段春炳 王紅權(quán)

摘? 要：“圖形的變化”是“圖形與幾何”領(lǐng)域的三大模塊之一，內(nèi)容貫穿初中三年的幾何教學(xué). 圖形的性質(zhì)反映為在某種變換下保持不變的性質(zhì)，從變換的視角考察圖形的形成、結(jié)構(gòu)和性質(zhì)更能抓住問題的本質(zhì). 在教學(xué)中，教師可以從單元整體視角設(shè)計系列探究活動，促進(jìn)學(xué)生從整體上理解圖形的變化的概念和性質(zhì)，建立動態(tài)幾何觀念，靈活解決幾何問題.

關(guān)鍵詞：圖形的變化;變換思想;問題解決

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中，“圖形的變化”是“圖形與幾何”領(lǐng)域的三大模塊之一，內(nèi)容包含圖形的軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移、相似和投影. 浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）中，將平移安排在七年級下冊、軸對稱安排在八年級上冊、中心對稱安排在八年級下冊、旋轉(zhuǎn)和相似安排在九年級上冊、投影安排在九年級下冊，整體安排呈螺旋式上升. 由于時間跨度大，不同圖形變化有不同的載體，因此，新課教學(xué)中不能很好地引導(dǎo)學(xué)生從整體性上對圖形進(jìn)行認(rèn)識. 作為中考復(fù)習(xí)，一方面，圖形的變化復(fù)習(xí)重點要基于單元的整體性，提升學(xué)生對于圖形的變化內(nèi)容的理解和應(yīng)用能力;另一方面，圖形的變化貫穿了幾何教學(xué)的全部內(nèi)容，圖形的性質(zhì)一般是變換性質(zhì)的反映，因此，可以用變換的思想去引領(lǐng)幾何復(fù)習(xí)教學(xué)和幾何問題的解決.

一、圖形的變化及對變換思想的理解

1. 對圖形的變化內(nèi)容的本質(zhì)理解

就平面幾何而言，按照德國數(shù)學(xué)家F.克萊因于1872年提出的觀點，平面幾何是研究平面圖形在運動、變化過程中的不變性質(zhì)和不變量的科學(xué). 在軸對稱、旋轉(zhuǎn)和平移變換下保持任意兩點之間的距離不變，這樣的變換稱為等距變換，等距變換也保持角的大小不變. 在等距變換下，不改變圖形的大小、形狀和相對位置等，這些不變性正是我們所要研究的.

在初中階段，軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)是作為研究圖形性質(zhì)、關(guān)系的有力工具. 正如《標(biāo)準(zhǔn)》中指出的要“探索等腰三角形、矩形、菱形、正多邊形和圓的軸對稱性質(zhì)”“探索線段、平行四邊形、正多邊形和圓的中心對稱性質(zhì)”. 通過這些圖形對稱性的探索能使學(xué)生更好地理解這些圖形的性質(zhì).

《標(biāo)準(zhǔn)》中還指出，要“認(rèn)識并欣賞自然界和現(xiàn)實生活中的軸對稱圖形和中心對稱圖形”“認(rèn)識并欣賞平移在自然界和現(xiàn)實生活中的應(yīng)用”“運用圖形的軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移進(jìn)行圖案設(shè)計”. 事實上，圖形的變化在計算機圖形學(xué)、計算機輔助設(shè)計、機械工程、航空制造等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.

2. 圖形的變化中蘊涵的思想方法和育人價值

軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移、相似和投影都是對圖形運動變化下不變的量和不變的關(guān)系的研究.“變中不變”是圖形變換的基本思想之一，這里的“變”通常是指圖形的位置有規(guī)則的發(fā)生變化，“不變”是指圖形經(jīng)過變換后不變的關(guān)系和量，也稱為不變量思想.

通過圖形的變化實現(xiàn)圖形位置的轉(zhuǎn)化，可以把一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形，使分散的條件集中到一個三角形（或四邊形等）中，使問題化難為易，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.

