趙智勇 杜燕 孟秀英

摘? 要：文章以銳角三角函數(shù)知識(shí)內(nèi)容為載體，著眼于數(shù)形結(jié)合思想方法的深層感悟，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的雙向溝通. 通過“解直角三角形中的數(shù)形結(jié)合”專題復(fù)習(xí)課的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生概括數(shù)形結(jié)合解決問題的基本思路，體會(huì)其作用，歸納其注意要點(diǎn);引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用概括出的數(shù)形結(jié)合思想的基本思路解決問題，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的鞏固和遷移;引導(dǎo)學(xué)生融合不同的思想方法解決綜合性問題，實(shí)現(xiàn)思想方法的融合.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;銳角三角函數(shù);專題復(fù)習(xí);教學(xué)研究

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容

“解直角三角形中的數(shù)形結(jié)合”專題復(fù)習(xí)課包括2個(gè)課時(shí)的內(nèi)容，其單元結(jié)構(gòu)圖如圖1所示.

本節(jié)課為第1課時(shí)，以解直角三角形及其應(yīng)用為載體，在綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問題的過程中，提煉運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法解題的操作步驟、作用、注意要點(diǎn)等.

2. 內(nèi)容解析

（1）地位和作用.

代數(shù)和幾何是初中數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象. 數(shù)形結(jié)合是通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化達(dá)到認(rèn)識(shí)和解決問題的一種思想和方法. 通過“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”，準(zhǔn)確把握數(shù)與形的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，可以使抽象的問題形象化、直觀的問題精細(xì)化，從而快速獲取解題思路，邏輯清晰地解決問題. 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的過程也是學(xué)生發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)的過程.

數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中占有重要地位，它不僅是一種重要思想，也是一種常用的解題策略與方法. 本節(jié)課是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決相關(guān)問題的專題復(fù)習(xí)課，從具體的銳角三角函數(shù)問題的解決開始，總結(jié)提煉數(shù)形結(jié)合思想方法的作用、操作步驟和注意要點(diǎn)，并用于解決綜合性問題.

銳角三角函數(shù)是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，它的概念的產(chǎn)生和應(yīng)用都與圖形有著密切的聯(lián)系，在歷年中考試題中都占有一定的比重. 因此，學(xué)好本節(jié)課的內(nèi)容對(duì)中考備考有重要作用.

（2）概念的解析.

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法解決問題的操作步驟、注意要點(diǎn)、作用如下.

操作步驟：分析問題結(jié)構(gòu)—構(gòu)想數(shù)形關(guān)聯(lián)—實(shí)施數(shù)形轉(zhuǎn)換—獲得問題答案.

注意要點(diǎn)：考慮數(shù)形結(jié)合解決問題的必要性、可行性和簡(jiǎn)潔性;解決幾何證明題需要幾何直觀分析、代數(shù)抽象分析對(duì)應(yīng)進(jìn)行;代數(shù)性質(zhì)與幾何圖形的對(duì)應(yīng)互換.

作用：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法解決問題能夠使抽象的問題形象化，使復(fù)雜的關(guān)系得到直觀、具體的表示，對(duì)理解題意、挖掘題目中的各種信息、發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含的條件和關(guān)系、獲得解題的靈感和方法等都具有重要意義.

（3）思想方法.

數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)是把抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的圖形表示結(jié)合起來(lái)，或把幾何中的定性結(jié)論轉(zhuǎn)化為可計(jì)算的定量結(jié)果，或以直觀圖形輔助抽象的代數(shù)運(yùn)算與推理.

（4）知識(shí)類型.

本專題內(nèi)容屬于程序性知識(shí)，還是策略性知識(shí)，由知識(shí)類型所決定. 在教學(xué)中，教師要注重以問題為引導(dǎo)，以學(xué)生活動(dòng)為主，在獨(dú)立思考、合作交流中，師生共同提煉數(shù)形結(jié)合思想方法的操作步驟和核心要點(diǎn)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想方法的作用;在應(yīng)用中注重引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合思想方法去分析問題和解決問題.

（5）教學(xué)重點(diǎn).

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：提煉數(shù)形結(jié)合思想解題的一般步驟和注意要點(diǎn).

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1. 目標(biāo)

（1）通過解直角三角形及其應(yīng)用問題，了解數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵和作用.

（2）經(jīng)歷問題解決過程，能抽象概括出用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的操作步驟、注意要點(diǎn)和作用.

