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        高中數(shù)學(xué)解題中隱含條件的挖掘

        2021-09-10 18:09:42俞梅清
        關(guān)鍵詞:隱含條件高中數(shù)學(xué)解題

        俞梅清

        摘 要:在高中數(shù)學(xué)解題中,學(xué)生能否挖掘和利用數(shù)學(xué)題中的隱含條件,影響到了數(shù)學(xué)解題的正確性和合理性.然而,并非所有的學(xué)生都能準(zhǔn)確、快速地挖掘數(shù)學(xué)題干中的隱含條件,致使解題的準(zhǔn)確率有所下降.因此,本文將結(jié)合高中數(shù)學(xué)有關(guān)內(nèi)容,就如何引導(dǎo)學(xué)生挖掘數(shù)學(xué)題中的隱含條件展開如下研究.

        關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué);隱含條件;解題;研究

        中圖分類號:G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1008-0333(2021)10-0020-02

        通常學(xué)生容易忽略數(shù)學(xué)題中的隱含信息,導(dǎo)致無法迅速尋找到題目中的關(guān)鍵線索以及問題解決思路,進(jìn)而促使解題效果不樂觀.為了引起學(xué)生對數(shù)學(xué)題中隱含條件的重視,本文將重點(diǎn)分析高中數(shù)學(xué)解題中隱含條件的挖掘方法,使得學(xué)生意識到隱含條件的重要性.

        一、在高中數(shù)學(xué)幾何問題中挖掘隱含條件學(xué)生若懂得將隱含在幾何問題中的條件挖掘出來,這樣往往可以迅速為解題提供關(guān)鍵的線索與條件,從而可以順利地尋找出幾何問題的解決思路,進(jìn)而收到事半功倍的解題效果.對于一些非常規(guī)思路的解題方式,往往需要更多的條件,包括題干中的顯性條件以及隱含條件,而隱含條件則需要學(xué)生對題目進(jìn)行再進(jìn)一步的分析,同時(shí)也需要教師給予適當(dāng)?shù)奶狳c(diǎn),以讓學(xué)生養(yǎng)成挖掘題目隱含條件的習(xí)慣與意識.

        那么從下面這道高中數(shù)學(xué)幾何問題為例:

        已知橢圓

        x245+y220=1的焦點(diǎn)為F1和F2.經(jīng)過原點(diǎn)O,作直線和橢圓相交于AB兩點(diǎn),若△ABF2的面積為20,請求出直線AB的方程.

        解題分析 當(dāng)學(xué)生拿到這道關(guān)于橢圓的幾何問題時(shí),應(yīng)該對題目進(jìn)行詳細(xì)地閱讀,以了解和掌握題目中的基本信息,如題目中的已知條件:橢圓x245+y220=1、△ABF2面積為20、經(jīng)原點(diǎn)作直線等.在基本認(rèn)知題目中的已知條件后,通常很多學(xué)生會想到運(yùn)用設(shè)直線AB方程為y=kx(k≠0),再將題目中的橢圓方程代入進(jìn)去,從而計(jì)算出直線AB的絕對值,最后使用F2點(diǎn)到直線AB距離進(jìn)行有關(guān)的求解.雖然學(xué)生可以通過一系列的計(jì)算來解答出直線AB的方程,但是這會花費(fèi)學(xué)生較多的計(jì)算時(shí)間,也容易讓學(xué)生在計(jì)算中出現(xiàn)偏差,從而導(dǎo)致解題的失誤.比方說,題目中的直線過原點(diǎn)O交于橢圓A、B兩點(diǎn),那么可以利用這個(gè)條件將AF1與BF2相連接,就可以獲知四邊形AF1BF2是一個(gè)平行四邊形的隱含條件,另外也得到△AF1F2也為20的又一隱含條件,這樣學(xué)生就可以更加簡單地解答出幾何問題,而不容進(jìn)行過多的復(fù)雜計(jì)算.

        解題過程:設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1),由橢圓方程得知c2=a2-b2=25,所以c為5.

        又∵|F1F2|=2c=10,

        ∴S△ABF2=S△AF1F2=|F1F2|-|y1|,

        ∴12×10×|y1|=20,以此得知y1=4(y1>0).

        又∵A點(diǎn)位于橢圓之上,

        ∴x245+1620=1,從這個(gè)式子中,得到x1=±3.

        所以,直線AB的斜率就是k=±43,這樣學(xué)生就可以得到直線方程AB為y=±43x.

        解題反思 通過對幾何問題中的隱含信息分析與挖掘,能夠?yàn)閹缀螁栴}的解答挖掘到關(guān)鍵的隱含條件,從而迅速尋找到解題的思路與路徑,進(jìn)而提升解題的效率以及準(zhǔn)確性.因此,當(dāng)學(xué)生遇到幾何問題時(shí),不僅要關(guān)注到題目中的已知條件,還應(yīng)該懂得結(jié)合多元化的解題思維,挖掘更多能夠使用的隱含條件,以支撐起新的解題方法,從而將挖掘到的隱含幾何條件轉(zhuǎn)化為解題的重要線索.

        二、在高中數(shù)學(xué)代數(shù)函數(shù)求極值問題中挖掘隱含條件

        極值問題也是高中數(shù)學(xué)考試中比較常見的數(shù)學(xué)問題,但是一些求極值問題所給的已知條件比較少,甚至一些題目只給一個(gè)函數(shù)等式,就要求學(xué)生進(jìn)行最大最小值的求解,而學(xué)生閱讀題目之后會感覺到無從下手、毫無思緒,不知道該從什么角度進(jìn)行問題的解答,從而陷入了解題的僵局.其中,教師仍可以從挖掘題目隱含條件的方式,引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)有題目中挖掘隱含的條件信息,從而為解題提供更多可用條件,并將條件作為線索,進(jìn)行代數(shù)求極值問題的解答.

