【摘要】自然生成的教學(xué)設(shè)計(jì)，能體現(xiàn)出知識(shí)形成的一個(gè)過程，能體現(xiàn)教學(xué)的自然規(guī)律，能激發(fā)學(xué)生思維，展現(xiàn)學(xué)生內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)力及活力。高三復(fù)習(xí)過程中，通過自然生成的高考復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)的若干原則，有利于達(dá)到教學(xué)的優(yōu)效。

【關(guān)鍵詞】高考? 教學(xué)設(shè)計(jì)? 自然生成

【基金項(xiàng)目】本文為福建教育學(xué)院資助的福建省中青年教師教育科研項(xiàng)目（基礎(chǔ)教育研究專項(xiàng)）《核心素養(yǎng)視角下“自然生成”數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐研究》的研究成果，編號(hào)為：JSZJ20086。

【中圖分類號(hào)】 G633.6 ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2021）34-0141-02

近日，筆者對(duì)一道解三角形試題進(jìn)行深入探究，從問題中的圖形結(jié)構(gòu)特點(diǎn)出發(fā)，探究多元化解題策略，取得一定的研究成果。那么我們?nèi)绾螌?duì)這道題進(jìn)行教學(xué)呢？特別是高考復(fù)習(xí)課如何實(shí)施自然生成的教學(xué)設(shè)計(jì)？需要遵循哪些原則？數(shù)學(xué)是過程，數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)要體現(xiàn)過程[1]。下面筆者結(jié)合這道解三角形題的教學(xué)，來闡述基于自然生成的高考復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)的若干原則，供大家參考。

1.自然生成的教學(xué)設(shè)計(jì)要順應(yīng)學(xué)生的思維路徑

開門見山，筆者拋出一道改編的解三角形試題：

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a+b=5，∠ACB=。若點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，∠ACD=，求a，b。

學(xué)生進(jìn)行小組討論，筆者設(shè)計(jì)以下幾個(gè)問題，讓學(xué)生回答：

問題1 本題解題目標(biāo)是求a，b的值，就是求兩個(gè)量，你會(huì)怎么做？

生1：可以找出關(guān)于a，b的兩個(gè)等量關(guān)系，其中有一個(gè)是條件a+b=5，還有一個(gè)隱含的條件待我們尋求，直接找出有點(diǎn)困難。

問題2 是不是可以對(duì)某些已知的量進(jìn)行轉(zhuǎn)化？

生1：我知道∠ACB=可轉(zhuǎn)化為邊的等量關(guān)系c2=a2+b2+ab。

問題3 這樣是不是變成找出關(guān)于a，b，c的三個(gè)等量關(guān)系，那是不是還要再找一個(gè)等量關(guān)系呢？

這時(shí)教師順應(yīng)學(xué)生的思維引入本節(jié)課的主題：從不同的角度分析，尋求圖形中隱含的等量關(guān)系。

2.自然生成的教學(xué)設(shè)計(jì)要符合自然規(guī)律

為達(dá)到自然生成，教學(xué)設(shè)計(jì)就應(yīng)符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，就應(yīng)符合知識(shí)形成的內(nèi)在規(guī)律[2]。本題解題目標(biāo)為尋求等量關(guān)系，可利用算兩次原理搭建。

問題4 為搭建關(guān)于a，b，c的另一個(gè)等量關(guān)系，我是不是可以從某個(gè)三角形元素出發(fā)建立等量關(guān)系？

生2（解法一）：是的， 我是通過角B的余弦值分別在△BCD與△ABC中算兩次尋求等量關(guān)系的。

由條件知，c2=a2+b2+ab，∠C=，又∠ACD=，則∠BCD=。在Rt△BCD中，cosB=。在△ABC中，cosB=。即=，整理得c2-3a2-b2=0。

這時(shí)結(jié)合a+b=5，關(guān)于a，b，c的三個(gè)不同等量關(guān)系找到，因此求出a=，b=。

這時(shí)，學(xué)生3，4，5也贊同，但他是從另外一個(gè)量出發(fā)的。

生3（解法二）：角A的余弦值分別在△ACD與△ABC中算兩次尋求等量關(guān)系。解法與解法一相仿。

這時(shí)課堂氣氛開始活躍起來了，學(xué)生開始自然而然從不同角度及不同量算兩次，得出以下幾種解法。

生4（解法三）：圖形中具有“△ACD與△BCD共邊，且∠ADC+∠BDC=π”的結(jié)構(gòu)。因此，我們可以運(yùn)用sin∠ADC=sin∠BCD搭個(gè)等量關(guān)系使之達(dá)到解題目標(biāo)。解法如下：在△ACD中，= ①，在△BCD中， =②，又D為AB的中點(diǎn)，所以AD=BD，又∠ADC+∠BDC=π，所以sin∠ADC=sin∠BDC。結(jié)合①、②知b=2a。

