參與計算。而像我們列出的（110-20）÷2=x這道算式，未知數(shù)x實際上毫無作用，就是一個擺設(shè)，不參與運算，它的解題思路實際上還是算術(shù)方法。

師：通過上面的比較過程，你對方程又有了什么新的認(rèn)識嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)，方程不僅必須有未知數(shù)參與列式，而且這個未知數(shù)還得參與計算。

師：現(xiàn)在我們來思考一下，x=9是不是方程？

生：x=9并不是真正意義上的方程，雖然這個等式中含有未知數(shù)，但是這個未知數(shù)并沒有參與計算，所以只能說這個是方程的解。

師：那S=ah，這是平行四邊形的面積公式，你覺得這個是方程嗎？

生：當(dāng)知道平行四邊形的底和高的時候，要求面積時，如果把面積看成未知數(shù)，那列出的等式就不是方程了。例如平行四邊形的底是5cm，高是10cm，面積用未知數(shù)x來表示的話，方程就列為x=5×10。

生：如果知道底和面積求高時，這樣列出的等式就可以看作是方程了?；蛘咧栏吆兔娣e求底時，也可以看作是方程。

生：不管求哪一個未知量，這都是一道等式，是等量關(guān)系。但是根據(jù)求的未知數(shù)的不同，有時候是不能看作方程的。

師：隨著我們學(xué)習(xí)的深入，我們對方程的含義又有了更深層次的認(rèn)識和理解。由此可見，我們數(shù)學(xué)書上對于方程的定義還不是很全面，具有一定的局限性。并不是含有未知數(shù)的等式都叫方程。通過今天的學(xué)習(xí)，我們知道，真正意義上的方程必須得滿足兩個條件：一是未知數(shù)一定要參與列式，二是未知數(shù)得參與計算。像x=9，S=ah這樣表示出的等式，實際上只是長得像方程，而實際上并沒有體現(xiàn)方程計算解決問題的特點，所以它們并不是真正意義上的方程。

由于剛接觸方程，許多學(xué)生的思維仍然沒有轉(zhuǎn)變過來，在解決問題的過程中仍然使用算術(shù)的方法來解題，實際上就是沒有在頭腦中把思維從算術(shù)的方法轉(zhuǎn)到方程的方法中來，沒有體會到方程解決問題的優(yōu)越性。后續(xù)可以通過一些練習(xí)，幫助學(xué)生區(qū)別列式計算和列方程的關(guān)系，切實體會算術(shù)解法需要思路逆向，需要多加思索，理清解題思路，需要依靠已知條件去求解未知條件。而列方程解決問題，是把要求的數(shù)字當(dāng)成一個已經(jīng)存在的且具體的一個數(shù)值（用字母x來表示），根據(jù)題目中給出的數(shù)量間的相等關(guān)系列出方程，進而進行求解，思路簡單并且順暢，只需要順著題目給出的條件進行思考，順向思維，能降低解決復(fù)雜問題的難度，提高解決問題的能力。

不過想要正確地列出方程，還得充分理解題目給出的條件，找到題目中數(shù)量間的相等關(guān)系，只有找準(zhǔn)相等關(guān)系才能根據(jù)它來列出方程。此外，還得找準(zhǔn)誰才是未知數(shù)。如果題目中求解兩個量，未知數(shù)沒有找準(zhǔn)就會加大解方程的難度，使學(xué)生在解題時遇到更多的困難。還有可能出現(xiàn)雖然方程列式正確，但是方程的解不對這樣的情況。

在問題解決中應(yīng)讓學(xué)生不斷認(rèn)識方程的意義，更加全面地去理解方程的意義，從而能夠準(zhǔn)確地利用方程的知識去解決問題，化難為易，真正把方程的知識學(xué)透徹，便于解決實際問題。