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        初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的變式訓(xùn)練

        2021-08-18 12:50:16張忠虎
        關(guān)鍵詞:變式訓(xùn)練解題教學(xué)初中數(shù)學(xué)

        張忠虎

        摘要:素質(zhì)教育是以培養(yǎng)具有創(chuàng)造性思維和創(chuàng)造能力的人才為目標(biāo)而進(jìn)行的創(chuàng)新教育。在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,進(jìn)行變式訓(xùn)練,是指在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,對概念、性質(zhì)、定理、公式和問題,從不同角度、不同層次、不同背景作出有效的變化,在形變而本質(zhì)不變的過程中,引導(dǎo)其進(jìn)行解題分析。它的應(yīng)用和實(shí)踐,對促進(jìn)思維靈活發(fā)展,提高解題能力和學(xué)習(xí)能力具有重要的指導(dǎo)意義。為此,本文解讀了初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中變式訓(xùn)練的意義、原則和有效策略。

        關(guān)鍵詞:初中數(shù)學(xué);變式訓(xùn)練;解題教學(xué)

        中圖分類號:G633.6? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1992-7711(2021)12-079

        數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題,在解有限道題中,讓學(xué)生領(lǐng)悟無限道解題的數(shù)學(xué)機(jī)制,是教學(xué)的重要任務(wù)。而變式訓(xùn)練在解題教學(xué)中的應(yīng)用,是基于形式變、內(nèi)容變、方法變?yōu)楹诵倪M(jìn)行的教學(xué)優(yōu)化,不僅訓(xùn)練學(xué)生的舉一反三的學(xué)習(xí)能力,還可以培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。為此,本文就初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中變式訓(xùn)練的意義、原則和有效實(shí)施策略進(jìn)行了探究,旨在通過多元變式解題教學(xué)中,提高問題解題能力,培養(yǎng)良好數(shù)學(xué)思維。

        一、初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中變式訓(xùn)練的意義

        1.有利于促使學(xué)生形成良好思維品質(zhì)

        初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的變式訓(xùn)練,相對比單一解題教學(xué)而言,它具有不確定性和發(fā)展性。它是基于事物不同表象進(jìn)行的多維分析,在設(shè)計(jì)問題、解決問題的時(shí)候,教師會引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度和方向進(jìn)行縱橫比較,全面分析,不僅可以讓學(xué)生了解各個(gè)事物之間的關(guān)聯(lián)存在,還可以突破思維界限,培養(yǎng)創(chuàng)新思維和批判思維??梢?,它在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用和落實(shí),對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展具有重要的培養(yǎng)價(jià)值。

        2.有利于加深對數(shù)學(xué)知識的理解掌握

        在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,不論是解題教學(xué)的方法,還是解題的思路都比較單一、乏味,學(xué)生處于被動學(xué)習(xí)的狀態(tài),對于同一問題解題,基本上都是依靠死記硬背,照搬解題過程進(jìn)行的解題分析,長此以往,不僅會影響解題積極性,還會降低解題效果。而解題教學(xué)中的變式訓(xùn)練,是基于概念、公式、定理、性質(zhì)等各個(gè)知識內(nèi)容進(jìn)行的延伸、整合,是基于改變問題條件、改變解題方法但是不改變問題本質(zhì)的基礎(chǔ)上,進(jìn)行的資源優(yōu)化,在此過程中,不僅考查了學(xué)生對知識的靈活掌握,還可以檢驗(yàn)學(xué)生的問題處理能力,使其在靈活使用知識思考問題的過程中,加深對數(shù)學(xué)知識的理解掌握,提高解題速度和解題能力。

        二、初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中變式訓(xùn)練的原則

        1.相關(guān)性原則

        在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中進(jìn)行變式訓(xùn)練,要堅(jiān)持相關(guān)性的原則,建立在與所學(xué)內(nèi)容相關(guān)的基礎(chǔ)上,通過資源延伸、整合,在創(chuàng)新問題的同時(shí),促使學(xué)生能夠靈活應(yīng)用所學(xué)知識,在縱向、橫向關(guān)聯(lián)中,展現(xiàn)知識的靈活性,通過解題教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生良好數(shù)學(xué)思維品質(zhì),在變式訓(xùn)練中,使之形成系統(tǒng)思維,學(xué)會多角度分析問題、解決問題。

