曹自由 初雨

摘? 要：圖形的變化是發(fā)展空間觀念的內容抓手，也是研究圖形的基本方法，是發(fā)現和構造不變量和不變關系的重要途徑. 學生在新授課階段分別學習了軸對稱、平移和旋轉，在中考第二輪復習中需要建立它們之間的關聯，進行整體復習. 通過四個課時的復習教學，分別引導學生感受運動變化、理解運動變化、運用運動變化、整合運動變化，有效發(fā)展學生的空間觀念、幾何直觀和推理能力. 文章將第1課時設計整理成文，以供研討.

關鍵詞：圖形的變化;中考復習;教學設計

一、內容和內容解析

1. 內容

圖形的變化（軸對稱、平移、旋轉）.

2. 內容解析

初中階段學習的幾何圖形的變化包括軸對稱、平移、旋轉和相似（位似）的概念、性質和應用. 本節(jié)課復習的內容是圖形的全等變換——軸對稱、平移和旋轉.

圖形的全等變換可以看作是圖形的剛體運動，用全等變換的思想研究圖形的性質和關系是“圖形與幾何”領域重要的學習內容. 在義務教育階段，圖形之間最重要的關系就是全等，全等可以用圖形重合的方式直觀獲得，而“圖形重合”需要通過圖形的運動來實現，這種運動就是圖形的軸對稱、平移和旋轉. 圖形的變化是理解圖形空間結構的基本方法，也是空間觀念的核心要素. 抽象軸對稱、平移和旋轉的基本性質，用邏輯的方法理解圖形的全等變換是從定性到定量研究圖形的變化的橋梁. 從小學直觀認識圖形的軸對稱、平移和旋轉到初中的邏輯研究、坐標表示再到后續(xù)的矩陣表示，是圖形的全等變換的定性到定量發(fā)展的三個重要階段.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重點是：建立三種圖形的變化相關知識的邏輯體系，并用圖形變化的觀點認識幾何圖形.

二、目標和目標解析

1. 目標

（1）理解軸對稱、平移、旋轉之間的聯系，加深對運動變化的認識，落實畫圖和識圖的能力，滲透幾何直觀能力.

（2）在問題探究的過程中，逐步形成用圖形的變化思考、解決問題的意識，滲透圖形變化思想.

2. 目標解析

達成目標（1）的標志：能夠從運動變化的角度描述兩個已知圖形之間的關系，能夠根據圖形變化（軸對稱、平移、旋轉）的概念和性質畫出運動變化后的圖形，通過梳理建立三種變化相關知識的邏輯體系.

達成目標（2）的標志：能夠以運動的視角觀察圖形，用變化的思想分析圖形特征.

三、教學問題診斷分析

近幾年北京中考試卷中的幾何綜合題都考查了圖形的變化的相關內容，并且不是單一的，而是從一種變化到另一種變化的綜合考查. 但是學生學習時，知識是零散的、分割開的，先學習了平移，然后是軸對稱和旋轉，沒有形成三種變化相關知識的邏輯體系. 同時，圖形的變化是一種觀察圖形的視角，培養(yǎng)這種“視角”與培養(yǎng)“知識與技能”同樣重要.

基于以上分析，可以確定本節(jié)課的教學難點是：三種圖形的變化之間的轉化.

四、教學過程設計

1. 課前學習

題目? 如圖1，在平面直角坐標系[xOy]中，[△AOB]可以看作是[△OCD]經過若干次圖形的變化（軸對稱、平移、旋轉）得到的，寫出一種由[△OCD]得到[△AOB]的過程：? ? ? ? ? ? ?.

思考問題：什么是軸對稱、平移、旋轉？它們各有什么性質？它們之間有什么聯系？

【設計意圖】此題為2017年中考北京卷第15題，學生在課前復習軸對稱、平移、旋轉的相關知識，關注知識的形成過程及知識之間的內在聯系，在應用中不斷深化認識. 通過解決中考試題回顧思考涉及的知識和思想方法，進一步提升能力.

2. 交流梳理

環(huán)節(jié)1：交流課前學習成果.

（1）平移：如圖2，平移前后的兩個圖形全等（從圖形形狀、大小關系來看）;對應線段平行且相等，兩對應點連線互相平行（共線）且相等（從圖形位置變化來看）.

（2）軸對稱：如圖3，關于某直線對稱的兩個圖形全等（從圖形形狀、大小關系來看）;對應線段相等，兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是任意一對對應點所連線段的垂直平分線（從圖形位置變化來看）.

（3）旋轉：如圖4，旋轉前后的兩個圖形全等（從圖形形狀、大小關系來看）;每兩對對應點連線所形成的角都等于旋轉角（從圖形位置變化來看）;對應點到旋轉中心的距離相等（從圖形位置變化來看）.

（4）軸對稱、平移、旋轉三者的關系：如圖5，兩條對稱軸平行的軸對稱復合[?]一次平移;兩條對稱軸相交的軸對稱復合[?]一次旋轉.

軸對稱在三種變化中起到橋梁作用，軸對稱與另外兩種全等變換在地位上是有區(qū)別的，它是更加基礎的一種變化，所有平移、旋轉都可以用軸對稱變化來解釋.

【設計意圖】學生先回答思考問題，借此梳理三種變化的性質，明確各自的畫圖方法及依據，明確三種變化之間的關系.

環(huán)節(jié)2：問題引導深入思考.

思考：只用一種變化可不可以操作？如何操作？用兩種變化如何操作？哪種方法容易快速想到？為什么？

【設計意圖】課上讓學生先交流自己的結果. 而學生在交流結果時一定是無序的，這時教師可以引導學生進行有序思考.

