曹自由 初雨

摘? 要：圖形的變化是發(fā)展空間觀(guān)念的內(nèi)容抓手，也是研究圖形的基本方法，是發(fā)現(xiàn)和構(gòu)造不變量和不變關(guān)系的重要途徑. 學(xué)生在新授課階段分別學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱(chēng)、平移和旋轉(zhuǎn)，在中考第二輪復(fù)習(xí)中需要建立它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行整體復(fù)習(xí). 通過(guò)四個(gè)課時(shí)的復(fù)習(xí)教學(xué)，分別引導(dǎo)學(xué)生感受運(yùn)動(dòng)變化、理解運(yùn)動(dòng)變化、運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化、整合運(yùn)動(dòng)變化，有效發(fā)展學(xué)生的空間觀(guān)念、幾何直觀(guān)和推理能力. 文章將第1課時(shí)設(shè)計(jì)整理成文，以供研討.

關(guān)鍵詞：圖形的變化;中考復(fù)習(xí);教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容

圖形的變化（軸對(duì)稱(chēng)、平移、旋轉(zhuǎn)）.

2. 內(nèi)容解析

初中階段學(xué)習(xí)的幾何圖形的變化包括軸對(duì)稱(chēng)、平移、旋轉(zhuǎn)和相似（位似）的概念、性質(zhì)和應(yīng)用. 本節(jié)課復(fù)習(xí)的內(nèi)容是圖形的全等變換——軸對(duì)稱(chēng)、平移和旋轉(zhuǎn).

圖形的全等變換可以看作是圖形的剛體運(yùn)動(dòng)，用全等變換的思想研究圖形的性質(zhì)和關(guān)系是“圖形與幾何”領(lǐng)域重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容. 在義務(wù)教育階段，圖形之間最重要的關(guān)系就是全等，全等可以用圖形重合的方式直觀(guān)獲得，而“圖形重合”需要通過(guò)圖形的運(yùn)動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)，這種運(yùn)動(dòng)就是圖形的軸對(duì)稱(chēng)、平移和旋轉(zhuǎn). 圖形的變化是理解圖形空間結(jié)構(gòu)的基本方法，也是空間觀(guān)念的核心要素. 抽象軸對(duì)稱(chēng)、平移和旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)，用邏輯的方法理解圖形的全等變換是從定性到定量研究圖形的變化的橋梁. 從小學(xué)直觀(guān)認(rèn)識(shí)圖形的軸對(duì)稱(chēng)、平移和旋轉(zhuǎn)到初中的邏輯研究、坐標(biāo)表示再到后續(xù)的矩陣表示，是圖形的全等變換的定性到定量發(fā)展的三個(gè)重要階段.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：建立三種圖形的變化相關(guān)知識(shí)的邏輯體系，并用圖形變化的觀(guān)點(diǎn)認(rèn)識(shí)幾何圖形.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1. 目標(biāo)

（1）理解軸對(duì)稱(chēng)、平移、旋轉(zhuǎn)之間的聯(lián)系，加深對(duì)運(yùn)動(dòng)變化的認(rèn)識(shí)，落實(shí)畫(huà)圖和識(shí)圖的能力，滲透幾何直觀(guān)能力.

（2）在問(wèn)題探究的過(guò)程中，逐步形成用圖形的變化思考、解決問(wèn)題的意識(shí)，滲透圖形變化思想.

2. 目標(biāo)解析

達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志：能夠從運(yùn)動(dòng)變化的角度描述兩個(gè)已知圖形之間的關(guān)系，能夠根據(jù)圖形變化（軸對(duì)稱(chēng)、平移、旋轉(zhuǎn)）的概念和性質(zhì)畫(huà)出運(yùn)動(dòng)變化后的圖形，通過(guò)梳理建立三種變化相關(guān)知識(shí)的邏輯體系.

達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志：能夠以運(yùn)動(dòng)的視角觀(guān)察圖形，用變化的思想分析圖形特征.