生5（解法四）：圖形中具有“△ACD與△BCD共邊，且∠ADC+∠BDC=π”的結(jié)構(gòu)。我們也可以運(yùn)用cos∠ADC+cos∠BCD=0搭個(gè)等量關(guān)系使之達(dá)到解題目標(biāo)。解法與解法三相仿。

3.自然生成的教學(xué)設(shè)計(jì)要激發(fā)學(xué)生的潛力

師問：一定要從角的角度思考嗎？可以從其他的元素出發(fā)嗎？

生6（解法五）：由所給條件的結(jié)構(gòu)中∠ACD及∠BCD的角度已確定，又D為AB的中點(diǎn)，因此，聯(lián)想到用兩個(gè)三角形面積的比值來確定a，b及CD的數(shù)量關(guān)系。解法如下：S△ACD=b·CDsin∠ACD=b·CD。S△BCD=a·CD。因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，所以S△ACD=S△BCD，所以b·CD=a·CD，即b=2a。

生7（解法六）：由所給條件的結(jié)構(gòu)中D為AB的中點(diǎn)，因此，聯(lián)想到用平面向量來確定a、b及CD的數(shù)量關(guān)系，處理方法就是對(duì)向量恒等式進(jìn)行平方。解法如下：因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，所以=

+，于是=

+

+2

·，即-a2=（a2+b2-ab），知ab=2a2。

生8（解法七）：由所給條件的結(jié)構(gòu)中D為AB的中點(diǎn)，因此，聯(lián)想到用中線長(zhǎng)公式來確定a，b及CD的數(shù)量關(guān)系。解法如下：因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，所以由中線長(zhǎng)公式得a2+b2=2CD2

+。

4.自然生成的教學(xué)設(shè)計(jì)要有培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)

師問：這題本身是平面幾何問題，能否從平面幾何相關(guān)知識(shí)解題呢？

生9（解法八）：由所給條件的結(jié)構(gòu)中D為AB的中點(diǎn)，由此，運(yùn)用中線倍長(zhǎng)的作輔助線方法來確定a，b的數(shù)量關(guān)系。解法如下：延長(zhǎng)CD至E，使得CD=DE，連結(jié)AE，BE，可知四邊形ACBE為平行四邊形，所以∠AEC=∠BCE=，在Rt△AEC中，∠ACE=，則b=2a。

5.自然生成的教學(xué)設(shè)計(jì)要打破學(xué)生定向思維

生10（解法九）：由所給條件的結(jié)構(gòu)中∠BCD=，容易想到建立平面直角坐標(biāo)系，用解析幾何法來確定a，b的數(shù)量關(guān)系。解法如下：以C為原點(diǎn)，CD，CB的所在直線為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，此時(shí)，B（0，a），A（b，-b），注意到D為AB的中點(diǎn)，且在x軸上，所以a+-

b=0，即b=2a。

6.結(jié)束語(yǔ)

本節(jié)課以“尋求圖形中隱含的等量關(guān)系”之內(nèi)容為主體組織教學(xué)。為實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，這節(jié)課運(yùn)用自然生成的教學(xué)設(shè)計(jì)五個(gè)原則展開教學(xué)。在內(nèi)容上通過一個(gè)典型例題，以“試題問題化、問題模型化、解模規(guī)范化、解題技能化”為主要表達(dá)形式，學(xué)生在通過獨(dú)立思考、合作交流的過程中，實(shí)現(xiàn)靈活應(yīng)用結(jié)論分析問題、解決問題目的，從而提高學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)習(xí)欲望和探究精神[3]。

參考文獻(xiàn)：

[1]裴光亞.數(shù)學(xué)是過程[J].中學(xué)數(shù)學(xué)， 2002（8）：22-24.

[2]陳景文，杜成北.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下自然生成的公式教學(xué)研究——以“兩角差余弦公式”教學(xué)設(shè)計(jì)為例[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2017 （5）：24-27.

[3]朱永廣.例談數(shù)學(xué)問題的模型化解題思路[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2006（10）：30-33.