        2.發(fā)散性原則

        在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中進(jìn)行變式訓(xùn)練,其最根本目的是培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維能力,促進(jìn)思維發(fā)展,提高問題解決能力。為此,在進(jìn)行變式訓(xùn)練的時(shí)候,要遵從發(fā)散性的原則,從一個(gè)或者幾個(gè)點(diǎn)出發(fā),多層次、多角度進(jìn)行變換,通過改變問題條件、結(jié)論、解題策略等,打開解題思路,由常規(guī)題轉(zhuǎn)為變式題,在多變訓(xùn)練中,促進(jìn)思維發(fā)展,提高數(shù)學(xué)分析能力、解決問題能力。

        三、初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中變式訓(xùn)練的策略

        1.改變解題方法,打開思維空間

        對初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)而言,進(jìn)行變式訓(xùn)練,解題方法的變式引導(dǎo)是關(guān)鍵,在此以外解題教學(xué)中,學(xué)生多是生搬硬套教師解題方法進(jìn)行的解題分析,缺乏新意,導(dǎo)致思維受限。為此,在此次解題變式訓(xùn)練教學(xué)中,教師可以通過改變解題方法為輔助,在變式解題策略的過程中,激活思維空間,提高學(xué)生的解題能力,從而使其尋找最優(yōu)解題方法,促使變式訓(xùn)練更加高效。例如,在教學(xué)解題這一數(shù)學(xué)問題的時(shí)候,如:

        例題:如圖,在△ABC中,D、F在AB上,AD=BF,過點(diǎn)D作DE//BC,交AC于E,過F作FG//BC交AC于點(diǎn)G,求證:BC=DE+FG。

        在進(jìn)行這一解題教學(xué)的時(shí)候,為滲透變式訓(xùn)練,可以從解題方法入手,通過多解思路的開闊,在變式解題的過程中,提高學(xué)生的解題能力,打開思維空間,如:

        解法變式一:引導(dǎo)延長較短線段與較長線段相等。延長FG到H,使得FH等于BC,連接CH,根據(jù)作法,可以得到FH平行且等于BC,F(xiàn)BCH是平行四邊形,從而得到CH=BF,隨后將其放置于△ADE和△CHG中,通過求解三角形全等,根據(jù)DE=GH這一關(guān)鍵求解,繼而得到答案。

        解法變式二:在較長的線段上截取較短的線段。引導(dǎo)其從BC上截取BH=DE,不難得到△ADE≌△FBH,則可以知道∠ADE=∠ABC=∠ACB,同理可以在BC上截取BH=FG,再證明HC=DE,從而求解出答案。

        解法變式三:利用梯形或者三角形中位線定理進(jìn)行求解。通過求證三角形底邊BC等于梯形DFGE兩底之和,可以猜想通過梯形DFGE的中位線溝通兩者之間的關(guān)系,從而求解答案。

        解法變式四:利用相似三角形的性質(zhì)和比例性質(zhì)。通過證明邊是相似三角形的對應(yīng)邊,因此可以從相似三角形的對應(yīng)邊成比例和比例的基本性質(zhì)入手證明,從而求解答案。

        綜合以上來看,主要是從解題方法入手,在變式解題訓(xùn)練中,對一題進(jìn)行的證明推導(dǎo),不僅可以激活思維,還可以為多角度、多層次變式問題分析奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)條件,使其能夠靈活運(yùn)用所學(xué)知識解析數(shù)學(xué)問題,提高問題解決能力。

