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        解析幾何最值問(wèn)題求解的基本思路探究

        2021-09-10 07:22:44李莉莉
        關(guān)鍵詞:最值問(wèn)題高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)

        李莉莉

        摘 要:高中階段的解析幾何問(wèn)題一般是以綜合題的類型出現(xiàn),考查學(xué)生的幾何知識(shí),以及觀形、設(shè)參、轉(zhuǎn)化、替換等數(shù)學(xué)思想的能力.解析幾何的最值問(wèn)題的求解方法與代數(shù)、圓錐曲線、目標(biāo)函數(shù)中的最值問(wèn)題有一定的區(qū)別,同時(shí)又存在著某種聯(lián)系.本文主要通過(guò)對(duì)一些相關(guān)例題的介紹,幫助同學(xué)們總結(jié)出一些比較典型的解題方法,希望同學(xué)們能在學(xué)習(xí)的過(guò)程中快速總結(jié)解題技巧,提高個(gè)人的解決問(wèn)題的能力以及數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí).

        關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué);課堂教學(xué);最值問(wèn)題

        中圖分類號(hào):G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1008-0333(2021)10-0016-02

        一、聯(lián)系平面幾何知識(shí)求解解析幾何的最值問(wèn)題

        有一類解析幾何問(wèn)題會(huì)與平面幾何的知識(shí)建立密切的聯(lián)系,同學(xué)們需要借助題目中的已知條件建立坐標(biāo)系,并尋找目標(biāo)函數(shù),然后將平面圖形的解析式與解析幾何的解析式放在坐標(biāo)系中,尋找兩個(gè)圖象之間的關(guān)系,再利用求解函數(shù)最值問(wèn)題的方式尋找問(wèn)題的答案.

        例1 假設(shè)P點(diǎn)是直線l:x-y+9=0上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P做出與橢圓C:x212+y23=1存在共同焦點(diǎn)的橢圓D,如果其長(zhǎng)軸最短,試著求出橢圓D的方程.

        分析 題目中給出了橢圓曲線的方程,同學(xué)們需要先找到橢圓的焦點(diǎn),然后判斷橢圓與直線方程的位置關(guān)系,之后可將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,可將題目中的“橢圓D的長(zhǎng)軸最短”這個(gè)已知條件通過(guò)分析轉(zhuǎn)化為求解在直線l上求點(diǎn)P并使得|PF1|+|PF2|最小,從而求解題目要求.

        解 由題目已知條件可知橢圓D的焦點(diǎn)為F1(-3,0)、F2(3,0).

        設(shè)存在點(diǎn)F1(x,y)是點(diǎn)F1(-3,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn),可以解得F1坐標(biāo)為(-9,6).

        在坐標(biāo)系上連接F1F2,則直線F1F2與直線l的交點(diǎn)為P,如圖所示.

        F1F2的方程求得y=-12x +32,將該方程與直線l聯(lián)立可求得P點(diǎn)坐標(biāo)為P(-5,4).

        設(shè)橢圓D的方程為:x212+λ+y23+λ=1

        又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓D上,將P點(diǎn)坐標(biāo)帶入可得λ=33

        因此橢圓D的方程為x45+y236=1

        二、結(jié)合圓錐曲線定義及相關(guān)性質(zhì)求解解析幾何的最值問(wèn)題

        在高中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的解析幾何問(wèn)題有橢圓、雙曲線、拋物線等等,相關(guān)的性質(zhì)、定義在課堂上都有幫助同學(xué)們進(jìn)行總結(jié),在日常練習(xí)的時(shí)候需要同學(xué)們準(zhǔn)確地把握相關(guān)的知識(shí),靈活的運(yùn)用解決解析幾何的最值問(wèn)題.而在運(yùn)用定義和性質(zhì)解決相關(guān)圓錐曲線問(wèn)題時(shí),可能會(huì)在圖線中出現(xiàn)三角形,同學(xué)們要切記可以使用三角形的相關(guān)性質(zhì)解答,該性質(zhì)為: “三角形的兩邊之和大于第三邊,三角形的兩邊之差小于第三邊.”例如下面這道題.

        例2 假設(shè)線段AB的長(zhǎng)固定不變?yōu)?,假設(shè)線段AB的兩端都在拋物線y2=x上移動(dòng),如果線段AB的中點(diǎn)為M,試著求解點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離,并且求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)具體為多少.

