沈愛平

[摘 ?要] 數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是數(shù)與形，數(shù)與形不是孤立的. 具體到初中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，在核心素養(yǎng)的視角下認(rèn)識(shí)數(shù)形結(jié)合，最好的方法就是通過教學(xué)案例的研究，認(rèn)識(shí)到數(shù)形結(jié)合思想滲透的過程中核心素養(yǎng)是如何落地的. 數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的組成要素并不是彼此獨(dú)立的，而是互相高度關(guān)聯(lián)的.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;數(shù)學(xué)思想;核心素養(yǎng)

培育學(xué)生的核心素養(yǎng)，首先要理解什么是核心素養(yǎng). 根據(jù)《中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》的定義，核心素養(yǎng)是指學(xué)生應(yīng)具備的能夠適應(yīng)社會(huì)發(fā)展與終身發(fā)展的必備品格與關(guān)鍵能力. 在此定義的基礎(chǔ)上，核心素養(yǎng)還有相應(yīng)的框架，在此不再贅述. 將核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)合起來，誕生了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，當(dāng)前已經(jīng)正式頒布的是高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，根據(jù)這一界定來理解初中數(shù)學(xué)教學(xué)，也是有一定現(xiàn)實(shí)意義的. 這是因?yàn)槌踔袛?shù)學(xué)教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中落實(shí)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)據(jù)分析，既是一個(gè)培育學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的過程，又是一個(gè)培育學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的奠基.

那么在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，怎樣才能走向核心素養(yǎng)呢？回答這個(gè)問題，實(shí)際上也就是回答核心素養(yǎng)的落地途徑. 而探究核心素養(yǎng)的落地途徑，又不能脫離數(shù)學(xué)學(xué)科最基本的特征，這種特征是通過數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)出來的. 對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科而言，最基本的思想可能就是數(shù)形結(jié)合思想了. 一直以來，數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要地位，其不僅可以為學(xué)生提供高效的解題方法，也能提高學(xué)生的邏輯思維能力. 數(shù)形結(jié)合思想具有的這種功能，實(shí)際上可以為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育奠定基礎(chǔ). 經(jīng)由數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想，教學(xué)應(yīng)當(dāng)是可以走向核心素養(yǎng)的. 下面就這個(gè)話題，談?wù)劰P者的探究心路.

作為數(shù)學(xué)思想的數(shù)形結(jié)合

所謂數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識(shí)之中，經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果. 這是一種非常學(xué)術(shù)的表達(dá)，通俗一點(diǎn)說，即數(shù)學(xué)思想就是數(shù)學(xué)學(xué)科所特有的，能夠反映數(shù)學(xué)學(xué)科特質(zhì)，能夠?yàn)樯铙w悟與問題解決提供數(shù)學(xué)視角與思路的思想. 眾所周知，數(shù)學(xué)是以現(xiàn)實(shí)世界中的空間形式與數(shù)量關(guān)系為研究對(duì)象的學(xué)科，簡(jiǎn)單地說，數(shù)學(xué)是研究數(shù)、形及其關(guān)系的一門學(xué)科. 因此數(shù)形結(jié)合思想是研究數(shù)學(xué)的一個(gè)基本思想. 深刻理解這一思想，有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，有利于發(fā)展分析問題、解決問題的能力.

作為數(shù)學(xué)思想的數(shù)形結(jié)合，蘊(yùn)含著基本的邏輯關(guān)系：數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是數(shù)與形，數(shù)與形不是孤立的，盡管在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，很長(zhǎng)一段時(shí)間里都是專門學(xué)習(xí)“數(shù)”或者專門學(xué)習(xí)“形”（歷史上將數(shù)學(xué)分為代數(shù)和幾何，就是這一思路的重要表征），但不可否認(rèn)的是，研究數(shù)與形之間的聯(lián)系，才能夠充分地反映數(shù)學(xué)學(xué)科的特征以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本要求.

