金正靜

【摘要】數(shù)學(xué)是人們認識和改造世界的有力工具，數(shù)學(xué)中最主要的成分始終是思想方法，甚至可以說數(shù)學(xué)本身就是一種方法.數(shù)學(xué)中的邏輯推理是受到一系列數(shù)學(xué)思想方法的控制和引導(dǎo)的，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)從根本上講就是獲得數(shù)學(xué)的思想和方法.實行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，既是中國數(shù)學(xué)教育的特色之一，也是廣大數(shù)學(xué)教師需要達到的一個高端教學(xué)目標(biāo).

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想方法;數(shù)形結(jié)合;中職數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)教學(xué)

對于數(shù)學(xué)思想方法，大家耳熟能詳，相關(guān)出版物數(shù)不勝數(shù).然而對于廣大數(shù)學(xué)教師，如何挖掘教材中的數(shù)學(xué)思想方法，如何有效開展數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)呢？這類文章雖有，但多數(shù)只限于操作、領(lǐng)悟、滲透之類，較為空泛，而涉及中職數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的相關(guān)研究，更是寥寥無幾.

張奠宙先生認為實行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，是中國數(shù)學(xué)教育的特色之一，值得傳承和發(fā)揚.他對數(shù)學(xué)思想方法做過深入研究并有許多精彩論述.基于張奠宙先生關(guān)于分階段培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的一些思考，本文以上海中職數(shù)學(xué)教學(xué)為例，對中職生數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法的階段性培養(yǎng)進行簡析.

1 數(shù)學(xué)思想方法的界定

數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法既相互聯(lián)系又有區(qū)別.數(shù)學(xué)方法是人們從事數(shù)學(xué)活動時使用的方法.數(shù)學(xué)思想還沒有成為一個專有名詞，其泛指某些有重大意義的、內(nèi)容比較豐富、體系相當(dāng)完整的數(shù)學(xué)思想，比如數(shù)理邏輯思想、函數(shù)映射思想、方程思想、概率統(tǒng)計思想等.對于上述思想，表述為方法也可以，比如，用“映射”去將復(fù)數(shù)問題和向量問題對應(yīng)時，人們就說“映射方法”.而當(dāng)討論“映射”的價值，適當(dāng)?shù)挠成涞倪x擇，使得問題的內(nèi)涵在另一領(lǐng)域中變得更容易解決，實現(xiàn)了化難為易時，人們就謂之“映射思想”了.思想重在指導(dǎo)，方法指向操作，數(shù)學(xué)思想比數(shù)學(xué)方法在抽象程度上處于更高的層次.為了將兩種意思整合在一起，于是就有了“數(shù)學(xué)思想方法”的提法.

2 數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位

數(shù)學(xué)教育家傅種孫先生曾言：“幾何之務(wù)不在知其然，而在知其所以然;不在知其然，而在知何由以知其所以然.”這為數(shù)學(xué)解題教學(xué)標(biāo)明了三個遞進的境界：一是知其然，二是知其所以然，三是知何由以知其所以然.數(shù)學(xué)解題教學(xué)，不能滿足于一，應(yīng)該立足于二而求三.當(dāng)前，教師應(yīng)在“何由以知其所以然”上下功夫，這樣才有可能在“如何使學(xué)生想得到”上有所突破，示以學(xué)生思維之道，餞行數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

華羅庚先生認為，學(xué)習(xí)要經(jīng)過“由薄到厚”“由厚到薄”的過程.以此來審視數(shù)學(xué)教育，就是要先打好基礎(chǔ)，經(jīng)由知識點鏈（基本知識的學(xué)習(xí)）和變式教學(xué)（學(xué)生解題的強化），把教材讀“厚”;再經(jīng)過數(shù)學(xué)思想方法的提煉，最終實現(xiàn)把教材“由厚讀薄”的過程.