        如下例題:請求函數(shù)y=x-1+5-x的最大最小值.

        解題分析 對于上述這道代數(shù)函數(shù)求極值問題中,很多學(xué)生會感覺到難以入手,甚至有些學(xué)生放棄作答問題,而如果學(xué)生能夠挖掘其中隱含的信息條件,就可以打開解題思維,尋找到解題的路徑.首先,從題目中,學(xué)生可以將注意力集中到自變量x,并且結(jié)合題目中的函數(shù),得出自變量x的取值范圍為1≤x≤5.然后,根據(jù)1≤x≤5這個(gè)隱含在題目中的條件,學(xué)生就將這道看似毫無頭緒的代數(shù)函數(shù)求極值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)有關(guān)問題,從而結(jié)合三角函數(shù)知識進(jìn)行問題的解答.

        解題過程 由x-1≥0和5-x≥0,得到函數(shù)定義域?yàn)?≤x≤5,那么0≤x-1≤4,∴令x=4sin2θ+1(0≤θ≤π2),以此得知y=2sinθ+2cosθ=22sin(θ+

        π4),

        進(jìn)而得到函數(shù)y的最大最小值為22和2.

        解題反思 通過對上述求極值問題中的隱含條件挖掘,能夠讓學(xué)生找到有效地解題路徑,促使學(xué)生可以快速地解答出問題.可是,如果學(xué)生沒有找到題目中的關(guān)鍵突破口,就很難尋找到隱含條件,如本題中的關(guān)鍵突破口就是自變量x,它看似不起眼,可就是它成為該道問題的解題關(guān)鍵線索.

        三、在高中數(shù)學(xué)數(shù)列問題中挖掘隱含條件

        教師可以結(jié)合學(xué)生日常錯(cuò)解進(jìn)行分析,從而讓學(xué)生意識到自己是哪里開始出現(xiàn)解題的偏差,并在此基礎(chǔ)之上,幫助學(xué)生了解錯(cuò)因并重新審題,以將題目中遺漏的信息重新挖掘出來,進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生尋找到更為關(guān)鍵的題目隱含條件.

        如下面這道數(shù)列問題:已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和為①Sn=2n2-n;② Sn=n2+n +1,請求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

        解題分析 在解答過程中,學(xué)生往往在數(shù)列概念理解上出現(xiàn)錯(cuò)誤,從而進(jìn)行錯(cuò)誤的解答,如將①an=2n2-n-2(n-1)2+(n-1)=4n-3;

        ②an=n2+n+1-(n-1)2-(n-1)-1=2n.

        學(xué)生出現(xiàn)上述解答的錯(cuò)誤,主要是僅關(guān)注到了題干中的①Sn=2n2-n;②Sn=n2+n+1 ,并順理成章的利用an=Sn-Sn-1的關(guān)系進(jìn)行問題的解答,卻沒有注意到a1=S1的隱含條件信息,從而解答出錯(cuò)誤的答案.因此,學(xué)生應(yīng)該懂得挖掘題目中的數(shù)列關(guān)系,將存在的a1=S1的隱含條件挖掘出來,才能真正的求出{an}的通項(xiàng)公式.

        解題過程 ①當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1

        當(dāng)n≥2時(shí),an=2n2-n-2(n-1)2+(n-1)=4n-3 ,經(jīng)檢驗(yàn)得

        n=1時(shí),a1=1,也適合,

        ∴an=4n-3

        ②當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=3當(dāng)n≥2時(shí),

        an=n2+n+1-(n-1)2-(n-1)-1=2n

        ∴an=32n (n=1)(n≥2)

        解題反思 可見,在這道數(shù)列問題中,如果學(xué)生忽略了a1= S1的隱含條件信息,就無法正確解答出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,這與學(xué)生是否認(rèn)真讀題、是否真正掌握數(shù)列概念有關(guān).所以,在實(shí)際解答問題的過程中,學(xué)生即要樹立全面的解題思維,還要認(rèn)真掌握有關(guān)的數(shù)學(xué)概念,從而利用數(shù)學(xué)概念來幫助自己尋找到題目的關(guān)鍵隱含信息,進(jìn)而挖掘出可用的解題隱含條件,最終正確、全面的解答出問題的答案.

        綜上所述,隱含條件是高中數(shù)學(xué)解題中的一個(gè)不容忽視的條件,而學(xué)生即要懂得挖掘又要懂得利用,才能發(fā)揮出隱含條件的作用,進(jìn)而將隱含條件轉(zhuǎn)化為解題的關(guān)鍵線索.因此,教師仍要注意培養(yǎng)學(xué)生挖掘數(shù)學(xué)題目中隱含條件的能力.

        參考文獻(xiàn):

        [1]湯佳儀.高中數(shù)學(xué)解題中隱含條件的挖掘途徑[J].高考,2019,2(3):35.

        [2]鄭昭霞.高中數(shù)學(xué)解題中隱含條件的分析與應(yīng)用探討[J].中學(xué)課程輔導(dǎo),2016,10(33):92.

        [3]錢瑋.挖掘數(shù)學(xué)隱含條件,找到解題突破關(guān)鍵[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2019,12(31):129.

        [責(zé)任編輯:李 璟]

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