軸對稱圖形、中心對稱圖形、旋轉(zhuǎn)對稱圖形等由圖形的一半（或部分）就能確定圖形的另一半（或部分），利用一半（或部分）圖形的信息解決問題就是對稱思想，對稱思想在圖形的變化中體現(xiàn)的非常明顯和直接.

不同的圖形變換，從定義到性質(zhì)，再到應(yīng)用，都有共通性，能很好地體現(xiàn)類比思想.

圖形的變化的內(nèi)容有利于培養(yǎng)學(xué)生的“運動變化”“變中不變”等思想. 在圖形的變化的學(xué)習(xí)過程中積累的相關(guān)直觀感知經(jīng)驗是培養(yǎng)學(xué)生空間想象、幾何直觀和動態(tài)幾何觀念的重要途徑. 在圖形的變化內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生感受圖形的對稱和數(shù)學(xué)的對稱美，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)審美能力. 應(yīng)用圖形的變化的知識解決具體問題往往需要學(xué)生綜合而靈活地應(yīng)用所學(xué)知識，這對于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識具有很好的作用.

二、復(fù)習(xí)教學(xué)目標(biāo)及整體設(shè)計

“圖形的變化”內(nèi)容包括軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移、相似和投影，前三種都是全等變換. 本文僅考慮軸對稱、旋轉(zhuǎn)和平移的綜合復(fù)習(xí).

根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，結(jié)合上述圖形的變化的作用和地位，以及圖形的變化中蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法和育人價值，基于單元的教學(xué)設(shè)計，從宏觀到中觀，再走向微觀，使抽象觀念變?yōu)榫唧w可操作的行為，確定圖形的變化綜合復(fù)習(xí)的教學(xué)目標(biāo)如下.

（1）從整體視角理解平移、旋轉(zhuǎn)（中心對稱）、軸對稱的概念和性質(zhì)，理解在這幾種圖形的變化下圖形保持形狀和大小不變的本質(zhì).

（2）從圖形的變化的視角理解圖形的結(jié)構(gòu)和性質(zhì). 例如，等腰三角形有軸對稱結(jié)構(gòu)，也有旋轉(zhuǎn)的結(jié)構(gòu)（共端點，等線段）;等邊三角形有軸對稱結(jié)構(gòu)，也有旋轉(zhuǎn)對稱結(jié)構(gòu);平行四邊形有平移的結(jié)構(gòu)，也有中心對稱的結(jié)構(gòu)，等等.

（3）探索平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱三種變換之間的關(guān)系，進(jìn)一步從整體上理解圖形的變化的性質(zhì).

（4）能靈活、綜合應(yīng)用圖形的變化的性質(zhì)解決具體問題，并從中感受應(yīng)用圖形的變化解決問題帶來的簡便和優(yōu)美.

（5）通過經(jīng)歷相關(guān)的探究活動，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.

“圖形的變化”內(nèi)容的復(fù)習(xí)教學(xué)在整體上設(shè)計為如圖1所示的四個板塊.

三、探究性活動的設(shè)計和實施

1. 基于單元整體的探究活動設(shè)計

單元教學(xué)設(shè)計的特點要求從整體上構(gòu)建反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的、有聯(lián)系的和具有挑戰(zhàn)性的系列探究活動，其設(shè)計框架如圖2所示.

2. 探究性活動的實施

活動1： 圖形的變化性質(zhì)的再探究.

情境與問題：比較平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱這三種變換的性質(zhì)，找出它們的相同點和不同點. 在比較的過程中，你還有什么發(fā)現(xiàn)？

思考與交流：學(xué)生通過獨立思考和相互交流，得到這三種變換性質(zhì)的相同點和不同點. 具體如下表所示.

從上表中可以看出，三種變換的相同點如下.

（1）對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，對應(yīng)圖形全等.

（2）所研究的對象是相同的，都是關(guān)于對應(yīng)點、對應(yīng)線（或線段）、對應(yīng)角和對應(yīng)圖形.

（3）基本性質(zhì)都是關(guān)于對應(yīng)點的，且是關(guān)于對應(yīng)點與變換要素之間的關(guān)系.

