崔佳佳 王秀閣

摘? 要：初中數(shù)學函數(shù)內容的學習主要有三類典型的基本函數(shù)模型——一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，其目的是以這三類基本函數(shù)模型為例，讓學生理解變量之間的依賴關系和變化規(guī)律. 同時，讓學生體會函數(shù)研究中的數(shù)形結合思想，積累函數(shù)研究的活動經驗. 通過設計適當?shù)男潞瘮?shù)研究任務，既可以檢驗學生是否積累了可遷移的函數(shù)研究活動經驗，又可以促進這種活動經驗的進一步遷移，具有較高的育人價值. 以“二次型絕對值函數(shù)的圖象和性質”研究為載體，引導學生類比二次函數(shù)進行研究，可以取得良好的教學效果.

關鍵詞：數(shù)學活動經驗;研究對象;研究路徑;研究策略

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中指出，有效的數(shù)學活動不能單純地依賴模仿與記憶，自主探索、合作交流是學生學習數(shù)學的重要方式. 學生在數(shù)學學習中的質疑、交流、拓展及提升等活動是獲得基礎知識和基本技能的過程，也是積累基本方法和基本活動經驗的過程，更是發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)的必經之路.

在學習了二次函數(shù)的圖象和性質后，筆者與其他教師一起設計了“二次型絕對值函數(shù)的圖象和性質”一課，在本節(jié)課中引入了一個新的研究對象——函數(shù)[y=ax2+bx+c a≠0，] 引導學生運用已有的二次函數(shù)學習經驗研究新問題，鼓勵學生自主規(guī)劃研究路徑，選擇研究策略，并通過相互交流優(yōu)化研究策略. 在合作交流和評價中發(fā)展學生的思辨能力，優(yōu)化解題方法，主動建立知識之間的聯(lián)系，加深學生對轉化思想的領悟，提升學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象等素養(yǎng).

一、從學生已有經驗出發(fā)，引入研究對象

在本節(jié)課中，教師創(chuàng)設了以下問題情境：學習了二次函數(shù)之后，有學生遇到函數(shù)[y=-x2+2x+1，] 并提出了“它是二次函數(shù)嗎？”的問題.

學生看到這個函數(shù)可能會有所猶豫，感覺它像二次函數(shù)，但由于帶有絕對值，與二次函數(shù)又有所區(qū)別. 如何能確定它是否是二次函數(shù)呢？有的學生想到從定義出發(fā)去判別，有的學生想到看看它的圖象是否符合二次函數(shù)的圖象特征，還有的學生想從函數(shù)性質上判斷它是否是二次函數(shù)，等等. 那么，像這樣的函數(shù)的圖象是什么樣的？它又具備哪些性質？本節(jié)課通過設置這樣的問題情境吸引學生的注意力，激發(fā)學生研究問題的興趣.

在學生剛學習完二次函數(shù)的相關知識后，利用已有的函數(shù)知識和學習經驗對新函數(shù)進行研究，既可以促進學生鞏固二次函數(shù)相關知識，又能幫助學生用已有的研究函數(shù)的一般過程和方法研究新函數(shù)，促進知識和經驗的遷移，進一步體會研究過程中蘊涵的轉化、數(shù)形結合等數(shù)學思想方法，發(fā)展學生的數(shù)學抽象、邏輯推理等素養(yǎng).

二、問題驅動，引導學生調動已有經驗規(guī)劃研究路徑

研究一個數(shù)學對象的基本路徑是：從具體事物中抽象出共同特征，給出定義及表示方法，并對研究對象進行分類，然后研究它的性質，在此基礎上，再研究其“特例”，在這個過程中要始終注重相關知識之間的聯(lián)系與應用. 在日常學習過程中，學生已經積累了一定的數(shù)學基本活動經驗，對新的學習對象進行研究，需要學生有意識地提取原有的活動經驗，這時就需要教師進行有效的引導，幫助學生回顧之前的學習情境，通過追溯原有的學習過程，實現(xiàn)新知探索的經驗遷移.