張奠宙先生認為，基于數(shù)學(xué)教學(xué)的自身規(guī)律，教師需要把握三個層次：學(xué)生基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握，對學(xué)生問題解決能力的培養(yǎng)和學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的掌握.因此，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是廣大數(shù)學(xué)教師需要努力達到的一個高端目標(biāo).換而言之，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，若能達到掌握數(shù)學(xué)思想方法的層次，就達到了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)的高層次.

人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室主任章建躍教授也指出，完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)在“明線”和“暗線”的有機融合中，明線是顯性的知識體系線，暗線是隱性的思想方法線，注重“明線”與“暗線”的融合，是實現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)融合的關(guān)鍵舉措.章教授在《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和智慧發(fā)展》中特別指出教師專業(yè)發(fā)展的三大基石是理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)，尤其指出教師對“內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法”的理解水平?jīng)Q定了其數(shù)學(xué)教學(xué)所能達到的水平和效果.

3 數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法培養(yǎng)的階段性簡析

古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中主張“析理以辭，解體用圖”，近代數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說過“數(shù)無形，少直觀;形無數(shù)，難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”.

數(shù)和形是研究數(shù)學(xué)的兩個側(cè)面，數(shù)是數(shù)量關(guān)系的體現(xiàn)，形是空間形式的體現(xiàn).將這兩個側(cè)面統(tǒng)一起來，數(shù)形結(jié)合的實質(zhì)就是把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言有機結(jié)合，實現(xiàn)抽象思維和形象思維的和諧統(tǒng)一，更好地把握問題的本質(zhì)，將所要解決的問題化難為易.

數(shù)軸和坐標(biāo)系的建立，使數(shù)和形在宏觀上可以有機結(jié)合，數(shù)形結(jié)合是中職數(shù)學(xué)中最重要、最基本的數(shù)學(xué)思想方法.在中職數(shù)學(xué)中，學(xué)生能體會到數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法的章節(jié)是集合、不等式、函數(shù)、直線和圓、向量、復(fù)數(shù)等，其中函數(shù)既是中職數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，又是集中體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法的章節(jié).在這幾章的教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)依據(jù)課程內(nèi)容合理布點，有針對性地進行數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法的滲透，使學(xué)生養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的意識.然而在實際教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)差強人意，主要表現(xiàn)在數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)沒有前后一致、貫穿始終的主線，沒有必要的根基.教師在數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)上著墨不夠，通常只是走過場，在教學(xué)過程中不能螺旋上升，數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的計劃性、系統(tǒng)性、層次性、過程性顯得不足.

數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)以數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體，隨著數(shù)學(xué)內(nèi)容的變化處于動態(tài)變化過程中，教師必須明確數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)所處的階段及該階段的教學(xué)層次與教學(xué)要求.學(xué)生只有經(jīng)歷感知、理解、應(yīng)用、提升的過程，才能形成功能強大的數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法認知結(jié)構(gòu)，切實發(fā)展數(shù)學(xué)能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).基于張奠宙先生分階段培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的相關(guān)研究，我們以集合、不等式、函數(shù)的數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)為例，根據(jù)學(xué)生的認知規(guī)律，把中職生數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法的形成過程分為以下四個階段.

3.1 隱性的操作感受階段

該階段屬于“順向思維”階段.這一階段，學(xué)生剛學(xué)習(xí)了一些數(shù)學(xué)概念、定理等基礎(chǔ)知識，掌握了一些基本技能，盡管這些基礎(chǔ)知識和基本技能的后面蘊藏著數(shù)學(xué)思想方法，但是學(xué)生的注意力往往聚焦在基礎(chǔ)知識的顯性一面.教師在這個階段的主要教學(xué)策略是“讓學(xué)生探索、構(gòu)建與掌握知識和技能”，至于背后的數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)屬于“無聲語言”，由學(xué)生自己在探索、構(gòu)建與掌握知識中感悟.

在學(xué)習(xí)第一章“集合”時，我們常常借助韋恩圖、數(shù)軸圖來處理集合的一些運算問題，以形助數(shù)，化抽象為具體，簡化所要解決的問題.