        2.改變解題內(nèi)容,促進(jìn)思維發(fā)展

        在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中進(jìn)行變式訓(xùn)練,解題的內(nèi)容是分析解題思路的關(guān)鍵,同時(shí)也是檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識掌握情況的重要前提。為此,為促進(jìn)思維發(fā)展,提高學(xué)生對某一數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的全面掌握,教師可以以解題內(nèi)容為核心進(jìn)行變式訓(xùn)練,在多變內(nèi)容、不變問題本質(zhì)的基礎(chǔ)上,檢驗(yàn)學(xué)生對知識的靈活應(yīng)用能力,提高解題教學(xué)的育人效果。例如,在解題教學(xué)《勾股定理的應(yīng)用》數(shù)學(xué)內(nèi)容時(shí),會涉及到應(yīng)用方程思想解析勾股定理問題,在學(xué)習(xí)的時(shí)候,可以以方程思想為核心,在變換問題內(nèi)容的同時(shí),提高對這一知識點(diǎn)的掌握,如:

        例題:如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn),線段AD將Rt△ABC分為兩個(gè)周長相等的三角形,若CD=2,BD=6,求△ABC的面積。

        在求解此問題的時(shí)候,可以根據(jù)題意得出AC+CD+AD=AD+BD+AB,得出AC=AB+4,然后通過設(shè)AB=x,則AC=4+x,在Rt△ABC中,由勾股定理得出方程,解得AB=6,最后由三角形面積公式既可以得到答案。此題主要考查了學(xué)生對勾股定理以及三角形面積等知識的掌握,旨在讓學(xué)生學(xué)會運(yùn)用構(gòu)建方程的思想進(jìn)行問題解題。

        變式1:如圖所示,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,CD是AB邊上的高,求線段AD的長。

        在解析此題的時(shí)候,只要設(shè)AD=x,根據(jù)CD2=BC2-BD2=AC2-AD2,構(gòu)建方程既可以解決問題,如:

        ∵CD⊥AB,∴∠D=90°,

        ∴CD2=BC2-BD2=AC2-AD2

        ∴82-(5+x)2=52-x2

        ∴x=75

        ∴AD=75

        此題主要考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識,主要讓學(xué)生利用參數(shù)構(gòu)建方程進(jìn)行問題解析。

        變式2:已知在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),DE⊥BC,垂足為D,交AB于點(diǎn)E,且BE2-AE2=AC2,求:

        (1)求∠A的度數(shù);

        (2)若DE=3,BD=4,求AE的長。

        對于問題(1)只要連接CE,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段BE到△AEC中,利用勾股定理逆定理可以求解∠A的度數(shù);而問題(2)的解析,需要學(xué)生通過設(shè)AE=x,則AC可以用含x的式子表示,隨后將其放置于Rt△ABC中利用勾股定理得到關(guān)于x的方程求解AE的值。此題所考查的主要內(nèi)容有勾股定理以及逆定理,解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求解線段長度以及借助勾股定理構(gòu)造方程解決問題。

        綜合以上解題來看,可以看出在解題教學(xué)過程中,主要是以勾股定理應(yīng)用方程思想進(jìn)行解題為主要方向,在變式訓(xùn)練中融合了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理逆定理等知識要點(diǎn),是基于改變解題內(nèi)容而不改變解題核心方向?yàn)榛A(chǔ)進(jìn)行的教學(xué)引導(dǎo),不僅可以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握,使其認(rèn)識數(shù)學(xué)各個(gè)知識點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)性,還可以提高問題解決能力,促進(jìn)思維靈活發(fā)展。

        3.改變解題題型,提升思維高度

        知識是靜態(tài)的,但是思維是活躍的,在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,習(xí)題是固定的,但是它的變化是無窮的。為此,在教學(xué)的時(shí)候,教師可以通過改變題型,綜合證明題、選擇題、動靜結(jié)合題等多種題型為輔助,在多變的過程中,多題歸一,提升思維的高度,激發(fā)探索學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)創(chuàng)新精神。例如,在教學(xué)解析這一數(shù)學(xué)幾何問題的時(shí)候:

        例題:已知,如圖,AB是⊙O的直徑,CD是弦,AE⊥CD,垂足為E,BF⊥CD,垂足為F,求證:EC=DF。

        在解析此題的時(shí)候,可以讓學(xué)生通過做輔助線的形式進(jìn)行問題求解,過點(diǎn)O作OM⊥CD,垂足為M,連接OC、OD,則CM=MD,然后根據(jù)AE⊥CD,BF⊥CD,得到AE//OM//BF,∵OA=OB,∴得到EM=FM,得到EM-CM=MF-MD,即EC=DF。