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

近幾年北京中考試卷中的幾何綜合題都考查了圖形的變化的相關(guān)內(nèi)容，并且不是單一的，而是從一種變化到另一種變化的綜合考查. 但是學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)，知識(shí)是零散的、分割開(kāi)的，先學(xué)習(xí)了平移，然后是軸對(duì)稱(chēng)和旋轉(zhuǎn)，沒(méi)有形成三種變化相關(guān)知識(shí)的邏輯體系. 同時(shí)，圖形的變化是一種觀(guān)察圖形的視角，培養(yǎng)這種“視角”與培養(yǎng)“知識(shí)與技能”同樣重要.

基于以上分析，可以確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：三種圖形的變化之間的轉(zhuǎn)化.

四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1. 課前學(xué)習(xí)

題目? 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系[xOy]中，[△AOB]可以看作是[△OCD]經(jīng)過(guò)若干次圖形的變化（軸對(duì)稱(chēng)、平移、旋轉(zhuǎn)）得到的，寫(xiě)出一種由[△OCD]得到[△AOB]的過(guò)程：? ? ? ? ? ? ?.

思考問(wèn)題：什么是軸對(duì)稱(chēng)、平移、旋轉(zhuǎn)？它們各有什么性質(zhì)？它們之間有什么聯(lián)系？

【設(shè)計(jì)意圖】此題為2017年中考北京卷第15題，學(xué)生在課前復(fù)習(xí)軸對(duì)稱(chēng)、平移、旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識(shí)，關(guān)注知識(shí)的形成過(guò)程及知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，在應(yīng)用中不斷深化認(rèn)識(shí). 通過(guò)解決中考試題回顧思考涉及的知識(shí)和思想方法，進(jìn)一步提升能力.

2. 交流梳理

環(huán)節(jié)1：交流課前學(xué)習(xí)成果.

（1）平移：如圖2，平移前后的兩個(gè)圖形全等（從圖形形狀、大小關(guān)系來(lái)看）;對(duì)應(yīng)線(xiàn)段平行且相等，兩對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)互相平行（共線(xiàn)）且相等（從圖形位置變化來(lái)看）.

（2）軸對(duì)稱(chēng)：如圖3，關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形全等（從圖形形狀、大小關(guān)系來(lái)看）;對(duì)應(yīng)線(xiàn)段相等，兩個(gè)圖形關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)稱(chēng)軸是任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)（從圖形位置變化來(lái)看）.

（3）旋轉(zhuǎn)：如圖4，旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等（從圖形形狀、大小關(guān)系來(lái)看）;每?jī)蓪?duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)所形成的角都等于旋轉(zhuǎn)角（從圖形位置變化來(lái)看）;對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等（從圖形位置變化來(lái)看）.

（4）軸對(duì)稱(chēng)、平移、旋轉(zhuǎn)三者的關(guān)系：如圖5，兩條對(duì)稱(chēng)軸平行的軸對(duì)稱(chēng)復(fù)合[?]一次平移;兩條對(duì)稱(chēng)軸相交的軸對(duì)稱(chēng)復(fù)合[?]一次旋轉(zhuǎn).

軸對(duì)稱(chēng)在三種變化中起到橋梁作用，軸對(duì)稱(chēng)與另外兩種全等變換在地位上是有區(qū)別的，它是更加基礎(chǔ)的一種變化，所有平移、旋轉(zhuǎn)都可以用軸對(duì)稱(chēng)變化來(lái)解釋.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生先回答思考問(wèn)題，借此梳理三種變化的性質(zhì)，明確各自的畫(huà)圖方法及依據(jù)，明確三種變化之間的關(guān)系.

環(huán)節(jié)2：?jiǎn)栴}引導(dǎo)深入思考.

思考：只用一種變化可不可以操作？如何操作？用兩種變化如何操作？哪種方法容易快速想到？為什么？

【設(shè)計(jì)意圖】課上讓學(xué)生先交流自己的結(jié)果. 而學(xué)生在交流結(jié)果時(shí)一定是無(wú)序的，這時(shí)教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有序思考.

問(wèn)題1：對(duì)于題目，只用兩種變化有哪些方法？

學(xué)生活動(dòng)：交流使用兩種變化的情況.