例1 U={xx<10，x∈N*}，AU，BU，且（瘙綂UA）∩B={6，9}，A∩B={3}，（瘙綂UA）∩（瘙綂UB）={1，7，8}，求集合A，B.

解 利用韋恩圖，如圖1，把元素放入下圖中的相應(yīng)位置，從而得到A={2，3，4，5}，B={3，6，9}.

圖1

例2 已知集合A=（1，2），B=（-∞，3]，求瘙綂RA∩B.

解瘙綂R（A）=（-∞，1]∪[2，+∞），利用數(shù)軸圖，如圖2，很直觀地可以得到（瘙綂RA）∩B=（-∞，1]∪[2，3].

圖示法是集合的一種重要表示方法，在例1的求解過程中，我們借助韋恩圖很好地詮釋了集合A，B中的元素，問題變得簡單明了.在例2的求解過程中，我們以數(shù)軸的“形”來融合“數(shù)”，這樣有助于啟迪思路，理順解題線索.這樣的例子還有很多，在此不一一列舉.

圖示法直觀表示背后蘊藏著的數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法，屬于“隱性的操作感受階段”，它的主要目的是借用形象的幾何直觀，幫助學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系.教之道在于度，學(xué)之道在于悟.在數(shù)集的教學(xué)中，教師不需要拋出“數(shù)形結(jié)合”這個詞，只需讓學(xué)生自主建構(gòu).在一次次利用圖示法解決數(shù)集問題后，學(xué)生就能初步體會數(shù)形結(jié)合的基本指導(dǎo)思想，即用“形”的直觀來化解“數(shù)”的抽象，尋求解題思路，化難為易，從而達到出奇制勝的目的.

3.2 正面的認識和理解階段

數(shù)學(xué)教材里不正面闡述數(shù)學(xué)思想方法.在學(xué)生經(jīng)歷了一個“隱性的操作感受階段”后，限于學(xué)生自身的知識儲備和能力范圍，若教師不對其進行必要的點撥，則他們很可能無法正面認識知識背后的一些數(shù)學(xué)思想方法.這就需要教師直擊要害，反映本質(zhì)，直接點明背后蘊藏著的一些數(shù)學(xué)思想方法，并對學(xué)生進行有針對性的強化訓(xùn)練，這個階段稱為“正面的認識和理解階段”.這個階段的特點是具有明顯的導(dǎo)向性，是將內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思想方法外顯傳輸?shù)碾A段，是學(xué)生有意識地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的重要提升階段.

在這個階段，教師需要恰時恰點地揭示數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生形成認知.許多數(shù)學(xué)內(nèi)容，書本上是按形式化的方法安排的，而教師在實際教學(xué)時要以揭示數(shù)學(xué)思想方法為主線設(shè)計，下面舉例來闡述.

例3 已知集合A={（x，y）y=x+1}，集合B={（x，y）y=-x+3}，求A∩B，說明它的幾何意義，并在直角坐標(biāo)系中表示出來.

解 A∩B=（x，y）y=x+1，y=-x+3=（x，y）x=1，y=2={（1，2）}.如圖3，集合A表示一次函數(shù)y=x+1的圖像， 圖3即直線l1上的點的集合;集合B表示一次函數(shù)y=-x+3的圖像，即直線l2上的點的集合.A∩B表示直線l1和直線l2的交點，其坐標(biāo)（1，2）為二元一次方程組的解.

函數(shù)是中職數(shù)學(xué)課程里的核心概念之一，借助圖像分析函數(shù)的性質(zhì)是學(xué)習(xí)函數(shù)的基本思想方法，是數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法的集中體現(xiàn).例3表明方程思想和函數(shù)思想密切相關(guān)：方程y-f（x）=0的全體解就是函數(shù)y=f（x）的圖像上所有點的坐標(biāo)（反之亦然）.

例4? 解不等式-x2+2x-2>0.

