梁鵬
【摘 要】分類(lèi)討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想和解題策略,反映了整體分解的思想和分類(lèi)整理的方法。發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律,有助于學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié),組織知識(shí),提高思維的條理性和概括能力。運(yùn)用分類(lèi)討論法進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)題解決教學(xué),能提高學(xué)生解決問(wèn)題的效率,促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。
【關(guān)鍵詞】分類(lèi)探討思想;初中數(shù)學(xué);解題教學(xué);應(yīng)用
學(xué)生從小學(xué)進(jìn)入初中后,在學(xué)習(xí)內(nèi)容、方法和思維方式等方面都發(fā)生了很大的變化。類(lèi)別討論是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念。解題分類(lèi)要正確、合理、嚴(yán)謹(jǐn),能極大地簡(jiǎn)化復(fù)雜的問(wèn)題,達(dá)到簡(jiǎn)化復(fù)雜問(wèn)題、化難為易的目的。
一、分類(lèi)討論思想的概述
近年來(lái),在中考中,經(jīng)常出現(xiàn)分類(lèi)討論題的問(wèn)題。分類(lèi)討論題不僅考察了學(xué)生運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)的靈活性和計(jì)算的能力,而且還考察了學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)能否在各種可能情況下綜合分析不同結(jié)果。分類(lèi)討論是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn),為更好地選拔初中生,中考常以分類(lèi)討論題作為結(jié)尾來(lái)考驗(yàn)學(xué)生的能力。通過(guò)復(fù)習(xí),筆者發(fā)現(xiàn)分類(lèi)思維方法主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:概念的分類(lèi);實(shí)數(shù)法、有理法、絕對(duì)值法;點(diǎn)(線(xiàn)、圓)與圓(圓)的位置關(guān)系法;兩圓(圓)的正切法;在分析歷年中考試題的基礎(chǔ)上,作者認(rèn)為分類(lèi)討論的思想滲透在以下幾個(gè)方面:(1)滲透到與函數(shù)相關(guān)的分類(lèi)問(wèn)題中去;(2)滲透到與幾何相關(guān)的分類(lèi)討論中去;(3)對(duì)數(shù)論和公式論分類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行了深入探討。
二、初中數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)況
雖然新課程改革逐步推動(dòng)了初中數(shù)學(xué)教學(xué)的發(fā)展,但一些教師仍然受傳統(tǒng)教學(xué)理念的束縛,那是傳統(tǒng)的教法,把書(shū)本知識(shí)生搬硬套,把術(shù)語(yǔ)灌輸給學(xué)生,學(xué)生很難主動(dòng)思考和解決問(wèn)題,導(dǎo)致學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)淡薄,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率難以提高,不利于未來(lái)的成長(zhǎng)和發(fā)展。因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用分類(lèi)探討思想,有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立分析問(wèn)題。運(yùn)用分類(lèi)討論的方式,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考與探索,有助于學(xué)生創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)。
三、思想內(nèi)容的分類(lèi)探討
分類(lèi)探討思想方法能把完整的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為零散的數(shù)學(xué)細(xì)節(jié),實(shí)現(xiàn)可靠的歸納分析。分類(lèi)探討思想是指根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)是否相同,將其分為不同的類(lèi)別。素質(zhì)教育的改革與發(fā)展,使初中數(shù)學(xué)教學(xué)體系逐步向素質(zhì)教育過(guò)渡,分類(lèi)探討思想有助于提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)度和數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)踐性,幫助學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行歸納、總結(jié)。根據(jù)應(yīng)試教育的要求,運(yùn)用分類(lèi)討論法,可以提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。分類(lèi)探討思想符合初中生的思維方式。運(yùn)用分類(lèi)探討思想,有利于學(xué)生理清思路,提高數(shù)學(xué)思維能力,增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。
四、分類(lèi)討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用策略
(一)培養(yǎng)分類(lèi)討論思想
