賀鳳梅
摘 要:課本上的習題在一定程度上具有典型性和示范性.作為一線教師,一定要認真解讀教材,認真鉆研教材,用好教材中的例題及練習題,對其內涵進行挖掘和提煉.通過多角度探究,讓學生弄通悟透,培養(yǎng)學生的分析問題和解決問題的能力.
關鍵詞:課本;練習題;多角度;探究
中圖分類號:G632文獻標識碼:A文章編號:1008-0333(2021)10-0033-03
一、問題展示
人教A版數學選修2-1第72頁練習第題:過點M(2,0)作斜率為1的直線l,交拋物線y2=4x于A、B兩點,求|AB|.
二、總體分析
已知拋物線y2=4x開口向右,對稱軸為x軸,2p=4,p=2,即p2=1,其焦點坐標為F(1,0),所給直線l的方程為y=x-2.
本題所求問題比較明確,就是求直線與已知拋物線相交所得弦的弦長問題.可以聯(lián)立方程,通過兩點間的距離公式求解;也可以通過弦長公式求解等.通過研究發(fā)現(xiàn),本題是一道簡單題,很基礎,但是解題方法靈活多樣,可以一題多解.教學中我嘗試過引導學生多角度思考和探究,發(fā)現(xiàn)了多種解法,以此激發(fā)學生的學習興趣和研究試題的積極性,達到了拓展學生的思維的目的.
三、試題解答
1.利用兩點間的距離公式求解
分析 這種解法的的關鍵是聯(lián)立直線與拋物線的方程組成的方程組,求出方程組的公共解,即得兩交點的坐標,再代入兩點間的距離公式求解,便可以得出弦長.
解法1 由已知條件可知直線方程為y=x-2.
設A(x1,y1)、B(x2,y2),
聯(lián)立y=x-2,y2=4x,消去,得(x-2)2=4x,
整理得x2-8x+4=0,
由求根公式可得該方程的兩實根為x1=4+23,x2=4-23,
從而解得x1=4+23y1=4+23,x1=4-23y1=4-23,
所以A(4+23,
2+23)、B(4-23,2-23),
由兩點間的距離公式得
|AB|=[(4+23)-(4-23)]2+[
(2+23)-(2-23)]
=(43)2+(43)2=46.
所以|AB|=46.
解法2 鑒于本題中直線的方程為y=x-2,系數比較簡單,也可以消去x,
由x=y+2y2=4x,消去x,得y2=4(y+2),
整理得y2-4y-8=0,
由求根公式可得該方程的兩實根為y1=4+23,y2=4-23,
從而得x1=4+23y1=4+23,x1=4-23y1=4-23,
下同解法1求弦長|AB|=46.
評注 解法1和解法2的解題啟示是:運用兩點間的距離公式求弦長時,根據直線的特點,可以靈活選擇消去或消去,當然是以方便求解為原則.這種方法學生比較容易想到,通過此種求解過程,可以鍛煉和提高學生的計算能力.
2.利用弦長公式求解
分析 這種解法的的關鍵是聯(lián)立直線與拋物線的方程組成的方程組,消去x或者消去y,由根與系數的關系得出兩根之和以及兩根之積,代入相應的弦長公式,便可以求出弦長.
解法3 由解法1,有x2-8x+4=0,由根與系數的關系得x1+x2=8,x1x2=4,直線斜率k=1,再代入弦長公式
|AB|=1+k2|x1-x2|
=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2
即得|AB|=2·82-4×4
=2·48=46
解法4 同樣聯(lián)立y=x-2y2=4x,
由直線y=x-2方程變形得x=y+2,
代入拋物線y2=4x方程,消去x,得
y2=4(y+2),
整理得y2-4y-8=0,
可知y1、y2是以上關于y的方程的產根,由根與系數的關系得y1+y2=4,y1y2=-8,
代入對應的弦長公式
|AB|=1+1k2|y1-y2|
=(1+1k2)(y1+y2)2-4y1y2
得|AB|=2·42-4×(-8)=46.
評注 解法3和解法4比較而言,學生比較容易想到的是解法3,如果選擇使用弦長公式求解,需要給學生講清楚的是聯(lián)立方程得到的方程組消元時,同樣需要根據直線方程的特點,以方便求解為前提條件.
3.構造直角三角形,由邊角關系求解
分析 這種解法的關鍵是根據題目條件,數形結合,找到直線與拋物線兩交點的縱坐標(或橫坐標)、弦長以及直線傾斜角之間的聯(lián)系,在所構造的直角三角形中求解完成.
解法5 由已知條件,直線斜率k=1,所以直線的傾斜角為α=π4,
結合圖象可得弦長|AB|=|y1-y2|sinα,
由解法4得
|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2
=42-4×(-8)=43
故可求得|AB|=43sinπ4=46.
.
解法6 結合圖象及解法5,可得弦長也可表示為|AB|=|x1-x2|cosα,
由解法3得
|AB|=(x1+x2)2-4x1x2=82-4×4=43
因此,|AB|=43cosπ4=4322=46.
