李莉莉

摘 要：高中階段的解析幾何問(wèn)題一般是以綜合題的類型出現(xiàn)，考查學(xué)生的幾何知識(shí)，以及觀形、設(shè)參、轉(zhuǎn)化、替換等數(shù)學(xué)思想的能力.解析幾何的最值問(wèn)題的求解方法與代數(shù)、圓錐曲線、目標(biāo)函數(shù)中的最值問(wèn)題有一定的區(qū)別，同時(shí)又存在著某種聯(lián)系.本文主要通過(guò)對(duì)一些相關(guān)例題的介紹，幫助同學(xué)們總結(jié)出一些比較典型的解題方法，希望同學(xué)們能在學(xué)習(xí)的過(guò)程中快速總結(jié)解題技巧，提高個(gè)人的解決問(wèn)題的能力以及數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí).

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);課堂教學(xué);最值問(wèn)題

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）10-0016-02

一、聯(lián)系平面幾何知識(shí)求解解析幾何的最值問(wèn)題

有一類解析幾何問(wèn)題會(huì)與平面幾何的知識(shí)建立密切的聯(lián)系，同學(xué)們需要借助題目中的已知條件建立坐標(biāo)系，并尋找目標(biāo)函數(shù)，然后將平面圖形的解析式與解析幾何的解析式放在坐標(biāo)系中，尋找兩個(gè)圖象之間的關(guān)系，再利用求解函數(shù)最值問(wèn)題的方式尋找問(wèn)題的答案.

例1 假設(shè)P點(diǎn)是直線l：x-y+9=0上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P做出與橢圓C：x212+y23=1存在共同焦點(diǎn)的橢圓D，如果其長(zhǎng)軸最短，試著求出橢圓D的方程.

分析 題目中給出了橢圓曲線的方程，同學(xué)們需要先找到橢圓的焦點(diǎn)，然后判斷橢圓與直線方程的位置關(guān)系，之后可將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可將題目中的“橢圓D的長(zhǎng)軸最短”這個(gè)已知條件通過(guò)分析轉(zhuǎn)化為求解在直線l上求點(diǎn)P并使得|PF1|+|PF2|最小，從而求解題目要求.

解 由題目已知條件可知橢圓D的焦點(diǎn)為F1（-3，0）、F2（3，0）.

設(shè)存在點(diǎn)F1（x，y）是點(diǎn)F1（-3，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，可以解得F1坐標(biāo)為（-9，6）.

在坐標(biāo)系上連接F1F2，則直線F1F2與直線l的交點(diǎn)為P，如圖所示.

F1F2的方程求得y=-12x +32，將該方程與直線l聯(lián)立可求得P點(diǎn)坐標(biāo)為P（-5，4）.

設(shè)橢圓D的方程為：x212+λ+y23+λ=1

又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓D上，將P點(diǎn)坐標(biāo)帶入可得λ=33

因此橢圓D的方程為x45+y236=1

二、結(jié)合圓錐曲線定義及相關(guān)性質(zhì)求解解析幾何的最值問(wèn)題

在高中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的解析幾何問(wèn)題有橢圓、雙曲線、拋物線等等，相關(guān)的性質(zhì)、定義在課堂上都有幫助同學(xué)們進(jìn)行總結(jié)，在日常練習(xí)的時(shí)候需要同學(xué)們準(zhǔn)確地把握相關(guān)的知識(shí)，靈活的運(yùn)用解決解析幾何的最值問(wèn)題.而在運(yùn)用定義和性質(zhì)解決相關(guān)圓錐曲線問(wèn)題時(shí)，可能會(huì)在圖線中出現(xiàn)三角形，同學(xué)們要切記可以使用三角形的相關(guān)性質(zhì)解答，該性質(zhì)為： “三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊.”例如下面這道題.

例2 假設(shè)線段AB的長(zhǎng)固定不變?yōu)?，假設(shè)線段AB的兩端都在拋物線y2=x上移動(dòng)，如果線段AB的中點(diǎn)為M，試著求解點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離，并且求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)具體為多少.

分析：題目中給出的拋物線方程式的圖象為開(kāi)口向右的在第一象限和第四象限的圖象，而且題目中的已知條件可得AB在拋物線上移動(dòng)但AB連接的線段的長(zhǎng)是固定不變的.同學(xué)們首先需要求出拋物線的焦點(diǎn)F，然后將圖象上的A、B、F三點(diǎn)連接成一個(gè)三角形，試著將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而確定線段AB的位置.