教師在日常教學(xué)中應(yīng)注重對(duì)學(xué)生分類(lèi)討論思維的培養(yǎng),并將其滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié),引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行認(rèn)真觀察與思考。學(xué)好數(shù)學(xué)分類(lèi)討論技巧,學(xué)生在日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中,不能不分門(mén)別類(lèi),老師講解數(shù)學(xué)內(nèi)容時(shí),一定要區(qū)分不同的類(lèi)型和模塊。在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入分類(lèi)討論思想;如在講解數(shù)的知識(shí)點(diǎn)時(shí),老師可以把數(shù)字分成正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和零分類(lèi)法,然后再把它們分類(lèi)探討。分類(lèi)探討思想在教學(xué)中的不斷運(yùn)用,使學(xué)生感受到分類(lèi)探討思想的核心內(nèi)容,有利于強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解,形成以數(shù)學(xué)問(wèn)題為核心的分類(lèi)處理意識(shí)。同時(shí)還可以模仿教師的方法掌握日常的學(xué)習(xí)過(guò)程,掌握數(shù)學(xué)分類(lèi)的原則。劃分的基本條件對(duì)象,按照劃分標(biāo)準(zhǔn)對(duì)對(duì)象進(jìn)行統(tǒng)一,只有這樣,分類(lèi)討論思想才能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮更大的作用。
(二)指導(dǎo)學(xué)生簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)分類(lèi)法要求
初中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維還不夠完善,在不斷提高的過(guò)程中,所以學(xué)生對(duì)這種數(shù)學(xué)思維概念的分類(lèi)、討論和探討也只是處于接觸之中,難免會(huì)思維過(guò)于復(fù)雜,導(dǎo)致學(xué)習(xí)效果不好。對(duì)此,教師應(yīng)注意觀察、了解學(xué)生近期的學(xué)習(xí)情況,學(xué)生采用的分類(lèi)討論法是否正確,討論法是否簡(jiǎn)化等問(wèn)題,有助于提高教學(xué)效率?!稊?shù)學(xué)教材》在學(xué)習(xí)絕對(duì)值這一部分知識(shí)時(shí),起到了很好的指導(dǎo)作用,比如教材中有關(guān)絕對(duì)值的三種情況。教科書(shū)中的絕對(duì)值分為三類(lèi),主要用于分類(lèi)討論。所以,教師還應(yīng)將自己的思想融入數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中,讓學(xué)生在對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)研究的同時(shí),做到簡(jiǎn)明扼要、全面,避免因分類(lèi)過(guò)于復(fù)雜而在討論中出現(xiàn)錯(cuò)誤。
(三)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力
在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力,使學(xué)生在分類(lèi)討論問(wèn)題的時(shí)候能夠認(rèn)真思考,以身作則。解題時(shí)還要綜合考慮問(wèn)題,以保證解題的全面性和完整性。教學(xué)過(guò)程中,教師應(yīng)理清復(fù)雜的問(wèn)題解決過(guò)程,理清數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的思路,培養(yǎng)學(xué)生的精細(xì)思維,引導(dǎo)學(xué)生多做習(xí)題,在實(shí)踐中讓學(xué)生認(rèn)識(shí)分類(lèi)原則,做到有求必應(yīng),有錯(cuò)必糾。
(四)運(yùn)用分類(lèi)討論思想提高學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力
運(yùn)用分類(lèi)討論思想開(kāi)展數(shù)學(xué)教育,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用分類(lèi)討論思想,選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)教材內(nèi)容,確定教學(xué)目標(biāo),有效地開(kāi)展課堂教學(xué),將有效的公式和定理公之于眾,引導(dǎo)學(xué)生自己探索論證和分類(lèi)。采用分門(mén)別類(lèi)的討論方法。教師應(yīng)幫助學(xué)生整理分類(lèi)、討論思考、運(yùn)用原則,幫助學(xué)生全面提高答題能力,使學(xué)生掌握學(xué)習(xí)技能,這也是新課程的具體要求。
五、分類(lèi)討論思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用實(shí)例
(一)幾何學(xué)應(yīng)用