（3）能正確進(jìn)行數(shù)形互化，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決有一定綜合性的問題，形成解題策略.

2. 目標(biāo)解析

達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志：知道數(shù)形結(jié)合研究數(shù)的精確與形的直觀之間的轉(zhuǎn)化，可使解題思路變得簡(jiǎn)單明了，從而化繁為簡(jiǎn)、化難為易.

達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志：明確運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問題一般需要經(jīng)歷“分析、構(gòu)想、建立、求解”四個(gè)步驟. 數(shù)與形的對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)換是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問題的關(guān)鍵，明確以形助數(shù)、以數(shù)解形的具體操作步驟. 知道在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問題時(shí)，要考慮可行性等，不能用形的顯然替代推理論證，既需要進(jìn)行幾何直觀分析，又需要通過符號(hào)抽象、運(yùn)算和推理進(jìn)行量化研究.

達(dá)成目標(biāo)（3）的標(biāo)志：在解決相關(guān)問題的過程中，能有意識(shí)借助形的幾何直觀性來(lái)闡述數(shù)之間的普遍關(guān)系和一般規(guī)律，借助數(shù)的精確性闡述形的某些屬性和一般規(guī)律;能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法解決一些有一定難度的中考試題.

三、教學(xué)問題診斷分析

1. 已具備的認(rèn)知基礎(chǔ)

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直角三角形的兩銳角互余、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，并能運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)解直角三角形;經(jīng)歷了數(shù)軸、坐標(biāo)系、函數(shù)等概念的學(xué)習(xí)，對(duì)數(shù)形結(jié)合有一定的認(rèn)識(shí)，對(duì)數(shù)與形的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)換有一定的模仿經(jīng)驗(yàn)，具有一定的解決問題的能力，這為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).

2. 與本課目標(biāo)的差距分析（知識(shí)、能力）

初中生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問題，需要具備以下能力：敏銳的觀察能力;準(zhǔn)確的語(yǔ)言表達(dá)能力;靈活的思維能力;較強(qiáng)的綜合應(yīng)用能力. 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決有一定難度的綜合問題時(shí)，需要進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察能力和靈活的思維能力.

3. 可能存在的問題

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決綜合性較強(qiáng)的題目時(shí)，縱橫聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)多，這對(duì)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力提出了較高的要求. 對(duì)于某些問題，學(xué)生有可能誤用形的直觀替代嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C，也可能抓不住數(shù)的特征構(gòu)建適當(dāng)?shù)男?

4. 應(yīng)對(duì)策略

本節(jié)課需要通過具體實(shí)例多次展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的具體操作步驟，使學(xué)生獲取更多活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)和理解. 首先，創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題;其次，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)上述問題分解并進(jìn)行反思總結(jié)，組織學(xué)生進(jìn)行思想方法的交流和一般性思考;最后，通過對(duì)例題進(jìn)行有針對(duì)性地指導(dǎo)，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)形結(jié)合解決問題的過程，既進(jìn)行幾何直觀分析，又對(duì)應(yīng)進(jìn)行代數(shù)抽象探究，提升學(xué)生的認(rèn)知加工水平和解題能力.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：進(jìn)行數(shù)與形的等價(jià)轉(zhuǎn)化，并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決有一定難度的綜合問題.

四、教學(xué)支持條件分析

利用希沃白板制作課件、互動(dòng)授課;借助希沃授課助手拍照上傳、進(jìn)行投屏等，靈活展示和點(diǎn)評(píng)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，呈現(xiàn)課堂細(xì)節(jié);結(jié)合GeoGebra軟件輔助構(gòu)圖操作，提升課堂效率.

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1. 課前檢測(cè)——針對(duì)強(qiáng)化，提升實(shí)效

檢測(cè)題1：△ABC在正方形網(wǎng)格中的位置如圖2所示，則sinα的值為（? ? ）.

【設(shè)計(jì)意圖】通過課前檢測(cè)題，了解學(xué)生對(duì)本節(jié)課的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，可以根據(jù)檢測(cè)的結(jié)果決定是否需要補(bǔ)測(cè)題，為后續(xù)提煉數(shù)形結(jié)合步驟和要點(diǎn)及進(jìn)一步利用數(shù)形結(jié)合解決問題做好鋪墊.

2. 解決問題——經(jīng)歷過程，感悟應(yīng)用

問題1：如圖6，已知在△ABC中，AB = BC = 5，tan∠ABC =[43].

