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        對2020年新課標(biāo)Ⅰ卷壓軸題的解法探究

        2021-09-10 18:09:42劉彥永

        劉彥永

        摘 要:對2020年新課標(biāo)Ⅰ卷文科第21題進(jìn)行了試題分析、解法探究,旨在掌握這類試題的解題策略.

        關(guān)鍵詞:高考試題;壓軸題;定點(diǎn);解法探究

        中圖分類號:G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1008-0333(2021)10-0050-03

        2020年高考新課標(biāo)Ⅰ卷文科第21題,引起了筆者的深入探索和思考.題目如下:

        已知A、B分別為橢圓E:x2a2+y2=1(a>1)的左、右頂點(diǎn),G為E的上頂點(diǎn),AG·GB=8,P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn),PA與E的另一交點(diǎn)為C,PB與E的另一交點(diǎn)為D.

        (1)求E的方程;

        (2)證明:直線CD過定點(diǎn).

        一、試題分析

        本題也是2020年高考全國1卷理科第20題,考查了曲線的方程和圓錐曲線中直線過定點(diǎn)問題.問題由淺入深,對計(jì)算難度、思維深度的要求逐步提高.考查學(xué)生的推理論證能力和代數(shù)運(yùn)算能力.考查層次分明、區(qū)分度較高,能使學(xué)生充分展示理性思維的廣度和深度和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

        二、解法探究

        本題第(2)問的解法很多,不同的解圖1法體現(xiàn)不同的思維層次和思考角度,要求學(xué)生要有一種勇于探索、敢于實(shí)踐的精神.

        解析 (1)根據(jù)題意作圖如下:

        由橢圓方程E:x2a2+y2=1(a>1)可得A-a,0, Ba,0,G0,1,故AG=a,1,GB=a,-1,因此AG·GB=a2-1=8,所以a2=9,橢圓方程為x29+y2=1.

        下面對第二問深入探討:

        解法1 設(shè)點(diǎn)表線解決問題

        (2)證明:設(shè)P6,t,則直線AP的方程為

        y=t9x+3.

        聯(lián)立直線AP的方程與橢圓方程可得

        x29+y2=1y=t9x+3,

        整理得

        t2+9x2+6t2x+9t2-81=0,

        解得x=-3或x=-3t2+27t2+9

        將x=-3t2+27t2+9

        代入直線y=t9x+3,

        可得y=6tt2+9,

        所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為-3t2+27t2+9,6tt2+9,同理點(diǎn)D的坐標(biāo)為3t2-3t2+1,-2tt2+1.

        當(dāng)直線CD斜率不存在時(shí),即-3t2+27t2+9=3t2-3t2+1,解得t2=3,此時(shí)直線CD的方程為x=32.

        當(dāng)直線CD斜率存在時(shí),直線CD的方程為y--2tt2+1=6tt2+9--2tt2+1-3t2+27t2+9-3t2-3t2+1x-3t2-3t2+1,

        整理得y+2tt2+1=8tt2+369-t4x-3t2-3t2+1=8t63-t2x-3t2-3t2+1,即y=4t33-t2x+2tt2-3=4t33-t2x-32

        綜上所述,直線CD恒過定點(diǎn)32,0.

        點(diǎn)評 對滿足一定條件曲線上兩點(diǎn)連結(jié)所得直線過定點(diǎn)問題,設(shè)該直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo),建立點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的方程,求出相應(yīng)的直線,然后再說明直線過定點(diǎn).

        解法2 設(shè)點(diǎn)設(shè)線解決問題

        設(shè)P6,t、C(x1,y1)、D(x2,y2),直線CD方程為x=ty+n(-3<n<3),則由x29+y2=1x=ty+n知(t2+9)y2+2tny+n2-9=0,

        y1+y2=-2tnt2+9,y1y2=n2-9t2+9(*)

        由三點(diǎn)共線知y1=t9(x1+3),y2=t3(x2-3),

        即y21=t281(x1+3)2,y22=t29(x2-3)2.

        由C(x1,y1)、D(x2,y2)在橢圓x29+y2=1上,知y21=1-x219,y22=1-x229.故y21y22=(x1+3)29(x2-3)=9-x219-x22,

        整理得4x1x2-15(x1+x2)+36=0,

        即4(ty1+n)(ty2+n)-15(ty1+ty2+2n)+36=0,

        結(jié)合(*)式整理有2n2-15n+18=0,解得n=6(舍)或n=32,直線CD方程為x=ty+32,故直線CD恒過定點(diǎn)32,0.

        點(diǎn)評 解法2巧妙利用坐標(biāo)的平方,再結(jié)合點(diǎn)在橢圓上處理問題,這就是曲線代換,2011年四川理科高考圓錐曲線題就可以用曲線代換解決.反設(shè)直線也避免了討論斜率是否存的情況,事實(shí)上,先討論斜率不存在,再設(shè)直線CD方程為y=kx+m解決問題也會(huì)有巧妙處理技巧,在此不贅述.