        分析:題目中給出的拋物線方程式的圖象為開(kāi)口向右的在第一象限和第四象限的圖象,而且題目中的已知條件可得AB在拋物線上移動(dòng)但AB連接的線段的長(zhǎng)是固定不變的.同學(xué)們首先需要求出拋物線的焦點(diǎn)F,然后將圖象上的A、B、F三點(diǎn)連接成一個(gè)三角形,試著將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,從而確定線段AB的位置.

        解 根據(jù)題目條件可設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,分別作AC、BD、MK垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線l在點(diǎn)C、D、K上,如圖所示:

        則根據(jù)題目條件可知

        |MK|=12(|AC|+|BD|)=12(|AF|+|BF|) ≥12|AB|=32

        即當(dāng)線段AB是過(guò)F點(diǎn)的弦時(shí),

        |AF|+|BF|=|AB|

        此時(shí)可求得|MK|可以取最小值32,

        則此時(shí)點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離最短.

        又因?yàn)閽佄锞€焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(14,0),準(zhǔn)線方程為x=-14,

        因此點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離為32-14=54,即xM=54.

        因此xA+xB=2xM=52,即y2A+y2B=52,而y2M=(yA+yB2)2=14(y2A+y2B+2yAyB)

        又因?yàn)锳B過(guò)點(diǎn)F,因此yAyB=-14,故y2M=14·(52-12)=12,即yM=±22.

        當(dāng)M到y(tǒng)軸的距離最短時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為

        (54,22),

        (54,-22)

        三、建立目標(biāo)函數(shù)求解函數(shù)的最值

        求解圓錐曲線的最值問(wèn)題可以將題目轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問(wèn)題,因?yàn)閳A錐曲線方程本質(zhì)上來(lái)講也是一種函數(shù)的存在形式,所以同學(xué)們可以建立相關(guān)的目標(biāo)函數(shù),根據(jù)題目的要求對(duì)題目問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,從而簡(jiǎn)化解題的過(guò)程,提高解題的準(zhǔn)確性.

        例3 已知拋物線C的焦點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,拋物線C的頂點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上,若存在直線l:x+y+m=0(m>0)與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn),試求當(dāng)△AOB面積最大取值為26時(shí)直線l的方程.

        分析 這道題目中,同學(xué)們首先應(yīng)該根據(jù)題目中給出的相關(guān)條件

        設(shè)出題目中方程的形式,分別將拋物線的方程和頂點(diǎn)用未知數(shù)的方式設(shè)出來(lái),然后根據(jù)相關(guān)的點(diǎn)求解點(diǎn)到直線的距離,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題,從而得出拋物線的方程和直線方程.

        解 根據(jù)題目可知拋物線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(a,0),且a<0,

        因此拋物線的方程為y2=2(-2a)(x-a),即y2=-4a(x-a).

        將直線l與拋物線C的方程聯(lián)立可得

        x+y+m=0y2=-4a(x-a)

        消去y可得:

        x2+(2m+4a)x+m2-4a2=0

        該方程判別式

        Δ=(2m+4a)2-4(m2-4a2)>0,解得:

        m<-2a,從而x1+x2=-2m-4ax1x2=m2-4a2

        由弦長(zhǎng)公式可得

        |AB|=2·(x1+x2)2-4x1x2

        =2·32a2+16ma

        O到AB的距離為

        d=m2

        故△AOB的面積為

        S△AOB =12·2·32a2+16ma·m2=8a2+4ma·m

        =2·(-a)(-4a-2m)·m·m

        ≤2·(-a)·(-4a3)3=26

        故a=-32

        當(dāng)且僅當(dāng)-4a-2m=m,即m=2時(shí)(適合m<-2a的要求)S△AOB 的面積最大.

        因此拋物線C的方程為y2=6(x+32),直線l的方程為x+y+2=0.

        解析幾何中的最值問(wèn)題的常用方法還有很多,希望各位同學(xué)能在遇到相關(guān)題目時(shí)注意總結(jié),注意建立目標(biāo)函數(shù),準(zhǔn)確地把握解析幾何的相關(guān)定義和性質(zhì),從而利用函數(shù)的相關(guān)知識(shí)求解最值,提高學(xué)生的解題能力,讓同學(xué)們學(xué)過(guò)的知識(shí)都能達(dá)到融會(huì)貫通的程度.

        參考文獻(xiàn):

        [1]姜坤崇.解析幾何最值問(wèn)題的解法[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)(高中版), 2015(6):25-26.

        [2]蔡玉書.解析幾何中的最值問(wèn)題[J].中等數(shù)學(xué),2015(02):17-22.

        [責(zé)任編輯:李 璟]

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