問題1：對于題目，只用兩種變化有哪些方法？

學生活動：交流使用兩種變化的情況.

（1）旋轉 + 平移.

思路1：將△COD繞點C順時針旋轉90°后，再向左平移兩個單位得到△AOB.

思路2：將△COD繞點O順時針旋轉90°后，再向上平移兩個單位得到△AOB.

思路3：將△COD向左平移兩個單位后，再繞點C順時針旋轉90°得到△AOB.

思路4：將△COD向上平移兩個單位后，再繞點A順時針旋轉90°得到△AOB.

（2）旋轉 + 軸對稱.

思路5：將△COD先關于x軸對稱，再以點C為旋轉中心順時針旋轉90°，再作關于直線x = 1的對稱得到△AOB.

追問：采用“平移 + 軸對稱”的方式可以嗎？

歸納：對應頂點排列的順序一致——旋轉;與目標圖形的方向一致——平移.

問題2：用一種變化有哪些方法？

追問：兩個全等的三角形通過某種運動方式一定能重合嗎？若能重合，如何運動？

歸納：對應頂點排列順序一致，經過一次旋轉能重合.

學生活動：對于題目，展示只通過旋轉或只通過軸對稱完成任務的方法，并說明自己的畫圖方法和畫圖依據.

方法1：（旋轉）根據旋轉的性質，確定旋轉中心、旋轉方向和旋轉角.

思路6：將△COD繞點[1，1]順時針旋轉90°得到△AOB.

思路7：將△COD先繞點[1，-1]逆時針旋轉90°后，再繞點O旋轉180°得到△AOB.

方法2：（軸對稱）兩條對稱軸相交的軸對稱復合[?]一次旋轉.

思路8：先將△COD沿直線x = 1對稱后，再沿直線y = x對稱得到△AOB.

思路9：先將△COD沿直線y = 1對稱后，再沿直線y = -x + 2對稱得到△AOB.

【設計意圖】題目難度不大，且學生具備直接識別運動變化的能力，但是學生自己描述運動變化的經驗還是比較少的，而且運動的方式是不唯一的，給出運動前后的圖形，描述運動變化要素，這對學生的要求實際上是提高了很多的. 因此，要關注這三種運動變化之間的聯系，通過這個過程深化學生對于運動變化的認識.

3. 變式練習

變式1：如圖6，在正方形ABCD中，點E，F分別是BC，CD的中點，試類比上一個問題的探究過程，說出△ABE經過怎樣的圖形的變化（平移、軸對稱、旋轉）得到△BCF？

變式2：如圖7，在等邊三角形ABC中，AD = BE，試類比上一個問題的探究過程，說出△ABE經過怎樣的圖形的變化（軸對稱、平移、旋轉）得到△CAD？

學生活動：展示所畫圖形的變化過程，并用語言描述這個過程. 學生可能想到如下情況.

（1）旋轉 + 平移（如圖8和圖9）.

（2）兩次軸對稱（如圖10）.

（3）一次旋轉（如圖11）.

【設計意圖】將任務探究的思維過程結構化，形成解決問題的方法思路. 同時滲透用運動變化的眼光觀察圖形的思想方法. 滿足特定條件下的圖形的變化可能有多種情況，培養(yǎng)思維的有序性、多樣性.

4. 歸納與提升

總結、歸納本節(jié)課的教學流程如圖12所示.

【設計意圖】歸納方法、提升能力，形成用運動的眼光、變換的思想看待兩個圖形之間的關系的能力，滲透運動變換思想.

5. 布置作業(yè)

五、教學反思

本節(jié)課是“圖形的軸對稱、平移和旋轉”中考第二輪專題復習課，內容屬于“圖形的變化”. 希望通過一系列數學活動，幫助學生在已有知識基礎上對圖形變換思想進行相應的概括和應用. 同時，在落實“四基”、培養(yǎng)“四能”的過程中，促進學生數學學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.

1. 感受運動變化，建立邏輯體系

學生通過親身經歷課前的數學操作活動后，體驗的水平停留在“感覺”階段，還沒有對活動過程進行深入的思考，沒有深刻認識到三種全等變換之間內在的邏輯關系. 在此基礎上，學生在課堂上通過交流及反思性觀察將獲得的體驗進行抽象，梳理三種全等變換各自的性質及它們之間的聯系，形成解決該類問題的一般思維模式. 圖形的變化是一種觀察圖形的視角，培養(yǎng)這種“視角”與培養(yǎng)“知識與技能”同樣重要.

在關注聯系的基礎上，通過問題引導，使學生能夠進行知識的歸納梳理，并能夠主動利用經驗的遷移去研究其他問題. 通過本節(jié)課的教學，進一步幫助學生感受運動變化，學會以運動變化的視角分析圖形，也為后續(xù)進一步主動運用圖形變化視角認識幾何圖形，運用圖形變換思想解決綜合性問題奠定基礎.

2. 培養(yǎng)思維的有序性、多樣性

滿足特定條件下的圖形的變化可能有多種情況，開放性問題有助于學生體驗解決問題方法的多樣性. 與此同時，通過增加限定條件，從兩種圖形變化的組合，到只用一種圖形變化，將任務探究的思維過程結構化，形成解決問題的方法思路. 同時，滲透用運動變化的眼光觀察圖形的思想方法.

本節(jié)課的教學目標定位在落實畫圖和識圖能力，滲透幾何直觀能力，理解軸對稱、平移、旋轉之間的聯系，加深對運動變化的認識;在問題探究的過程中，逐步形成用圖形的變化視角思考解決問題的意識，滲透圖形變化思想. 在實際授課過程中，知識與技能落實得比較到位，而思想性體現不夠充分，還需要深入研究，在思想性上多做文章.

參考文獻：

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