在平移變換中容易得到對應(yīng)線段不僅相等，而且平行（或共線），那么在旋轉(zhuǎn)和軸對稱中，對應(yīng)線段除了相等，是否還有其他的性質(zhì)？

發(fā)現(xiàn)與證明：在軸對稱變換中，對應(yīng)線段與對稱軸平行（或共線），或?qū)?yīng)線段的交點（對應(yīng)線段延長線的交點）在對稱軸上（即對稱軸平分對應(yīng)線段所夾的角）. 在旋轉(zhuǎn)中，對應(yīng)線段（直線）的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.

旋轉(zhuǎn)的這個性質(zhì)應(yīng)用較為廣泛，要求學(xué)生給出證明. 學(xué)生從旋轉(zhuǎn)作圖方法的不同，給出了如圖3和圖4所示的兩種情況的證明，證明過程略.

應(yīng)用與評價：你能應(yīng)用旋轉(zhuǎn)的這個性質(zhì)解決一些問題嗎？試舉例說明.

如下面兩道經(jīng)典例題.

例1? 如圖5，△ABC和△CDE都是等邊三角形，則AD = BE，且AD與BE的夾角為60°.

例2? 如圖6，在正方形ABCD和正方形CEFG中，則DE = BG，且DE ⊥ BG.

雖然這兩道例題都可以用全等的知識來證明，但是用旋轉(zhuǎn)解釋則非常直觀.

通過這個活動，學(xué)生進(jìn)一步探究了圖形的變化的性質(zhì)及其應(yīng)用，并且對圖形的變化的認(rèn)識更加整體和深入. 平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱的共同性質(zhì)反映了這三種變換的本質(zhì)，這樣全等和變換這兩個知識模塊就成為一個整體. 在比較中，學(xué)生清楚地感受到研究圖形的變化在方法上的一致性. 例如，研究對象相同——都是研究對應(yīng)點、對應(yīng)線、對應(yīng)角和對應(yīng)圖形;基本性質(zhì)研究的角度相同——都是研究對應(yīng)點與變換要素的關(guān)系，都是研究要素及相關(guān)要素（對應(yīng)線、對應(yīng)角）的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系. 這樣獲得的知識具有整體性和系統(tǒng)性，能更好地遷移到新的問題情境中去解決問題.

【設(shè)計意圖】通過類比引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題，并能應(yīng)用在具體問題的解決中. 這個探究過程進(jìn)一步從整體上加深了學(xué)生對圖形的變化性質(zhì)的理解.

活動2：從圖形的變化的視角理解圖形的結(jié)構(gòu)和性質(zhì).

情境與問題：觀察幾何畫板軟件的動畫演示（如圖7，圖8），點沿著一個方向平移一定的距離得到一條線段，繼續(xù)平移且不停止則得到一條射線;射線繞著端點逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到一個角. 試從一條線段出發(fā)，通過平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱中的一種或幾種變換形成我們所熟悉的圖形.

思考與交流：學(xué)生邊思考邊在紙上嘗試畫圖. 然后交流展示. 對于常見圖形，學(xué)生能夠從變換的視角理解它的形成與結(jié)構(gòu). 例如，圖9（1）為線段繞一個端點旋轉(zhuǎn)一周形成圓;圖9（2）為線段繞一個端點旋轉(zhuǎn)一個角度形成等腰三角形;圖9（3）為等腰三角形關(guān)于底邊上的中線翻折產(chǎn)生直角三角形;圖9（4）為等腰三角形關(guān)于底邊翻折生成菱形;圖9（5）為等邊三角形其可以由一條線段連續(xù)兩次旋轉(zhuǎn)60°得到;圖9（6）表示等邊三角形也可以由頂角為120°的等腰三角形繞頂點連續(xù)兩次旋轉(zhuǎn)120°得到;圖9（7）表示由線段平移得到平行四邊形;圖9（8）表示的平行四邊形也可以是三角形繞一個頂點旋轉(zhuǎn)180°（中心對稱）得到，等等.