（1）求AC的長(zhǎng);

（2）設(shè)邊BC的垂直平分線與邊AB的交點(diǎn)為點(diǎn)D，求[ADAB]的值.

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生審清題意，從數(shù)與形兩個(gè)方面的關(guān)聯(lián)分析問題. 第（1）小題中，作高構(gòu)建數(shù)所對(duì)應(yīng)的形，根據(jù)形所對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系確定求AC的長(zhǎng)的方法（設(shè)未知數(shù)，將求AC的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為解方程問題求解）. 第（2）小題中，從圖形特征關(guān)聯(lián)圖形對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，確定求比值的方法. 在引導(dǎo)學(xué)生審題和分析問題的過程中，教師結(jié)合學(xué)生的回答給出如表1所示的數(shù)形關(guān)聯(lián)表，然后通過追問使學(xué)生理解“圖形的形狀確定，則圖形中對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系也隨之確定”. 因此，求圖形中兩條線段的比值時(shí)，不必關(guān)注具體的數(shù)量，而把目光聚焦到圖形中元素間的數(shù)量關(guān)系上，則求解過程更為簡(jiǎn)捷.

追問1：你是如何使用“tan∠ABC =[43]”這個(gè)條件的？

追問2：條件“邊BC的垂直平分線與邊AB的交點(diǎn)為點(diǎn)D”對(duì)應(yīng)的圖形和數(shù)量關(guān)系表達(dá)式是什么？

追問3：若將“AB = BC = 5”改為“AB = BC”，你還能求出[ADAB]的值嗎？為什么？

【設(shè)計(jì)意圖】通過解決第（1）小題，使學(xué)生經(jīng)歷以數(shù)解形的思考與解決問題的過程，將圖形信息轉(zhuǎn)換為具體的數(shù)量關(guān)系，借助圖形的直觀性，增加問題解決的準(zhǔn)確性，使問題求解更加簡(jiǎn)明. 通過解決第（2）小題，使學(xué)生經(jīng)歷以形助數(shù)的思考與解決問題的過程，讓學(xué)生感悟借助圖形的幾何直觀來(lái)解決數(shù)的問題，常?？梢员苊鈴?fù)雜的推理計(jì)算，使問題化難為易，使抽象的問題具體化.

解決問題后，借助數(shù)形關(guān)聯(lián)表，通過問題串促進(jìn)學(xué)生對(duì)解決問題的過程進(jìn)行反思總結(jié)，提煉運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問題的一般步驟、注意要點(diǎn)和作用，提升學(xué)生的思維能力.

3. 交流提煉——合作交流，提煉方法

問題2：結(jié)合課前檢測(cè)和問題1，你能總結(jié)一下利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的一般步驟和作用嗎？

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生回顧課前檢測(cè)題2的問題解決過程，師生共同建立如表2所示的數(shù)形關(guān)聯(lián)表.

結(jié)合問題1的解決過程和如表1、表2所示的數(shù)形關(guān)聯(lián)表，師生共同歸納上述問題的解題思路和方法，總結(jié)提煉數(shù)形結(jié)合的一般操作步驟、作用和轉(zhuǎn)化策略.

作用：實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，使抽象思維與形象思維相結(jié)合，從而化繁為簡(jiǎn)、化難為易.

一般操作步驟如下.

（1）分析問題結(jié)構(gòu)——審題，得到數(shù)的關(guān)系和形的特征.

（2）構(gòu)想數(shù)形關(guān)聯(lián)——從數(shù)的角度想象和表示圖形特征，從形的角度想象和描述數(shù)量關(guān)系，找到數(shù)與形的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，如幾何度量（如距離、角度等）或坐標(biāo).

（3）實(shí)施數(shù)形轉(zhuǎn)換——構(gòu)建數(shù)所對(duì)應(yīng)的形，對(duì)形所對(duì)應(yīng)的數(shù)量或數(shù)量關(guān)系進(jìn)行符號(hào)抽象、運(yùn)算和推理.

（4）獲得問題答案——有邏輯地表達(dá)解題過程.

轉(zhuǎn)化策略：關(guān)注具有顯著特征的對(duì)象，基于基本的幾何度量（距離和角度）找出數(shù)量關(guān)系與幾何圖形的關(guān)聯(lián)點(diǎn).

