摘 要：學(xué)生的錯(cuò)誤往往是學(xué)生思維的真實(shí)寫照，作為教師要抓住學(xué)生思維的偏差，分析學(xué)生致錯(cuò)的原因而優(yōu)化教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生使其突破困惑.

關(guān)鍵詞：抓住偏差;反思教學(xué);突破困惑

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）10-0046-02

在教學(xué)中學(xué)生經(jīng)常會(huì)出錯(cuò)，錯(cuò)誤也體現(xiàn)著學(xué)生最真實(shí)的思維，最自然的想法，在排除一個(gè)個(gè)錯(cuò)誤與障礙之后，正確結(jié)論才呼之欲出.

一、特殊值引來(lái)偏差，想當(dāng)然任性而為

例1 若關(guān)于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1≠x2，有下列結(jié)論：①x1=2，x2=3;②m>-14;③二次函數(shù)y=（x-x1）（x-x2）+m的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）和（3，0）.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）.

A.0B.1C.2D.3

課堂上出示這道題目后，通過(guò)小組討論與交流后，平時(shí)比較機(jī)靈的幾個(gè)同學(xué)很快就說(shuō)出了答案D.生1：取特殊值m=0，關(guān)于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有實(shí)數(shù)根x1=2，x2=3，于是結(jié)論①正確.由于m=0>-14，故結(jié)論②正確.當(dāng)m=0時(shí)，二次函數(shù)y=（x-x1）（x-x2）+m的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）和（3，0）.于是結(jié)論①②③都正確.

聽(tīng)了這個(gè)小組的代表生1的想法后，筆者首先給予孩子們活躍的思維表現(xiàn)給予語(yǔ)言上的鼓勵(lì)，但是這里呈現(xiàn)出的思維偏差也是十分明顯的，即特殊代表不了一般.

選擇題利用特殊值在排除“錯(cuò)誤”答案時(shí)有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，可以“一招制敵”.學(xué)生正是受此影響，思維定勢(shì)，誤認(rèn)為在選正確答案時(shí)也是如此，取一個(gè)特殊值驗(yàn)證就可以，于是就產(chǎn)生了以偏概全的錯(cuò)誤解法.

二、“想當(dāng)然”而為之

生2：“結(jié)論①x1=2，x2=3與結(jié)論③二次函數(shù)y=（x-x1）（x-x2）+m的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）和（3，0）是等價(jià)的，結(jié)論①錯(cuò)了，結(jié)論③自然不正確，正確的只有②，”.

而事實(shí)上這是想當(dāng)然而為之，出現(xiàn)這種偏差是同學(xué)們?cè)趯?duì)結(jié)論③的認(rèn)知上忽略了二次函數(shù)y=（x-x1）（x-x2）+m中的“m”了，誤認(rèn)為結(jié)論①與結(jié)論③等價(jià)，馬虎大意而出錯(cuò).

生3：“結(jié)論③中，二次函數(shù)y=（x-x1）（x-x2）+m的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）和（3，0），由于二次函數(shù)解析式之“交點(diǎn)式”中有“m”這一項(xiàng)，所以函數(shù)與x軸的交點(diǎn)不可能是為（2，0）和（3，0），結(jié)論③錯(cuò)誤.”

三、方程切線有玄機(jī)，數(shù)形結(jié)合突困惑

1.切線生疑，變式遞進(jìn)

求解圓的切線方程的一個(gè)教學(xué)片斷：

例2 過(guò)圓x2+y2=25上一點(diǎn)（3，-4）的切線方程為（）.

A.3x+4y-25=0B.3x-4y-25=0

C.3x+4y-5=0D.3x-4y-5=0

生1：這是一道簡(jiǎn)單題目，將點(diǎn)（3，-4）代入選項(xiàng)中4個(gè)直線方程，通過(guò)驗(yàn)證只有B選項(xiàng)是符合的，很快得出選項(xiàng)B正確.

本題是直線與圓的位置關(guān)系中求解圓的切線問(wèn)題，作為選擇題學(xué)生首先聯(lián)想到了特殊值法.如果是以解答題形式出現(xiàn)，我們又該如何求解呢？

生2：可以利用公式過(guò)圓x2+y2=r2上一點(diǎn)p（x0，y0）的切線方程為xx0+yy0=r2來(lái)求解，把點(diǎn)（3，-4）代入xx0+yy0=r2，得3x+4y=25，再化為一般式方程為3x+4y-25=0得解.

師：這個(gè)公式課本中并沒(méi)有明確介紹，只有平時(shí)喜歡探究的學(xué)生可以利用其直接計(jì)算，部分學(xué)生還是不甚熟悉，需要我們進(jìn)行推導(dǎo).

生3：可以利用圓的切線性質(zhì)，圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.

生4：對(duì)，我們可以先以特殊值（3，-4）進(jìn)行推導(dǎo)，再過(guò)渡到一般值.

生5：關(guān)鍵是求出切線的斜率，由直線的點(diǎn)斜式寫出其直線方程.