發(fā)現(xiàn)與證明：在這個探究過程中，發(fā)現(xiàn)等邊三角形繞中心旋轉(zhuǎn)120°后能與原三角形重合，正方形繞中心旋轉(zhuǎn)90°后能與原正方形重合. 這樣我們就清楚了等邊三角形不僅具有軸對稱性，還有旋轉(zhuǎn)對稱性. 容易推廣到正多邊形都具有旋轉(zhuǎn)對稱性. 證明是顯而易見的.

應(yīng)用與評價：你能應(yīng)用正多邊形的旋轉(zhuǎn)對稱性解決問題嗎？試舉例說明.

比較上述兩種證法，前者是靜態(tài)的，后者是動態(tài)的. 前者用的知識有等邊三角形的邊角關(guān)系、全等、三角形內(nèi)角和外角的關(guān)系等，后者用的是等邊三角形的旋轉(zhuǎn)對稱性和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì). 我們可以看出后者把握了圖形的基本結(jié)構(gòu)（旋轉(zhuǎn)對稱性），能夠從整體上處理圖形中相關(guān)元素之間的關(guān)系，所以能更直接的獲得相關(guān)元素之間的關(guān)系.

學(xué)生經(jīng)歷了探究活動后，能利用所學(xué)使靜態(tài)的圖形動起來，更好地認(rèn)識和把握住圖形的本質(zhì)結(jié)構(gòu)，從而容易發(fā)現(xiàn)圖形中元素之間的相互關(guān)系.

【設(shè)計意圖】從圖形的變化的角度重新審視圖形的形成和結(jié)構(gòu)，從而使學(xué)生從動態(tài)的、變化的角度理解圖形，提升學(xué)生的幾何直觀和空間想象能力.

活動3：探究圖形各種變化之間的聯(lián)系.

情境與問題：在活動2中，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)平行四邊形可以由線段平移得到，也可以由三角形中心對稱得到，那平移和中心對稱有怎樣的關(guān)系？不同的變換之間是否會有一些關(guān)系？

思考與交流：學(xué)生分組進(jìn)行探究，分別探究平移與旋轉(zhuǎn)（中心對稱）、平移與軸對稱、軸對稱與旋轉(zhuǎn)的關(guān)系. 先進(jìn)行小組內(nèi)交流，再進(jìn)行全班交流，最終獲得如下成果.

發(fā)現(xiàn)與證明：（1）如圖11，線段AB關(guān)于點O1中心對稱得到[AB]，則AB與[AB]平行且相等，但方向是相反的. 如果再對[AB]關(guān)于點O2作一次中心對稱得到[AB，] 則AB與[AB]平行且相等，方向相同. 這樣AB與[AB]就是平移關(guān)系，平移的方向和距離是[AA″]= 2O1O2，這意味著兩個中心對稱的“和”是一個平移. 也可以換個順序看，先把AB平移到[A″B″]，再把[A″B″]關(guān)于點[O2]中心對稱到[AB]，則AB與[AB]成中心對稱，即一個平移“加”一個中心對稱得到中心對稱.

（2）考察經(jīng)過兩次軸對稱的情況. 如圖12，如果兩條對稱軸是平行的，則產(chǎn)生一個平移;如圖13，如果兩條對稱軸是相交的，則產(chǎn)生一個旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度是兩對稱軸夾角的2倍，其中一種特殊情況是當(dāng)兩條對稱軸垂直時，得到的旋轉(zhuǎn)是中心對稱.

類似地，容易得到兩個平移之“和”是一個平移，兩個有相同旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)之“和”是一個旋轉(zhuǎn). 旋轉(zhuǎn)中心不同的兩個旋轉(zhuǎn)之和較為復(fù)雜，本文不進(jìn)行討論.

【設(shè)計意圖】探究平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱等不同變換之間的聯(lián)系，進(jìn)一步深入理解圖形變化的性質(zhì)和圖形的性質(zhì).

活動4：靈活應(yīng)用“圖形的變化”解決問題.