解 根據(jù)題目條件可設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，分別作AC、BD、MK垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線l在點(diǎn)C、D、K上，如圖所示：

則根據(jù)題目條件可知

|MK|=12（|AC|+|BD|）=12（|AF|+|BF|） ≥12|AB|=32

即當(dāng)線段AB是過(guò)F點(diǎn)的弦時(shí)，

|AF|+|BF|=|AB|

此時(shí)可求得|MK|可以取最小值32，

則此時(shí)點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離最短.

又因?yàn)閽佄锞€焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（14，0），準(zhǔn)線方程為x=-14，

因此點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離為32-14=54，即xM=54.

因此xA+xB=2xM=52，即y2A+y2B=52，而y2M=（yA+yB2）2=14（y2A+y2B+2yAyB）

又因?yàn)锳B過(guò)點(diǎn)F，因此yAyB=-14，故y2M=14·（52-12）=12，即yM=±22.

當(dāng)M到y(tǒng)軸的距離最短時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為

（54，22），

（54，-22）

三、建立目標(biāo)函數(shù)求解函數(shù)的最值

求解圓錐曲線的最值問(wèn)題可以將題目轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問(wèn)題，因?yàn)閳A錐曲線方程本質(zhì)上來(lái)講也是一種函數(shù)的存在形式，所以同學(xué)們可以建立相關(guān)的目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)題目的要求對(duì)題目問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而簡(jiǎn)化解題的過(guò)程，提高解題的準(zhǔn)確性.

例3 已知拋物線C的焦點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，拋物線C的頂點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，若存在直線l：x+y+m=0（m>0）與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)，試求當(dāng)△AOB面積最大取值為26時(shí)直線l的方程.

分析 這道題目中，同學(xué)們首先應(yīng)該根據(jù)題目中給出的相關(guān)條件

設(shè)出題目中方程的形式，分別將拋物線的方程和頂點(diǎn)用未知數(shù)的方式設(shè)出來(lái)，然后根據(jù)相關(guān)的點(diǎn)求解點(diǎn)到直線的距離，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，從而得出拋物線的方程和直線方程.

解 根據(jù)題目可知拋物線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），且a<0，

因此拋物線的方程為y2=2（-2a）（x-a），即y2=-4a（x-a）.

將直線l與拋物線C的方程聯(lián)立可得

x+y+m=0y2=-4a（x-a）

消去y可得：

x2+（2m+4a）x+m2-4a2=0

該方程判別式

Δ=（2m+4a）2-4（m2-4a2）>0，解得：

m<-2a，從而x1+x2=-2m-4ax1x2=m2-4a2

由弦長(zhǎng)公式可得

|AB|=2·（x1+x2）2-4x1x2

=2·32a2+16ma

O到AB的距離為

d=m2

故△AOB的面積為

S△AOB =12·2·32a2+16ma·m2=8a2+4ma·m

=2·（-a）（-4a-2m）·m·m

≤2·（-a）·（-4a3）3=26

故a=-32

當(dāng)且僅當(dāng)-4a-2m=m，即m=2時(shí)（適合m<-2a的要求）S△AOB 的面積最大.

因此拋物線C的方程為y2=6（x+32），直線l的方程為x+y+2=0.

解析幾何中的最值問(wèn)題的常用方法還有很多，希望各位同學(xué)能在遇到相關(guān)題目時(shí)注意總結(jié)，注意建立目標(biāo)函數(shù)，準(zhǔn)確地把握解析幾何的相關(guān)定義和性質(zhì)，從而利用函數(shù)的相關(guān)知識(shí)求解最值，提高學(xué)生的解題能力，讓同學(xué)們學(xué)過(guò)的知識(shí)都能達(dá)到融會(huì)貫通的程度.

參考文獻(xiàn)：

[1]姜坤崇.解析幾何最值問(wèn)題的解法[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)（高中版）， 2015（6）：25-26.

[2]蔡玉書.解析幾何中的最值問(wèn)題[J].中等數(shù)學(xué)，2015（02）：17-22.

[責(zé)任編輯：李 璟]