（1）旋轉(zhuǎn) + 平移.

思路1：將△COD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，再向左平移兩個(gè)單位得到△AOB.

思路2：將△COD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，再向上平移兩個(gè)單位得到△AOB.

思路3：將△COD向左平移兩個(gè)單位后，再繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AOB.

思路4：將△COD向上平移兩個(gè)單位后，再繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AOB.

（2）旋轉(zhuǎn) + 軸對(duì)稱(chēng).

思路5：將△COD先關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，再以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再作關(guān)于直線(xiàn)x = 1的對(duì)稱(chēng)得到△AOB.

追問(wèn)：采用“平移 + 軸對(duì)稱(chēng)”的方式可以嗎？

歸納：對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)排列的順序一致——旋轉(zhuǎn);與目標(biāo)圖形的方向一致——平移.

問(wèn)題2：用一種變化有哪些方法？

追問(wèn)：兩個(gè)全等的三角形通過(guò)某種運(yùn)動(dòng)方式一定能重合嗎？若能重合，如何運(yùn)動(dòng)？

歸納：對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)排列順序一致，經(jīng)過(guò)一次旋轉(zhuǎn)能重合.

學(xué)生活動(dòng)：對(duì)于題目，展示只通過(guò)旋轉(zhuǎn)或只通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)完成任務(wù)的方法，并說(shuō)明自己的畫(huà)圖方法和畫(huà)圖依據(jù).

方法1：（旋轉(zhuǎn)）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角.

思路6：將△COD繞點(diǎn)[1，1]順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AOB.

思路7：將△COD先繞點(diǎn)[1，-1]逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，再繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到△AOB.

方法2：（軸對(duì)稱(chēng)）兩條對(duì)稱(chēng)軸相交的軸對(duì)稱(chēng)復(fù)合[?]一次旋轉(zhuǎn).

思路8：先將△COD沿直線(xiàn)x = 1對(duì)稱(chēng)后，再沿直線(xiàn)y = x對(duì)稱(chēng)得到△AOB.

思路9：先將△COD沿直線(xiàn)y = 1對(duì)稱(chēng)后，再沿直線(xiàn)y = -x + 2對(duì)稱(chēng)得到△AOB.

【設(shè)計(jì)意圖】題目難度不大，且學(xué)生具備直接識(shí)別運(yùn)動(dòng)變化的能力，但是學(xué)生自己描述運(yùn)動(dòng)變化的經(jīng)驗(yàn)還是比較少的，而且運(yùn)動(dòng)的方式是不唯一的，給出運(yùn)動(dòng)前后的圖形，描述運(yùn)動(dòng)變化要素，這對(duì)學(xué)生的要求實(shí)際上是提高了很多的. 因此，要關(guān)注這三種運(yùn)動(dòng)變化之間的聯(lián)系，通過(guò)這個(gè)過(guò)程深化學(xué)生對(duì)于運(yùn)動(dòng)變化的認(rèn)識(shí).

3. 變式練習(xí)

變式1：如圖6，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，試類(lèi)比上一個(gè)問(wèn)題的探究過(guò)程，說(shuō)出△ABE經(jīng)過(guò)怎樣的圖形的變化（平移、軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)）得到△BCF？

變式2：如圖7，在等邊三角形ABC中，AD = BE，試類(lèi)比上一個(gè)問(wèn)題的探究過(guò)程，說(shuō)出△ABE經(jīng)過(guò)怎樣的圖形的變化（軸對(duì)稱(chēng)、平移、旋轉(zhuǎn)）得到△CAD？

學(xué)生活動(dòng)：展示所畫(huà)圖形的變化過(guò)程，并用語(yǔ)言描述這個(gè)過(guò)程. 學(xué)生可能想到如下情況.

（1）旋轉(zhuǎn) + 平移（如圖8和圖9）.

（2）兩次軸對(duì)稱(chēng)（如圖10）.

（3）一次旋轉(zhuǎn)（如圖11）.