例6? 如圖23，點D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊AB，BC，CA的中點，O1，O2，O3分別是△ADF，△BDE，△CEF的外心，I1，I2，I3分別是這三個三角形的內(nèi)心. 求證：△O1O2O3 ≌ △I1I2I3.

例6的探究過程的要點闡述如下.

學(xué)生看到此題的第一感覺是這道題目很難，平時遇到一個外心（或內(nèi)心）都會感到不熟悉，更何況此題中出現(xiàn)了三個外心和三個內(nèi)心. 有些學(xué)生會被這些“假象”嚇住，不敢進(jìn)一步思考. 有少數(shù)學(xué)生會從外心或內(nèi)心的概念出發(fā)，通過構(gòu)造全等三角形得到O1O2平行且等于[12]AB，從而進(jìn)行證明. 但圖形和說理過程會有些雜亂. 當(dāng)然，O1O2平行且等于[12]AB是解題的關(guān)鍵，如果學(xué)生想不到這一點，可以作為鋪墊讓學(xué)生觀察和說理. 在這個基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形中平移的結(jié)構(gòu)——△ADF以AD（[12AB]）為方向和距離平移得到△DBE，則這兩個三角形的外心O1，O2為對應(yīng)點，所以O(shè)1O2 =[12]AB. 同理，I1I2 =[12]AB. 所以O(shè)1O2 = I1I2. 同理，O1O3 = I1I3，O2O3 = I2I3. 所以△O1O2O3 ≌ △I1I2I3. 解答此題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)△ADF，△DBE，△FEC之間的平移關(guān)系，注意到了這一點，此題就可以非常簡捷的得到解決. 此題可以讓學(xué)生感受到圖形結(jié)構(gòu)分析的重要性和從圖形的變化的視角解決問題的優(yōu)越性.

例7? 如圖24，已知點A到直線l的距離AD =[43]，點B在直線l上，以AB為邊作等邊三角形ABC. 當(dāng)點B在直線l上運動時，求DC的最小值.

例7的探究過程的要點闡述如下.

學(xué)生開始會有一些猜測. 例如，BC與直線l重合時，DC取得最小值;點B與點D重合時，DC取得最小值，等等. 通過幾何畫板軟件演示驗證發(fā)現(xiàn)這些都不正確. 學(xué)生遇到了困難，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考，由于點D是定點，點C是動點，求DC的最小值，關(guān)鍵是弄清楚點C的運動軌跡. 在這樣的啟發(fā)下，學(xué)生開始關(guān)注點C的運動軌跡，通過描點發(fā)現(xiàn)點C的運動軌跡是一條直線，學(xué)生會想不通，為什么點C的運動軌跡是一條直線？有學(xué)生猜測，點C的運動是由點B的運動引發(fā)的，而點B的運動軌跡為直線導(dǎo)致了點C的運動軌跡也是直線. 教師可以再從另一方面來驗證這種猜測，利用幾何畫板軟件演示如果點B在圓上運動，發(fā)現(xiàn)點C的運動軌跡也是一個圓. 學(xué)生就陷入了深思，為什么點C的運動軌跡是由點B的運動軌跡決定的？至此，教師再引導(dǎo)學(xué)生觀察點C和點B的關(guān)系，題目中給出的條件“△ABC是等邊三角形”，即點B繞點A旋轉(zhuǎn)60°得到點C，這是在旋轉(zhuǎn)變換下的一對對應(yīng)點.

為了更好地理解它們運動軌跡的關(guān)系，可以回到平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱的基本圖形進(jìn)行研究. 如圖25，在一個平移下，對應(yīng)點A和[A]的運動軌跡相同（圖中虛線），它們的軌跡也有相同的平移關(guān)系;如圖26，在一個旋轉(zhuǎn)下，對應(yīng)點B和[B]的運動軌跡相同（圖中虛線），它們的軌跡也有相同的旋轉(zhuǎn)關(guān)系. 再回到例7中，則例7變得簡單，點C的軌跡是直線l繞點A旋轉(zhuǎn)60°得到的直線[l]，DC的最小值即點D到直線[l]的距離[23].