【設(shè)計(jì)意圖】概括數(shù)學(xué)思想方法，需要把數(shù)形結(jié)合思想的操作過程模型化、程序化、一般化. 組織學(xué)生相互討論交流，進(jìn)一步挖掘數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)內(nèi)涵，使學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)從內(nèi)隱轉(zhuǎn)化為外顯，實(shí)現(xiàn)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題操作策略的明朗化.

4. 遷移應(yīng)用——知識(shí)遷移，能力拓展

問題3：如圖7，我國(guó)兩艘海監(jiān)船A，B在南海海域巡航. 某一時(shí)刻，兩船同時(shí)收到指令，立即前往救援遇險(xiǎn)拋錨的漁船C. 此時(shí)，B船在A船的正南方向5海里處，A船測(cè)得漁船C在其南偏東45°方向，B船測(cè)得漁船C在其南偏東53°方向.已知A船的航速為30海里 / 時(shí)，B船的航速為25海里 / 時(shí)，問C船至少要等待多長(zhǎng)時(shí)間才能得到救援？（參考數(shù)據(jù)：sin 53° ≈[45]，cos 53° ≈[35]，tan 53° ≈[43]，[2]≈ 1.41.）

師生活動(dòng)：學(xué)生按以下步驟進(jìn)行獨(dú)立探索，并在學(xué)案上構(gòu)建數(shù)形關(guān)聯(lián)表，解決問題3.

第一步：分析問題結(jié)構(gòu). 過點(diǎn)C作AB所在直線的垂線，垂足為點(diǎn)D，由已知AD = DC，∠CBD = 53°，AB = 5. 根據(jù)兩艘船的速度，求等待時(shí)間，就要求AC和BC的長(zhǎng). 已知兩角和一邊，求另外兩條邊的長(zhǎng)，這其實(shí)就是解直角三角形問題.

第二步：構(gòu)想數(shù)形關(guān)聯(lián). 當(dāng)已知角和邊的條件時(shí)，利用銳角三角函數(shù)解決問題，通常要構(gòu)建直角三角形.

第三步：實(shí)施數(shù)形轉(zhuǎn)換. 設(shè)未知數(shù)，根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)列出方程.

第四步：獲得問題答案. 檢驗(yàn)解的意義，得到實(shí)際問題的答案.

教師在學(xué)生的分析、思考過程中，關(guān)注學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合解決問題一般步驟的操作表現(xiàn)，并利用希沃授課助手（手機(jī)APP結(jié)合電腦端）對(duì)學(xué)生完成的較規(guī)范的數(shù)形關(guān)聯(lián)表和解題過程進(jìn)行拍照上傳、展示點(diǎn)評(píng). 結(jié)合學(xué)生的思考，師生共同構(gòu)建如表3所示的數(shù)形關(guān)聯(lián)表，解決問題3.

【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)問題3的解決，進(jìn)一步明確運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問題的思考步驟和注意要點(diǎn)，感知數(shù)與形之間的關(guān)聯(lián)性，挖掘數(shù)與形之間的聯(lián)系，促使學(xué)生自覺運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，提升分析問題和解決問題的能力.

問題4：如圖8，在△ABC中，AB = AC，AD是邊BC上的高，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，EF與AD相交于點(diǎn)G，AC = 10，cos∠DAC =[45]. 當(dāng)△AGF為等腰三角形時(shí)，求EG的長(zhǎng).

師生活動(dòng)：首先，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問題中的特殊元素，如兩個(gè)中點(diǎn)E，D，連接ED構(gòu)造△AGF ∽ △DGE;其次，解題需要關(guān)注主要構(gòu)圖對(duì)象，借助GeoGebra軟件中的“復(fù)選框”功能簡(jiǎn)化圖形，最終將問題轉(zhuǎn)化為“在△DEG中，DE = 5，cos∠EDG =[45]，當(dāng)△DEG為等腰三角形時(shí)，求EG的長(zhǎng)”. 再運(yùn)用GeoGebra軟件中的“滑動(dòng)條”控制動(dòng)點(diǎn)F在邊AC上移動(dòng)，通過分類討論，師生共同構(gòu)建如表4所示的數(shù)形關(guān)聯(lián)表，利用數(shù)形結(jié)合解決問題.

【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)問題4的解決，以數(shù)形結(jié)合、分類討論思想為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生在分析問題、規(guī)劃思路時(shí)，將目光聚焦在特殊的視角和特殊的對(duì)象（等腰、中點(diǎn)、平行線）上，根據(jù)已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)合理尋求解決問題的突破口，體會(huì)利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行推理得到的結(jié)論具有一般性，掌握目標(biāo)導(dǎo)向的認(rèn)知策略，使學(xué)生進(jìn)一步感知數(shù)與形之間的關(guān)聯(lián)性，挖掘數(shù)與形之間的必然聯(lián)系，提升分析問題和解決問題的能力.