        在此基礎(chǔ)上,為提高解題能力,讓學(xué)生學(xué)會解此類題,可以通過改變題型、圖形促進(jìn)其進(jìn)行深度探索,如:

        變式一:已知,如上圖,AB是⊙O的直徑,CD是弦,AE⊥CD,垂足為E,BF⊥CD于F,BF交⊙O于G,下面的結(jié)論:1、EC=DF;2、DE=CF;3、AE=GF;4、AE+BF=AB中,正確的有( )

        A.1、4? B.2、3、4? C.1、2、3? D.1、2、3、4

        變式二:把直線EF動起來,在運(yùn)動變化的過程中,讓學(xué)生猜想并推斷原有的結(jié)論是否仍然成立,在原來封閉試題的基礎(chǔ)上演變?yōu)閯討B(tài)結(jié)合探索題型,引導(dǎo)其思考以下問題:

        (1)如圖,AB是⊙O的直徑,直線L與⊙O有一個(gè)公共點(diǎn)C,過A、B分別作L的垂線,垂足為E、F,則EC=CF。

        (2)上題中,當(dāng)直線L向上平行移動的時(shí)候,與⊙O兩個(gè)交點(diǎn)C1、C2,其他條件不變,如圖,經(jīng)過推證,我們會得到與原題相應(yīng)的結(jié)論EC1=FC2;

        (3)把L繼續(xù)向上平行移動,使得弦C1C2與AB交于點(diǎn)P(P不與A、B重合),在其他條件不變的情形下,請你在圓中將其變化后的圖形畫出來,標(biāo)號對應(yīng)的字母,并寫出與(1)(2)相應(yīng)的結(jié)論等式,判斷你寫的結(jié)論是否成立,若不成立,說明理由;若成立給予證明,結(jié)論:?? 。

        根據(jù)此題可以發(fā)現(xiàn),變式一和變式二是基于原題進(jìn)行的拓展延伸,雖然變式一是選擇題,但是在推導(dǎo)結(jié)論的時(shí)候,需要學(xué)生對各個(gè)結(jié)論進(jìn)行推理分析,所考查的內(nèi)容和知識點(diǎn)更加全面,而在變式二中更是對此題的升華,是由靜態(tài)知識轉(zhuǎn)為動態(tài)進(jìn)行的變式訓(xùn)練,在解析此題的時(shí)候,需要學(xué)生從運(yùn)動的視角進(jìn)行證明,過O做OM⊥C1C2,則AE//OM//BF,然后根據(jù)平行截割定理,得到EM=MF,由垂直弦的半徑平分弦這一知識最后得到結(jié)論,對于問題(3)的解析要讓學(xué)生明白一個(gè)道理,平行移動某條直線時(shí),有些幾何關(guān)系是保持不變的,然后根據(jù)切線的性質(zhì)、切割線的定理等知識點(diǎn)進(jìn)行問題求解。

        通過改變解題題型,在變式訓(xùn)練的過程中,促使其能夠多視角、多層次、多維度思考問題、分析問題,從而提升數(shù)學(xué)思維的高度,提高變式訓(xùn)練的教學(xué)質(zhì)量。

        綜上所述,初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的變式訓(xùn)練,對培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維能力,提高問題解決能力具有重要的意義。為此,在教學(xué)的時(shí)候,教師要重視變式訓(xùn)練,認(rèn)識其教學(xué)的意義,根據(jù)其對應(yīng)原則,在改變解題方法、改變解題內(nèi)容、改變解題題型的過程中,加深對數(shù)學(xué)知識的理解和掌握,提高解題效率和解題質(zhì)量。

        參考文獻(xiàn):

        [1]唐雪霞.初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的變式訓(xùn)練[J].數(shù)學(xué)大世界(上旬),2020(9):71.

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        [3]孫連杰.例談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的變式訓(xùn)練[J].中學(xué)生數(shù)理化(教與學(xué)),2020(8):94.

        (作者單位:湖北省秭歸縣文化初級中學(xué),湖北 秭歸 443622)

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