在此題的探究過程中，讓學(xué)生進(jìn)一步理解了等邊三角形的結(jié)構(gòu)——旋轉(zhuǎn)，更深入的理解了圖形變化的性質(zhì)——在平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱這樣的變換下，對應(yīng)點的軌跡是一樣的.

例8? 如圖27，在銳角△ABC中，AD⊥BC于點D，點P為AD上的點，滿足∠ABP = ∠ACP，試在圖上作出滿足條件的點P（工具不限）.

例8的探究過程的要點闡述如下.

在這個題目的探究中，學(xué)生容易想到用軸對稱變換，將AD左邊的[∠ABD]軸對稱到AD右邊. 取點B關(guān)于AD的對稱點[B]，則∠ABP = [∠ABP] = ∠ACP. 則點P在[△ABC]的外接圓上. 所以只要作[△ABC]的外接圓與AD的交點就是所求作的點P. 此時，例8看似解決得很完美，但前面的考慮要在BD[≠]CD的情況下. 當(dāng)BD = CD時，AD上任意一點都符合題意. 另外，當(dāng)BD [≠] CD時，由A，C，[B，] P四點共圓. 得[∠ACB =][∠DPB =]∠DPB.由[AD⊥BC，] 得[BP⊥AC.] 這樣找點P不需要作[△ABC]的外接圓，只要作邊AC上的高線，兩條高線的交點就是所求作的點P. 此題需要分類討論，軸對稱變換，最后還能驚奇地發(fā)現(xiàn)，當(dāng)BD[≠] CD時，所求作的點P就是[△ABC]垂心. 在這個過程中，還能發(fā)現(xiàn)過三角形的垂心及其任意兩個頂點所作的三個圓相等. 整個探究活動不僅解決了問題，而且還發(fā)現(xiàn)了新的結(jié)論，將探究活動引向創(chuàng)新.

【設(shè)計意圖】提供若干新情境的問題，引導(dǎo)學(xué)生從圖形變化的角度解決，增強學(xué)生以圖形的變化視角解決問題的意識，感受以圖形的變化的視角解決問題帶來的簡便和對問題的本質(zhì)理解，能在分析圖形結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上來選擇相應(yīng)的變換解決問題.

四、教學(xué)反思

在教學(xué)中，要讓學(xué)生體驗變換思想在幾何問題解決中發(fā)揮的神奇作用，以簡馭繁、揭示本質(zhì). 教學(xué)實踐中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生缺乏對變換思想運用的意識，這需要教師在教學(xué)中逐步滲透，需要引導(dǎo)學(xué)生從變換的視角觀察圖形的形成過程、圖形的結(jié)構(gòu)和圖形的性質(zhì)，也需要對圖形變化的概念和性質(zhì)從整體上進(jìn)行更深入的理解.

在教學(xué)中，教師要規(guī)劃單元整體設(shè)計，數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計正是從整體功能出發(fā)，從更高觀點對數(shù)學(xué)教學(xué)中的各要素進(jìn)行系統(tǒng)的綜合考量，使其產(chǎn)生整體效益. 系列探究活動的設(shè)計是單元整體性教學(xué)設(shè)計的核心，其實施為學(xué)生構(gòu)建了前后一致和邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程;系列探究活動的設(shè)計是基于對知識的系統(tǒng)理解，強調(diào)知識的關(guān)聯(lián)和整合，使分散、零碎的學(xué)習(xí)內(nèi)容變?yōu)橐粋€有機的整體，從而能夠使學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì). 系列探究活動的實施強調(diào)學(xué)生主動參與，在活動中類比發(fā)現(xiàn)和形成知識結(jié)構(gòu)，并能將探究過程中積累的經(jīng)驗遷移到新的問題情境，解決有挑戰(zhàn)性的問題，實現(xiàn)深度學(xué)習(xí). 學(xué)生經(jīng)歷上述系列探究活動，不僅能獲得相關(guān)活動經(jīng)驗，而且能提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

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