初中幾何知識(shí)中包含了大量的圖形知識(shí),運(yùn)用分類(lèi)討論方法,可以對(duì)這類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題的幾何知識(shí)進(jìn)行更全面的探討。比如,圓與直線(xiàn)之間的關(guān)系,按照?qǐng)A與直線(xiàn)之間距離與半徑之間的數(shù)量關(guān)系,可以劃分為相交、相切和距離位置關(guān)系。這顯然是一種典型的分類(lèi)討論思想。另外,分類(lèi)器的思想可以用來(lái)計(jì)算直角三角形的邊長(zhǎng)。例如,如果你知道直角三角形的邊是4和6,那么你可以找到另外一條邊。先看一下,題目很簡(jiǎn)單。但也有很多同學(xué)不夠全面,畢竟題目并沒(méi)有說(shuō)明這兩條邊是斜還是直。有兩種情況,我們可以討論并解決這個(gè)問(wèn)題:6是斜邊長(zhǎng),4是直邊長(zhǎng),4和6都是直邊長(zhǎng)。分門(mén)別類(lèi)的討論實(shí)際上是一種數(shù)學(xué)思維方式。這種教學(xué)方法,滲透了分類(lèi)討論的思想,對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)很有幫助。本文認(rèn)為,在幾何圖形問(wèn)題解決的教學(xué)中,教師應(yīng)注意將討論式思維進(jìn)行適當(dāng)整合,以提高問(wèn)題解決的教學(xué)質(zhì)量。
(二)代數(shù)的應(yīng)用
分類(lèi)討論數(shù)學(xué)問(wèn)題對(duì)幾何學(xué)和代數(shù)的研究具有重要意義。代數(shù)知識(shí)是非常有邏輯和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?,解決代數(shù)數(shù)學(xué)問(wèn)題,不僅需要高效而充分的推理能力,而且需要綜合的思維能力。解法的多重性是代數(shù)問(wèn)題的一個(gè)顯著特征,研究解的分類(lèi)十分重要。例如,一個(gè)關(guān)于一維線(xiàn)性不等式的數(shù)學(xué)問(wèn)題:一個(gè)公司決定購(gòu)買(mǎi)5臺(tái)機(jī)器來(lái)生產(chǎn)一些活塞,以擴(kuò)大經(jīng)營(yíng)。目前有兩種機(jī)器可供選擇。每臺(tái)機(jī)器的價(jià)格是50,100美元,每天生產(chǎn)活塞的數(shù)量是80個(gè)和50個(gè),根據(jù)預(yù)算,購(gòu)買(mǎi)這臺(tái)機(jī)器的花費(fèi)不會(huì)超過(guò)22萬(wàn)元。如公司購(gòu)買(mǎi)的5臺(tái)機(jī)器的日生產(chǎn)能力不能少于280臺(tái),應(yīng)選擇哪一種來(lái)節(jié)約成本?經(jīng)過(guò)仔細(xì)分析,公司采購(gòu)可按以下三種方案進(jìn)行:方案1:不買(mǎi)a型機(jī),買(mǎi)B型機(jī)5臺(tái);方案2:買(mǎi)a型機(jī),1臺(tái),買(mǎi)B型機(jī)4臺(tái);方案3:買(mǎi)2臺(tái)A型機(jī),買(mǎi)3臺(tái)B型機(jī),從實(shí)例中看,解決這類(lèi)問(wèn)題必須分兩步走,否則就容易出現(xiàn)解決方案不完善的情況。分類(lèi)討論通常對(duì)函數(shù)、方程等問(wèn)題的求解具有重要意義。解決問(wèn)題要寓教于樂(lè),循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生分類(lèi)討論意識(shí),進(jìn)一步提高學(xué)生分類(lèi)討論能力。
(三)適用于實(shí)際問(wèn)題
在解決問(wèn)題的過(guò)程中,數(shù)學(xué)需要學(xué)生具有較強(qiáng)的思維能力、學(xué)習(xí)能力、理解能力,尤其是解題邏輯能力和綜合分析能力。但畢竟初中生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)不足,能力有限。新課改后,數(shù)學(xué)教材還增加了研究性學(xué)習(xí)等實(shí)踐活動(dòng),增強(qiáng)了學(xué)生的綜合分析能力和學(xué)習(xí)能力。因此,初中數(shù)學(xué)教師要注意把討論思維分類(lèi),科學(xué)地運(yùn)用到實(shí)際課題中去,幫助學(xué)生有條不紊地開(kāi)展課題活動(dòng)。例如,在八年級(jí)第二卷中,老師可以創(chuàng)造這樣的題目:一家牛奶加工廠生產(chǎn)9噸鮮奶。如果直接在市場(chǎng)上銷(xiāo)售,則每噸利潤(rùn)500元;如果直接銷(xiāo)售,則每噸利潤(rùn)1200元;如果銷(xiāo)售奶片,則每噸利潤(rùn)2000元,加工3噸;如果生產(chǎn)奶片,則每天加工1噸,由于人力有限,不能同時(shí)進(jìn)行兩種加工方式,溫度也有限,這批奶必須在4天內(nèi)出售或加工。同時(shí),指導(dǎo)學(xué)生從提高企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益的角度出發(fā),設(shè)計(jì)出相應(yīng)的方案。只有這樣,才能真正提高學(xué)生分類(lèi)討論的思維能力,同時(shí)又能培養(yǎng)他們的綜合思維能力,從而真正提高他們的綜合實(shí)踐能力。因此,初中數(shù)學(xué)教師可以采取合理的教學(xué)方法,將分類(lèi)討論的思想充分滲透到實(shí)踐活動(dòng)和課堂知識(shí)教學(xué)中,不斷提高學(xué)生的解題能力。
六、結(jié)束語(yǔ)
若能清晰、安全地掌握日常學(xué)習(xí)生活中分類(lèi)討論的理由與標(biāo)準(zhǔn),則能很好地運(yùn)用分類(lèi)討論的思想。數(shù)學(xué)學(xué)研究的重點(diǎn)是分類(lèi)討論,它也是一個(gè)難題,它使許多學(xué)生討厭數(shù)學(xué),要消除這些問(wèn)題,需要教師客觀地講,不要給學(xué)生太多壓力,要讓學(xué)生平靜地接受,不要過(guò)分依賴(lài)分類(lèi)討論的思維方式。簡(jiǎn)而言之,就是以簡(jiǎn)單為基礎(chǔ)的,為了從不同的角度審視資料,我們必須探究問(wèn)題的特殊性??傊诮鉀Q問(wèn)題的過(guò)程中,我們應(yīng)該仔細(xì)觀察問(wèn)題,找到最好的解決辦法。如果把數(shù)學(xué)進(jìn)行分類(lèi)討論,就會(huì)使人的思想被接受,數(shù)學(xué)能力得到培養(yǎng),科學(xué)性大大提高,這種思維習(xí)慣就會(huì)對(duì)學(xué)生將來(lái)的學(xué)習(xí)和生活產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。
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