解 原不等式兩邊同乘-1，得x2-2x+2<0.一元二次不等式x2-2x+2<0所對應(yīng)的一元二次方程x2-2x+2=0的判別式Δ<0，所對應(yīng)的一元二次函數(shù)y=x2-2x+2的二次項系數(shù)為正，拋物線開口向上，函數(shù)圖像位于x軸上方.如圖4，由圖像得，不等式x2-2x+2<0的解集為空集，即原不等式-x2+2x-2>0的解集為空集.

例4表明函數(shù)與不等式可以相互轉(zhuǎn)化：對函數(shù)y=f（x），當(dāng)y>0時，就轉(zhuǎn)化為不等式f（x）>0，借助函數(shù)的圖像可解決不等式問題.

在上述兩例的講授過程中，教師有必要正面揭示其背后所隱藏的在直角坐標(biāo)系下“以數(shù)論形”的數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法：利用坐標(biāo)系建立了二元有序?qū)崝?shù)組與平面點集之間的一一對應(yīng)，把代數(shù)問題整體性地映射成幾何問題（反之亦然）.這種數(shù)學(xué)思想方法在后續(xù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)等的學(xué)習(xí)中教師都會陸續(xù)地加以正面表述，使學(xué)生明確其內(nèi)涵，不斷積累.

總之，在點集的運算和一元二次不等式的教學(xué)階段，教師要抓住思維教學(xué)的時機，正面表述并強調(diào)數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法，幫助學(xué)生多維度、多視角、多層次地思考問題，體會問題解決的本質(zhì)和真諦.

3.3 主動運用的訓(xùn)練積累階段

數(shù)學(xué)教育形態(tài)的靈魂就是數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容多層次、遞進式展開.在主動運用數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練積累階段，教師要以強化學(xué)生運用這種數(shù)學(xué)思想方法的意識為依據(jù)設(shè)計課堂教學(xué)，發(fā)揮數(shù)學(xué)思想方法的引領(lǐng)作用，對學(xué)生加強訓(xùn)練，并讓學(xué)生反復(fù)經(jīng)歷這個思維過程，使學(xué)生有結(jié)構(gòu)、有邏輯地思考，提高解題的層次.

指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的全部內(nèi)容都融合了數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法，這里教師無須在口頭上強調(diào)，而是讓學(xué)生在訓(xùn)練中體驗和積累.

例5 若方程ax=x+a（a>0，a≠1）有兩個解，求a的范圍.

解 設(shè)指數(shù)函數(shù)h（x）=ax，一次函數(shù)k（x）=x+a，其中a>0，a≠1.方程h（x）=k（x）有兩個解，表明函數(shù)h（x）的圖像和函數(shù)k（x）的圖像有兩個交點.由圖5可知，當(dāng)01時，圖像有兩個交點，符合題意.故a>1.

在此例中，先把方程（尤其是含參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)、三角等復(fù)雜方程）兩邊的代數(shù)式視作兩個常見函數(shù)的解析式，然后在同一坐標(biāo)系下作出兩個函數(shù)的圖像，就可以將確定方程解的個數(shù)這一代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成確定兩函數(shù)圖像交點的個數(shù)這一幾何問題，化抽象為具體，數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法在這里大放異彩.

圖6例6 若函數(shù)f（x）=loga（x+1），x∈（-1，0）滿足f（x）>0，則a的取值范圍是（? ）.

A.（0，1） B.（0，1]

C.（1，+∞）D.（0，+∞）

解 借助函數(shù)圖像來分析，函數(shù)f（x）=loga（x+1）的圖像由對數(shù)函數(shù)f（x）=logax的圖像向左平移一個單位得到.由在（-1，0）內(nèi)f（x）>0可知，函數(shù)f（x）=loga（x+1）在（-1，0）內(nèi)的圖像位于x軸上方，所以底數(shù)a應(yīng)滿足0

“圖”個直觀，“形”個方便，數(shù)形結(jié)合使抽象的函數(shù)問題直觀化、形象化，有利于學(xué)生把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)和真諦.在指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)階段，教師需對數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法濃墨重彩地加以點撥，以增強學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法的意識.