追問4：結(jié)合以上問題，你能總結(jié)一下利用數(shù)形結(jié)合解決問題的注意要點(diǎn)和轉(zhuǎn)化策略嗎？

注意要點(diǎn)如下.

（1）代數(shù)性質(zhì)與幾何圖形要對(duì)應(yīng)互換.

（2）考慮數(shù)形結(jié)合解決問題的必要性、可行性和簡(jiǎn)潔性.

（3）不能用圖形的直觀代替嚴(yán)密的邏輯推理，既需要幾何直觀分析，又需要進(jìn)行對(duì)應(yīng)的代數(shù)抽象分析.

5. 反思總結(jié)——回顧思考，深化思維

（1）數(shù)形結(jié)合的作用是什么？

（2）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問題可以分為哪些步驟？

（3）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問題的過程中最關(guān)鍵是哪一步？需要注意什么？

（4）你還有哪些收獲？

師生共同總結(jié)出如圖9所示的框圖.

[數(shù)形結(jié)合][作用][? ? 實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，使抽象思維與形象思維相結(jié)合][化繁為簡(jiǎn)，化難為易] [1. 分析問題結(jié)構(gòu)

2. 構(gòu)想數(shù)形關(guān)聯(lián)

3. 實(shí)施數(shù)形轉(zhuǎn)換

4. 獲得問題答案] [? ? 轉(zhuǎn)化策略：找出數(shù)量關(guān)系與幾何圖形的關(guān)聯(lián)點(diǎn)] [操作步驟] [注意要點(diǎn)][? ? 1. 考慮數(shù)形結(jié)合解決問題的必要性、可行性和簡(jiǎn)潔性][? ? 2. 幾何證明題需幾何直觀分析、代數(shù)抽象分析對(duì)應(yīng)進(jìn)行][? ? 3. 代數(shù)性質(zhì)與幾何圖形的對(duì)應(yīng)互換] [圖9]

【設(shè)計(jì)意圖】回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)歷程，并再次總結(jié)數(shù)形結(jié)合思想的解題思路、操作步驟、要點(diǎn)和作用，深化學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解，強(qiáng)化目標(biāo)導(dǎo)向的認(rèn)知策略.

六、目標(biāo)檢測(cè)——自我檢測(cè)，鞏固反饋

1. 新冠肺炎疫情期間，教育部號(hào)召各地各類學(xué)生居家學(xué)習(xí). 為支持小明學(xué)習(xí)，媽媽特意買了新臺(tái)燈. 圖10（1）是放置在水平桌面上的臺(tái)燈，圖10（2）是其側(cè)面示意圖（臺(tái)燈底座高度忽略不計(jì)），其中燈臂AC = 40 cm，燈罩CD = 30 cm，AC可以繞點(diǎn)A上下調(diào)節(jié)一定的角度，CD可以繞點(diǎn)C上下調(diào)節(jié)一定的角度. 使用時(shí)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)燈臂與底座構(gòu)成的夾角∠CAB = 53°，∠ACD = 157°時(shí)，臺(tái)燈光線最佳. 求光線最佳時(shí)點(diǎn)D到桌面的距離為多少？（結(jié)果保留一位小數(shù). 參考數(shù)據(jù)：sin 53° ≈[45]，cos 53° ≈[35].）

2. 如圖11，在Rt△ABC中，∠C = 90°，sinB =[45]，AC = 4. D是BC的延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠EDA = ∠B，AE∥BC.當(dāng)△ADE為等腰三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng).

【設(shè)計(jì)意圖】鞏固利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的過程與方法，對(duì)應(yīng)知應(yīng)會(huì)的核心知識(shí)進(jìn)行檢測(cè)，為下節(jié)課的解題課奠定基礎(chǔ). 通過解決問題，進(jìn)一步體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的廣泛性和有效性，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的感悟?qū)哟?，提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力，感受數(shù)形結(jié)合的育人價(jià)值.

七、教學(xué)反思

教學(xué)設(shè)計(jì)是靜態(tài)的，而課堂生成是動(dòng)態(tài)的. 通過對(duì)數(shù)形結(jié)合的設(shè)計(jì)和實(shí)施教學(xué)，筆者認(rèn)為，在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)形結(jié)合思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)應(yīng)注意以下幾點(diǎn).