【設(shè)計(jì)意圖】將任務(wù)探究的思維過(guò)程結(jié)構(gòu)化，形成解決問(wèn)題的方法思路. 同時(shí)滲透用運(yùn)動(dòng)變化的眼光觀(guān)察圖形的思想方法. 滿(mǎn)足特定條件下的圖形的變化可能有多種情況，培養(yǎng)思維的有序性、多樣性.

4. 歸納與提升

總結(jié)、歸納本節(jié)課的教學(xué)流程如圖12所示.

【設(shè)計(jì)意圖】歸納方法、提升能力，形成用運(yùn)動(dòng)的眼光、變換的思想看待兩個(gè)圖形之間的關(guān)系的能力，滲透運(yùn)動(dòng)變換思想.

5. 布置作業(yè)

五、教學(xué)反思

本節(jié)課是“圖形的軸對(duì)稱(chēng)、平移和旋轉(zhuǎn)”中考第二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)課，內(nèi)容屬于“圖形的變化”. 希望通過(guò)一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生在已有知識(shí)基礎(chǔ)上對(duì)圖形變換思想進(jìn)行相應(yīng)的概括和應(yīng)用. 同時(shí)，在落實(shí)“四基”、培養(yǎng)“四能”的過(guò)程中，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.

1. 感受運(yùn)動(dòng)變化，建立邏輯體系

學(xué)生通過(guò)親身經(jīng)歷課前的數(shù)學(xué)操作活動(dòng)后，體驗(yàn)的水平停留在“感覺(jué)”階段，還沒(méi)有對(duì)活動(dòng)過(guò)程進(jìn)行深入的思考，沒(méi)有深刻認(rèn)識(shí)到三種全等變換之間內(nèi)在的邏輯關(guān)系. 在此基礎(chǔ)上，學(xué)生在課堂上通過(guò)交流及反思性觀(guān)察將獲得的體驗(yàn)進(jìn)行抽象，梳理三種全等變換各自的性質(zhì)及它們之間的聯(lián)系，形成解決該類(lèi)問(wèn)題的一般思維模式. 圖形的變化是一種觀(guān)察圖形的視角，培養(yǎng)這種“視角”與培養(yǎng)“知識(shí)與技能”同樣重要.

在關(guān)注聯(lián)系的基礎(chǔ)上，通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)，使學(xué)生能夠進(jìn)行知識(shí)的歸納梳理，并能夠主動(dòng)利用經(jīng)驗(yàn)的遷移去研究其他問(wèn)題. 通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)，進(jìn)一步幫助學(xué)生感受運(yùn)動(dòng)變化，學(xué)會(huì)以運(yùn)動(dòng)變化的視角分析圖形，也為后續(xù)進(jìn)一步主動(dòng)運(yùn)用圖形變化視角認(rèn)識(shí)幾何圖形，運(yùn)用圖形變換思想解決綜合性問(wèn)題奠定基礎(chǔ).

2. 培養(yǎng)思維的有序性、多樣性

滿(mǎn)足特定條件下的圖形的變化可能有多種情況，開(kāi)放性問(wèn)題有助于學(xué)生體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性. 與此同時(shí)，通過(guò)增加限定條件，從兩種圖形變化的組合，到只用一種圖形變化，將任務(wù)探究的思維過(guò)程結(jié)構(gòu)化，形成解決問(wèn)題的方法思路. 同時(shí)，滲透用運(yùn)動(dòng)變化的眼光觀(guān)察圖形的思想方法.

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)定位在落實(shí)畫(huà)圖和識(shí)圖能力，滲透幾何直觀(guān)能力，理解軸對(duì)稱(chēng)、平移、旋轉(zhuǎn)之間的聯(lián)系，加深對(duì)運(yùn)動(dòng)變化的認(rèn)識(shí);在問(wèn)題探究的過(guò)程中，逐步形成用圖形的變化視角思考解決問(wèn)題的意識(shí)，滲透圖形變化思想. 在實(shí)際授課過(guò)程中，知識(shí)與技能落實(shí)得比較到位，而思想性體現(xiàn)不夠充分，還需要深入研究，在思想性上多做文章.

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