        解法3 整體法解決問題

        同解法2可知,2tny1y2=(9-n2)(y1+y2)(**)

        由三點(diǎn)共線知y1=t9(x1+3),y2=t3(x2-3),y1y2=x1+33(x2-3)=ty1+n+33(ty2+n-3)

        整理得2ty1y2+3(n-3)y1-(n+3)y2=0,結(jié)合(**)式有

        (2n2-9n+9)y1+(-2n2-3n+9)y2=0,

        故2n2-9n+9=0-2n2-3n+9=0,解得n=32.

        直線CD方程為x=ty+32,故直線CD恒過定點(diǎn)32,0.

        點(diǎn)評 解法3利用韋達(dá)定理很難處理,然而利用(**)式進(jìn)行替換,利用整體法就很巧妙地解決了問題.這種代數(shù)變形的技巧需要積累多了才能用得靈活.

        解法4 先猜后證解決問題

        證明:根據(jù)已知條件的特征和橢圓的對稱性,可以猜想到該定點(diǎn)一定在x軸上.

        同解法1得到點(diǎn)C-3t2+27t2+9,6tt2+9、D3t2-3t2+1,-2tt2+1.

        當(dāng)直線CD斜率不存在時(shí),得t2=3,

        此時(shí)直線CD的方程為x=32,過x軸上點(diǎn)M32,0.

        當(dāng)直線CD斜率存在時(shí), MC=-9t2+272(t2+9),6tt2+9,MD=3t2-92(t2+1),-2tt2+1,

        由-9t2+272(t2+9)·-2tt2+1-6tt2+9·3t2-92(t2+1)=0,知MC與MD共線,即直線CD過定點(diǎn)M32,0.綜上所述,直線CD恒過定點(diǎn)32,0.

        點(diǎn)評 面對復(fù)雜問題時(shí),可從特殊情況入手,以確定可能的定點(diǎn),然后再驗(yàn)證該點(diǎn)對一般情況是否符合.解法2利用先猜后證思想,不失為破解此類未知問題的一個(gè)巧妙方法.事實(shí)上,解答過程也可利用kMC=kMD證明直線CD恒過定點(diǎn)32,0.

        解法5 參數(shù)方程解決問題

        設(shè)P6,t、C3cosα,sinα、D3cosβ,sinβ.

        當(dāng)t≠0時(shí),由P、A、C三點(diǎn)共線知sinα3cosα+3=t9,由P、B、D三點(diǎn)共線知sinβ3cosβ-3=t3,故3sinα3cosα+3=sinβ3cosβ-3,即3sinα(cosβ-1)=sinβ(cosα+1),利用二倍角公式有cosα2cosβ2=-3sinα2sinβ2.直線CD的方程為

        y-sinα=sinβ-sinα3cosβ-3cosα(x-3cosα),令y=0有

        x=3sin(β-α)sinβ-sinα=6sinβ-α2cosβ-α2-2sinα-β2cosα+β2=3cosβ-α2cosα+β2

        =3(cosα2cosβ2+sinα2sinβ2)cosα2cosβ2-sinα2sinβ2=32

        故直線CD過定點(diǎn)32,0.

        當(dāng)t=0時(shí),直線CD的方程為y=0,也過點(diǎn)32,0.

        綜上所述,直線CD恒過定點(diǎn)32,0.

        點(diǎn)評 利用參數(shù)方程巧妙地用一個(gè)參數(shù)表示出橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo),結(jié)合三角函數(shù)公式快速解決問題.2010年陜西、遼寧、寧夏高考圓錐曲線解答題均可用參數(shù)方程解決.

        解法6 極點(diǎn)極線解決問題

        設(shè)P6,t,則點(diǎn)P的極線為23x+ty=1.因?yàn)橹本€CD與直線AB的交點(diǎn)必在點(diǎn)P的極線上,此點(diǎn)就是32,0,也就是直線CD恒過的定點(diǎn).

        點(diǎn)評 基于高等數(shù)學(xué)的極點(diǎn)和極線知識命題是命題人的一個(gè)常見思路,這在全國各地的考題中屢見不鮮.盡管此法簡潔,但不宜作為解答題的解法,也不建議教師突出本解法而沖淡常規(guī)解法.值得一提的是本題的第(2)問與2010年江蘇高考試題18題第(3)問本質(zhì)完全一樣,幾乎就是“撞衫”題.

        圓錐曲線中的定點(diǎn)問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量,那么就要用變化的量表示目標(biāo)量,目標(biāo)量不受變化的量所影響的那個(gè)點(diǎn)就是要求的定點(diǎn).化解這類問題難點(diǎn)的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示目標(biāo)量,根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量.

        圓錐曲線解答題主要考察學(xué)生的運(yùn)算能力,因此在備考過程中要培養(yǎng)學(xué)生敢想、會(huì)算、有信心能算對.這就要求教師首先對試題的解法深入的探究,然后在教學(xué)中踐行所掌握的知識技能和思想方法,最后使學(xué)生的思維更廣闊、思想更深刻.

        參考文獻(xiàn):

        [1]王尚志.如何在數(shù)學(xué)教育中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J].中國教師, 2016(9):33-38.

        [2]韓毅,蔣曉東.橢圓的極點(diǎn)極線性質(zhì)及推論[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2019(5):2-5.

        [責(zé)任編輯:李 璟]

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