評注 以上兩種方法在平時的解題中并不常見,當直線的傾斜角比較特殊時用此法方便快捷.傾斜角如果不特殊,借助于k=tanα(α≠π2,以及平方關系和商數關系求解可得sinα或cosα).
4.利用直線的參數方程求解
分析 這種求解方法的關鍵是利用直線參數方程的幾何意義,當直線參數方程為標準型時,將直線的參數方程中的x和y代入拋物線方程,得到關于t的一元二次方程,借助根與系數的關系(韋達定理),以及|AB|=|t1-t2|,可順利求解完成解答.
解法7 由條件直線過點m(2,0),傾斜角為α=π4,則直線的參數方程為
x=2+22t,y=22t,(t為參數),
代入拋物線y2=4x方程得(22t)2=4(2+22t),
整理得t2-42t-16=0,
設A、B兩點的參數分別為t1、t2,由參數的幾何意義得
t1+t2=42,t1t2=-16.
|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2
=(42)2-4×(-16)=46
評注 用此法求弦長時,一定要明確直線參數方程中是否具有幾何意義. 若具有幾何意義,可直接求解;若不具有幾何意義,一定要進行變形,求出具有幾何意義的直線參數方程,方可求解.
評析 以上七種解法適合所有直線與拋物線相交求弦長的問題(斜率存在,即傾斜角α≠π2).當然如果直線經過拋物線的焦點,除以上通法外,還可以有以下兩種解答方法.
變式 將直線l所經過的點改為(1,0),即經過拋物線的焦點F,這道題就是人教A版選修2-1課本第69頁的例4.
現(xiàn)作為解法8和解法9簡述如下:
5.利用拋物線的定義求解
分析 此解法的關鍵是直線經過拋物線的焦點,根據拋物線的定義,拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離,轉化求解即可完成.
解法8 依題意,p=2,p2=1,焦點F(1,0),準線為x=-1,設A(x1,y1)、B(x2,y2),點A、B到準線的距離分別為dA=|AA′|,db=|BB′|由拋物線的定義可知
|AF|=dA=x1+p2=x1+1,|BF|=dB=x2+p2=x2+1,因此,
|AB|=|AF|+|BF|=dA+dB
=(x1+p2)+(x2+p2)
=x1+x2+p=x1+x2+2
直線方程為y=x-1,
聯(lián)立y=x-1y2=4x,消去y,整理得
x2-6x+1=0,由根與系數的關系x1+x2=6,
于是|AB|=x1+x2+2=6+2=8.
評注 此法只要求出兩點A、B的橫坐標之和x1+x2,就可以求出弦長|AB|.
6.利用拋物線的焦點弦求解
分析 此解法的關鍵是直線需經過拋物線的焦點,能求出直線傾斜角α(α≠π2)或其正弦值sinα.
解法9 由于直線經過拋物線y2=4x的焦點F,所以可以由拋物線的焦點弦公式求解.
使用之前,先證明如下:
(1)若直線的傾斜角α=π2,則直線的斜率不存在,此時AB為拋物線的通徑,即|AB|=2p,結論正確.
(2)若α≠π2,則直線的斜率存在,且k=tanα,顯然k≠0.
直線l方程為y=k(x-p2),變形得x=yk+p2,
代入拋物線方程中y2=4x,
化簡并整理得
y2-2pky-p2=0,
所以y1+y2=2pk,y1y2=-p2,
由弦長公式
|AB|=1+1k2|y1-y2|
=1+1k2·(y1+y2)2-4y1y2
=1+1k2·(2pk)2+4P2
=2P(1+1k2)=2p(1+1tan2α)=2psin2α,原命題得證.
因此,利用焦點弦公式求得
|AB|=2psin2α=2×2sin2π4=412=8.
評注 此解法在高三總復習的一些參考資料上出現(xiàn)過,原則上這種方法做解答題時需要證明結論的正確性才可以使用.不過做選擇題或填空題還是比較方便和快捷的.
四、解后反思
這道練習題和相關聯(lián)的例題是一道容易題,但卻是一道好題.它蘊含著豐富的數學思想方法,考查了學生的運算求解能力,數形結合思想,以及化歸轉化等方法.在平常的解題中,要引導學生運用所學知識,多角度多方位進行思考,從而獲取不同的解法.在平時的解題教學中,一定要跳出定勢思維的束縛,提倡一題多解,可以從代數方面進行思考和突破,也可以從幾何方面入手,運用數形結合來解決.當然,一定要引導學生重視教材,培養(yǎng)學生研究教材的興趣,讓學生清楚地認識到教材的重要性,同時培養(yǎng)學生的探索精神,還能達到觸類旁通、舉一反三的效果.
參考文獻:
[1]廖炳江.求拋物線弦長的一個公式[J].數學教學研究,1999(4):40-43.
[2]顧志剛.拋物線焦點弦的若干性質
[J].蘇州教育學院學報,1998(1):19-20.
[責任編輯:李 璟]