師：同學(xué)們說(shuō)的很對(duì)，點(diǎn)斜式是我們求解直線方程的常用方法，請(qǐng)一位來(lái)同學(xué)陳述一下.

生6：過(guò)圓心（0，0）與點(diǎn)（3，-4）的直線（半徑所在直線）的斜率是k1=0+40-3=-43，故圓的切線所在直線的斜率k2與其互為負(fù)倒數(shù)，為34，由點(diǎn)斜式方程（y-y0）=k（x-x0）將點(diǎn)與斜率代入求得其切線方程.

生7：根據(jù)生6的方法我們將點(diǎn)（3，-4）換為（x0，y0），便可求得過(guò)圓x2+y2=r2上一點(diǎn)p（x0，y0）的切線方程為xx0+yy0=r2.

由此可以看出，學(xué)生的思維還是比較活躍，適當(dāng)增加難度，繼續(xù)深度探究.

2.數(shù)形結(jié)合，探究新知

例3 求過(guò)圓x2+y2-4x-4y+94=0外一點(diǎn)（3，-4）的切線方程？

生8：設(shè)所求切線方程的斜率為k，則其直線方程為y+4=k（x-3），化為一般式方程為kx-y-4-3k=0，又圓x2+y2-4x-4y+94=0的圓心坐標(biāo)為（32，32），半徑為32.則圓心到切線的距離為d=32k-32-4-3kk2+1=-112-32kk2+1=32，解得k=-5633，所以切線方程為y+4=-5633（x-3），即56x+33y-25=0.

學(xué)生們看著生8在黑板上的板書都附和著，認(rèn)為得來(lái)全不費(fèi)工夫嘛.可孰知，一條切線已經(jīng)丟掉了.

師：不對(duì)，應(yīng)該還有一條切線方程的，學(xué)生們陷入了困惑.

師：請(qǐng)同學(xué)們看圖，顯然這樣的切線會(huì)有兩條.以幾何圖形驗(yàn)證代數(shù)運(yùn)算，生8的結(jié)果顯然是不全面的，無(wú)疑漏掉了一條切線方程.

有的學(xué)生根據(jù)圖形很快得出了另一條切線方程為x-3=0.

于是，過(guò)圓x2+y2-4x-4y+94=0外一點(diǎn)（3，-4）的切線方程為56x+33y-25=0或x-3=0.

3.糾正偏差，突破困惑

數(shù)形結(jié)合思想是我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中必須要關(guān)注的，有些代數(shù)問(wèn)題輔助以幾何圖形，解決起來(lái)就省事許多.在本題中，正是數(shù)學(xué)結(jié)合才糾正了學(xué)生思維上的偏差，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到還有一條切線方程的存在.那么這條切線方程為何代數(shù)方法沒(méi)有求出來(lái)呢？

通過(guò)觀察圖形，我們發(fā)現(xiàn)切線x-3=0是垂直于y軸的，直線的傾斜角為90°，所以斜率不存在.因而在生8的求解中，設(shè)切線的斜率為k時(shí)，其前提必須是直線的斜率必須存在.這樣思考，也就不難理解為何代數(shù)法求出的切線方程只有一條了.

以上兩則教學(xué)案例表明，“想當(dāng)然”現(xiàn)象在學(xué)生的學(xué)習(xí)中普遍存在，學(xué)生的思維活躍而具有自身的封閉性，但學(xué)生是可塑的，他的思維依賴于教師的引導(dǎo).論語(yǔ)云：“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”，由此道明了學(xué)習(xí)與思考的邏輯關(guān)系.不思考的學(xué)習(xí)就是機(jī)械性的操作，會(huì)因迷茫而誤入陷阱;一味的空想不踏實(shí)鉆研一樣會(huì)誤入歧途而難有成就.只有將學(xué)與思融為一體，且學(xué)且思考，才能讓學(xué)習(xí)有效.其實(shí)，對(duì)學(xué)生的好多錯(cuò)誤，多少老師僅一笑而過(guò)，沒(méi)有深思作為施教者應(yīng)該如何對(duì)待學(xué)生錯(cuò)誤，如何反思優(yōu)化教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生走出迷茫的困境呢！誠(chéng)如以上兩則教學(xué)案例，尤其對(duì)于中等偏下學(xué)生，教師要關(guān)注課堂上他們點(diǎn)點(diǎn)滴滴的表現(xiàn)，在師生合作的辨析中去偽存真;切忌“一筆帶過(guò)”與“一笑而過(guò)”，要引領(lǐng)學(xué)生“頓悟”，開(kāi)導(dǎo)學(xué)生“點(diǎn)悟”.也希望在我們平時(shí)“熱鬧”的數(shù)學(xué)課堂背后，教師能夠關(guān)注更多的教學(xué)“門道”，從發(fā)展學(xué)生思維的深度與廣度上多花力氣，在育人與樹人的理念上多下功夫，讓培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不僅是一句口號(hào)，更要扎扎實(shí)實(shí)落實(shí)在課堂教學(xué)中.

參考文獻(xiàn)：

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[責(zé)任編輯：李 璟]