1. 進(jìn)行單元整體教學(xué)

從整體上把握教學(xué)內(nèi)容，整體構(gòu)思單元各課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容，注重知識(shí)的前后聯(lián)系，以及對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)的重要作用，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性和方法的一般性. 在相互聯(lián)系中引導(dǎo)學(xué)生感悟其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，有利于深化學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解，培養(yǎng)理性精神和探究精神，提升中考數(shù)學(xué)備考能力.

2. 發(fā)揮一般觀念的引領(lǐng)作用

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施是在一般觀念的指導(dǎo)下，以數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在邏輯構(gòu)建自然而然的研究過程. 以解直角三角形內(nèi)容為載體，根據(jù)題目條件和數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在邏輯關(guān)系設(shè)計(jì)系列問題串，自然引出數(shù)形關(guān)聯(lián)表，利用問題串和數(shù)形關(guān)聯(lián)表引導(dǎo)學(xué)生概括總結(jié)問題的解決思路和方法，提煉數(shù)形結(jié)合的作用、一般操作步驟、轉(zhuǎn)化策略，形成基本套路，提升教學(xué)的整體性和思想性，幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想方法，使學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，從復(fù)雜問題中抓住關(guān)鍵要素，從而化繁為簡(jiǎn)，形成數(shù)學(xué)的思維方式，提升發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.

3. 遵循數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的原理

數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)要經(jīng)歷“解決問題—概括提煉—遷移應(yīng)用—聯(lián)系發(fā)展”這四個(gè)階段. 本節(jié)課以此為依據(jù)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì). 首先，通過具體問題的解決，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想;其次，將如何分析問題結(jié)構(gòu)、構(gòu)想數(shù)形關(guān)聯(lián)、實(shí)施數(shù)形轉(zhuǎn)換這一操作過程顯性化，明確其作用、操作步驟和要點(diǎn)，提煉和概括數(shù)形結(jié)合思想;最后，讓學(xué)生用概括出來(lái)的數(shù)形結(jié)合思想解決新的問題，感悟利用數(shù)形結(jié)合解決問題的關(guān)鍵是從數(shù)的角度觀察圖形特征，從形的角度實(shí)現(xiàn)數(shù)量代換，找到數(shù)與形的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，使學(xué)生內(nèi)化數(shù)形結(jié)合思想，形成數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn). 例如，在回顧檢測(cè)題2和問題1時(shí)，給表格加個(gè)題目“數(shù)形關(guān)聯(lián)表”，在對(duì)照表格進(jìn)行引導(dǎo)時(shí)用“數(shù)量關(guān)系關(guān)聯(lián)的幾何圖形”和“幾何圖形關(guān)聯(lián)的數(shù)量關(guān)系”等語(yǔ)言，可以促進(jìn)學(xué)生使用“關(guān)聯(lián)”進(jìn)行概括.

4. 精選樣例

引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)形結(jié)合思想方法，重要的是精選適當(dāng)?shù)念}目，利用題目歸納操作流程. 鞏固操作流程可以利用相關(guān)的變式題目和拓展題目進(jìn)行遷移訓(xùn)練，使學(xué)生在合作探究中內(nèi)化數(shù)形結(jié)合的操作流程，在反思總結(jié)中形成有結(jié)構(gòu)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn).

5. 堅(jiān)持以學(xué)為中心

在以學(xué)生活動(dòng)為主、以感悟數(shù)形結(jié)合思想為目標(biāo)的復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師需要注意鼓勵(lì)學(xué)生積極思考、提出有價(jià)值的問題，關(guān)注學(xué)生是否能夠用數(shù)學(xué)的思維方式觀察、分析、解決問題，使學(xué)生感受數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化，使抽象思維與形象思維相結(jié)合;合理運(yùn)用信息技術(shù)手段，有利于增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高課堂學(xué)習(xí)效果.

教學(xué)時(shí)，若教師不揭示方法的本質(zhì)，學(xué)生只會(huì)看到簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)操作，看不到問題的本質(zhì). 數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的更高層次的概括與提煉，是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力、發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要環(huán)節(jié). 數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)對(duì)解題教學(xué)具有十分重要的指導(dǎo)作用，有助于提升學(xué)生的解題能力和應(yīng)用能力，發(fā)展學(xué)生的理性思維和科學(xué)精神，有效發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值.

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