在本節(jié)課之前，學生學習了一次函數(shù)和二次函數(shù)，了解了研究函數(shù)的一般方法，經歷了這些函數(shù)的研究過程，初步積累了研究一類函數(shù)的經驗. 為了發(fā)揮學生已有經驗的作用，引導學生將知識進行關聯(lián)和類比，將函數(shù)學習的經驗遷移到對新函數(shù)的研究中，教師設計了系列化問題，由研究對象到研究路徑，再到研究方法，引導學生整體規(guī)劃、分步實施研究過程.

環(huán)節(jié)1：復習回顧二次函數(shù)的研究思路和內容.

問題1：我們研究了二次函數(shù)哪些方面的內容？我們是按照怎樣的思路展開研究的？

通過問題，帶領學生回顧已學知識. 對于二次函數(shù)，我們主要研究了二次函數(shù)的概念、圖象和性質. 研究思路是從特殊到一般展開研究. 如圖1，先研究了頂點在坐標原點的二次函數(shù)，在此基礎上繼續(xù)探究頂點在坐標軸上的特殊二次函數(shù)，進而研究更為一般的二次函數(shù).

環(huán)節(jié)2：創(chuàng)設數(shù)學情境，引入新的研究對象.

問題2：[y=-x2+2x+1]是二次函數(shù)嗎？

從該問題出發(fā)，對新的函數(shù)展開研究.

對比二次函數(shù)的概念，發(fā)現(xiàn)這個函數(shù)不是二次函數(shù)，但從形式上看與二次函數(shù)有一定的關系，是怎樣的關系呢？以下展開對這類函數(shù)的研究.

問題3：觀察下面這些函數(shù)的解析式，根據它們的共同特征，像這樣的函數(shù)可以表示為形如[y=]? ? ? ? ? ? ?的函數(shù)，其中x為自變量.

借助已有的函數(shù)學習經驗，學生通過對具體例子的觀察、抽象和歸納，得到該類函數(shù)解析式的一般特征，形如[y=ax2+bx+c a≠0，] 還有學生發(fā)現(xiàn)也可以寫作[y=ax2+bx+c a≠0.] 此時，有的學生已經關注到了兩者之間有一定的聯(lián)系，能進行相關的轉化，這樣的經驗對后續(xù)研究函數(shù)的過程中將未知的函數(shù)向已知的函數(shù)轉化奠定了一定的基礎.

歸納出一般形式后，教師鼓勵學生對形如[y=][ax2+bx+c a≠0]的函數(shù)進行命名，學生將這樣的函數(shù)叫做“二次型絕對值函數(shù)”，由此確定了本節(jié)課的研究對象.

環(huán)節(jié)3：對“二次型絕對值函數(shù)”[y=ax2+bx+][c a≠0]展開研究.

問題4：類比二次函數(shù)的學習研究過程，我們可以研究“二次型絕對值函數(shù)”的哪些內容？如何對這類新函數(shù)展開研究？

學生提出可以研究“二次型絕對值函數(shù)”的圖象和性質，可以采用從簡單到復雜的研究方法，并給出了如圖2所示的研究計劃.

對于每種形式的新函數(shù)，可以先讓系數(shù)取一些具體的數(shù)值，用從特殊到一般的方法進行研究.

可見，在系列化問題的驅動下，面對新情境時，學生能主動調用已有的學習經驗，將習得的研究函數(shù)的思路和方法遷移到對新問題的研究過程中. 本節(jié)課以研究函數(shù)的整體架構為指導，在情境與問題的引導下，學生逐步明確研究對象、研究思路和研究方法，用這樣的一般觀念指導新函數(shù)的研究，展開連貫性的數(shù)學學習，體現(xiàn)了數(shù)學探究活動的理念，實現(xiàn)思想方法和活動經驗的遷移.

數(shù)學活動經驗往往在遇到相似的情境時被喚醒，教師要善于發(fā)揮數(shù)學活動經驗的作用，結合具體內容提供多樣化的活動情境，引導學生激活和提取相關的活動經驗來學習新知或解決問題，而基于問題驅動的探究活動易于提煉已有經驗，提高學生分析問題和解決問題的能力. 在提取經驗、解決問題的過程中，讓學生的數(shù)學活動經驗得到豐富和提升.

三、促進數(shù)學活動經驗的遷移，選擇、優(yōu)化研究策略

數(shù)學活動經驗是學生在數(shù)學活動過程中獲得的對數(shù)學的體驗和認識，具有典型的個體性和內隱性特征，對于學生的數(shù)學學習起著重要的作用. 數(shù)學活動經驗從積累到遷移是學生學習能力提升的一個質的飛躍.