3.4 感悟文化修養(yǎng)的階段

重要的數(shù)學(xué)思想方法大多以數(shù)學(xué)文化作為載體，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)伴隨著人們對數(shù)學(xué)的欣賞.數(shù)學(xué)是理性思維和想象的結(jié)合，是一門美的科學(xué).數(shù)和形的結(jié)合充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美，數(shù)學(xué)上的對稱美、輪換美、簡潔美、和諧美、奇異美等形式在圖形上的體現(xiàn)更為直觀、更為動人.

從深層次來說，數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)目標(biāo)是數(shù)學(xué)育人.因此在感悟文化修養(yǎng)這一階段，教師需要進行適當(dāng)?shù)目偨Y(jié)，將數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法提升為學(xué)生的文化感悟，乃至文化修養(yǎng).

在數(shù)學(xué)家李尚志教授心中，數(shù)學(xué)如中國詩詞一般美麗.李教授認為數(shù)學(xué)即詩，詩即數(shù)學(xué)，因此他常常用詩來描述數(shù)學(xué).在學(xué)完冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)后，教師需讓學(xué)生仔細研讀李教授的下面這首詩，學(xué)生將別有一番感受.晨霧茫茫礙交通，蘑菇核云蔽長空;化石歲月巧推算，文海索句快如風(fēng).指數(shù)對數(shù)相輝映，立方平方看對稱;解釋大千無限事，三族函數(shù)建奇功.在李教授的心中，數(shù)學(xué)與大千世界紛呈的自然、社會現(xiàn)象已經(jīng)交融在一起了.

在學(xué)習(xí)了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)后，我們會覺得三角函數(shù)的圖像更是一座美麗的數(shù)學(xué)山峰.在進行三角函數(shù)的教學(xué)時，教師可以借助計算機軟件，進行三角函數(shù)圖像的演示，以增加美感.教師可以引導(dǎo)學(xué)生從真、善、美三個層面進行欣賞.首先是三角函數(shù)之真.正余弦函數(shù)是比較神奇的函數(shù)，代表著世界的某種本質(zhì)，那種認為正余弦函數(shù)不過只是個數(shù)學(xué)表達式的觀點就過于膚淺了.正余弦函數(shù)是最自然、最簡單的周期運動的體現(xiàn)，一個點做勻速圓周運動，這個點的位移隨時間的變化曲線就是cos x或sin x曲線.其次是三角函數(shù)之善.三角函數(shù)是波浪的數(shù)學(xué)模型，蘊含著豐富的人生哲理.晝夜循環(huán)潮起伏，冬春更替草枯榮.正余弦曲線和我們的人生何其相似，在巔峰時接踵而來的也許就是低谷，而在低谷時要堅信馬上就能看到光明.人在某個時間段總會出現(xiàn)低谷期，不順心的事情接踵而來.這沒有什么，我們要相信終究會再次到達頂峰.再次是三角函數(shù)之美.不同函數(shù)有不同的美，各種美千姿百態(tài).一次函數(shù)之美美在簡單明快;二次函數(shù)之美美在大起大落;指數(shù)函數(shù)之美美在一飛沖天;三角函數(shù)之美，則涵蓋了周期美、對稱美、起伏美、統(tǒng)一美，堪稱完美.

以數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程為載體，遵循學(xué)生頭腦中數(shù)學(xué)思想方法的形成規(guī)律的數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)需分階段進行.數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)不能游離于提出問題和解決問題的過程之外，不能離開具體的教學(xué)活動，那種把數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)變成空洞說教和華麗術(shù)語堆砌的做法實不可取.中職數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)把數(shù)學(xué)思想方法滲透在日常教學(xué)中，要堅持，以收滴水穿石之功，如此對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)才能真正落到實處.

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