本節(jié)課在對研究計劃實施的過程中，有學生提出對于函數(shù)[y=ax2]和[y=ax2+k]，其實它們可以分別轉化為[y=ax2]和[y=ax2+k.] 因此，函數(shù)[y=ax2]和[y=][ax2+k]的圖象和性質就與已學過的函數(shù)是一致的. 也就是說，對于新形式的函數(shù)的研究，并不都是必須采用列表、描點、畫函數(shù)圖象等方式，也可以借助對解析式特點的分析，將新函數(shù)進行轉化，多角度地進行研究. 通過這樣的思維展現(xiàn)，實現(xiàn)了使學生從模仿過渡到自主發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，促進學生數(shù)學活動經驗的提升.

對于函數(shù)[y=ax-h2]，有的學生根據已有的研究函數(shù)的經驗，決定采用描點法畫函數(shù)圖象，分析函數(shù)圖象特征的策略，得到函數(shù)的性質. 利用從特殊到一般的方法，先研究幾個具體的函數(shù)，再歸納得到一般的函數(shù)[y=ax-h2]的圖象特征和相關性質. 這樣學生對研究新函數(shù)有了一定的經驗，掌握了先利用描點法畫函數(shù)圖象再研究其性質的基本方法，在研究過程中能結合函數(shù)解析式進行一定的代數(shù)推理. 例如，在列表過程中發(fā)現(xiàn)函數(shù)[y=-x-12]的圖象是關于y軸對稱的;由[-x-12≤0]得到[y≤0，] 即這些點在x軸上或在x軸的下方，有數(shù)形結合研究問題的意識. 但是采用這種研究策略的學生未關注到這個函數(shù)與已學習過的二次函數(shù)之間的聯(lián)系.

有的學生能從函數(shù)的解析式入手，發(fā)現(xiàn)函數(shù)[y=][-x-12]的解析式中含有絕對值，可以將絕對值通過分類討論進行轉化. 當[x≥0]時，[y=-x-12;]? 當[x<0]時，[y=--x-12=-x+12，] 即[y=-x-12，? ?x≥0，-x+12，? ?x<0.] 學生根據在一次函數(shù)學習過程中了解的分段函數(shù)的經驗，得到這個函數(shù)的圖象是由兩個二次函數(shù)圖象的一部分組成，畫出了如圖3所示的函數(shù)圖象.

從學生的思考過程可以發(fā)現(xiàn)，這部分學生能主動調用已有的函數(shù)學習經驗，結合代數(shù)式的相關知識，關注到新的問題情境與已有的二次函數(shù)知識之間的聯(lián)系，通過分析和推理將之轉化為已學習過的函數(shù)進行研究，實現(xiàn)了數(shù)學活動經驗的有效遷移.

有了對函數(shù)[y=ax-h2]的研究的突破，接下來對于函數(shù)[y=ax-h2+k]的研究，學生根據已有的二次函數(shù)的學習經驗得出它的圖象可由函數(shù)[y=ax-h2]向上或向下平移得到，從而可以得到相關的函數(shù)圖象和性質. 例如，函數(shù)[y=-x-12+2]的圖象可由函數(shù)[y=][-x-12]的圖象向上平移2個單位長度得到（如圖4）. 而對于函數(shù)[y=ax2+bx+c]，學生提出可以利用配方法將之轉化為[y=ax-h2+k]的形式來進行研究. 例如，函數(shù)[y=-x2+2x+1]可以利用配方法轉化為函數(shù)[y=-x-12+2]進行研究. 由此，學生主動建立了這些函數(shù)之間的聯(lián)系，實現(xiàn)了自己設計的研究計劃. 在此過程中，學生不斷主動地將二次函數(shù)的相關學習經驗遷移到對新函數(shù)的研究中，既鞏固了二次函數(shù)的相關知識和方法，又增長了研究新函數(shù)的經驗.

每個個體在數(shù)學活動中都是以自己的方式建構對數(shù)學內容的理解，通過不同研究策略的個人經驗交流與融合，可以促進對個人經驗的優(yōu)化和提升. 在自主研究和討論交流的過程中，一方面，學生類比二次函數(shù)的研究路徑，由特殊到一般展開研究;另一方面，學生從最基本的描點畫圖象的研究方法提升到利用分類討論將絕對值進行轉化，使得新函數(shù)轉化為已學過的函數(shù)來進行研究.

在此基礎上，教師提出：實際上剛才有學生提出，我們可以借助分類討論對絕對值進行化簡，將一般的“二次型絕對值函數(shù)”[y=ax2+bx+c]直接轉化為相關的二次函數(shù)來研究，即[y=ax2+][bx+c=][ax2+bx+c x≥0? ?，ax2-bx+c x<0? ?，] 得到一個分段函數(shù)，其圖象可以由兩個二次函數(shù)圖象的一部分組合而成. 教師帶領學生分析了幾個具體的“二次型絕對值函數(shù)”，并利用幾何畫板軟件展示了它們的圖象，促進學生對轉化過程的理解，并要求學生課后繼續(xù)進行研究，嘗試歸納函數(shù)[y=ax2+bx+c a≠0]的圖象特征和函數(shù)性質. 接下來，教師引導學生反思和總結，促進內隱的、零散的個人經驗進一步明晰、概括和抽象. 在這個過程中，學生會積累“怎么想到用轉化的方法，如何進行轉化，什么情況下可以用轉化的方法”等數(shù)學活動經驗. 因為學生的知識是有限的，對于簡單的基本函數(shù)，一般是用描點畫圖象的方法展開研究;而對于一些較為復雜的函數(shù)，我們可以參考已學函數(shù)的研究方法（如從特殊到一般的研究方法），也可以通過相關的條件轉化為基本函數(shù)展開研究，這也是后續(xù)高中函數(shù)學習研究中的重要方法.

四、教學反思

本節(jié)課在回顧二次函數(shù)研究過程的基礎上，從學生的一個疑問出發(fā)，從特殊到一般，抽象出學生命名的“二次型絕對值函數(shù)”，實現(xiàn)了對一個新類型函數(shù)的歸類處理. 采用整體建構的策略，讓學生經歷研究函數(shù)的一般過程：選取研究對象—規(guī)劃研究路徑—具體實施研究—反思、總結研究策略. 在研究過程中，通過創(chuàng)設新問題情境，促進學生進一步理解二次函數(shù)的相關知識，鞏固了畫函數(shù)圖象、分析描述函數(shù)性質等基本技能;引導學生多角度思考問題，建立知識之間的聯(lián)系，利用類比、化歸等方法主動調用已有學習和研究函數(shù)問題的經驗，將之有效地遷移到新的情境中. 在得出結果的過程中，注重對結果的結構性、數(shù)學化的表達，形成新的數(shù)學經驗積累.

學生數(shù)學活動經驗的積累是一個循序漸進的過程，加強遷移應用可以促進學生的數(shù)學活動經驗上升到更高的水平，實現(xiàn)經驗的改造或重組. 學生在解決問題的過程中，形成經驗的遷移不是一蹴而就的，而是需要教師不斷創(chuàng)設新的問題情境，在參與活動的過程中讓學生學會獨立思考，主動提取和遷移已有經驗;傾聽他人的方法，進行質疑和判斷，調整解決問題的策略，增強共同學習、合作交流的能力，豐富自己思考和解決問題的經驗;回顧整理活動過程，關注對數(shù)學內容本質及其聯(lián)系的把握，主動進行反思、總結，提煉和提升數(shù)學活動經驗.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]丁福珍. 整體觀指導下的初中函數(shù)單元總復習實踐研究[J]. 數(shù)學通報，2020，59（4）：47-51.

[3]張逢成. 探究式教學中的問題設計[M]. 徐州：中國礦業(yè)大學出版社，2011.

[4]羅敏娜. 中學數(shù)學思維教學研究[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[5]章建躍. 章建躍數(shù)學教育隨想錄[M]. 杭州：浙江教育出版社，2017.

[6]王成剛. 例析研究新函數(shù)圖像的基本策略[J]. 數(shù)學通報，2020，59（10）：53-57，61.

[7]仲秀英. 學生數(shù)學活動經驗的內涵探究[J].? 課程·教材·教法，2010，30（10）：52-56，80.