在初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，數(shù)與形的聯(lián)系有的是顯性的，有的是隱性的. 在實(shí)踐教學(xué)過程中，教師往往有著不同的選擇，有些選擇符合初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，比如教學(xué)函數(shù)時(shí)，教師會(huì)自然地從解析式、圖像等角度去研究函數(shù)的性質(zhì)，這就是數(shù)形結(jié)合思想的自然體現(xiàn). 而有的教師在教學(xué)中將數(shù)形截然分開，不能夠顯示出數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，比如教學(xué)平面直角坐標(biāo)系，往往只是將教學(xué)的重心放在“形”上，跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)畫平面直角坐標(biāo)系的基本要求，于是學(xué)生習(xí)得的就是如何去畫一個(gè)平面直角坐標(biāo)系. 而事實(shí)上，平面直角坐標(biāo)系的本質(zhì)是研究數(shù)對(duì)關(guān)系的產(chǎn)物，引導(dǎo)初中學(xué)生學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系，不能忽視這一特點(diǎn)，或者說不能只注意這一特點(diǎn)，這樣才能讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，也只有如此，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地才是有充分保障的.

作為核心素養(yǎng)的數(shù)形結(jié)合

那么在核心素養(yǎng)的視角下理解數(shù)形結(jié)合，又應(yīng)當(dāng)是怎樣的呢？這里不妨將研究的視野在時(shí)間上拉長(zhǎng). 回顧課程改革，可以發(fā)現(xiàn)新課程改革在倡導(dǎo)學(xué)生自主探究性學(xué)習(xí)時(shí)，就已經(jīng)強(qiáng)調(diào)要把數(shù)形結(jié)合落實(shí)在自主探究性學(xué)習(xí)中，強(qiáng)調(diào)要以課堂教學(xué)為突破口，逐步培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合的思維方式. 這里是從思維的角度去強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合價(jià)值的. 思維是世界上最美的花朵，思維能力支撐著學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，很顯然思維能力就是關(guān)鍵能力之一，是核心素養(yǎng)的重要組成部分. 具體到初中數(shù)學(xué)學(xué)科中，在核心素養(yǎng)的視角下認(rèn)識(shí)數(shù)形結(jié)合，最好的方法就是通過教學(xué)案例的研究，認(rèn)識(shí)到數(shù)形結(jié)合思想滲透的過程中核心素養(yǎng)是如何落地的.

如前面提及的平面直角坐標(biāo)系的教學(xué)，其教學(xué)環(huán)節(jié)常常包括三個(gè)：

環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設(shè)情境，研究有序數(shù)對(duì).

在平面幾何中，直角坐標(biāo)系是最基本的研究載體（其實(shí)也是一個(gè)數(shù)學(xué)模型），作為面向初中學(xué)生的教學(xué)要使其知其然且知其所以然. 而“所以然”就是必須讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到平面直角坐標(biāo)系，實(shí)際上是為了研究有序數(shù)對(duì). 得出有序數(shù)對(duì)概念可以基于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，無論是在教室里還是在電影院里尋找座位，都涉及有序數(shù)對(duì). 教師可以列舉這些例子，讓學(xué)生通過分析與綜合認(rèn)識(shí)到有序數(shù)對(duì)在生活中的普遍運(yùn)用. 當(dāng)學(xué)生進(jìn)入情境之后，教師可以提出一個(gè)問題：如果要你向別人介紹有序數(shù)對(duì)，你會(huì)如何介紹呢？

情境與問題總是聯(lián)系在一起的，基于情境提出的問題，可以讓學(xué)生將問題解決的過程與情境中的素材更好地結(jié)合在一起. 事實(shí)證明，學(xué)生回答問題時(shí)，總是不由自主地會(huì)通過畫圖的方式去解釋，這也就打開了數(shù)形結(jié)合的空間.

環(huán)節(jié)2：建立坐標(biāo)，描述有序數(shù)對(duì).

學(xué)生回答上述問題時(shí)，認(rèn)知發(fā)展的過程有兩個(gè)層次：一是將教室或者電影院的座位通過“寫實(shí)”思路畫出來，這個(gè)層次反映的是學(xué)生的形象思維，但不能反映數(shù)學(xué)的抽象特質(zhì)，因此教學(xué)還必須進(jìn)入下一個(gè)層次;二是通過數(shù)學(xué)抽象把位置轉(zhuǎn)換為對(duì)點(diǎn)的描述，進(jìn)而由“橫”“豎”兩個(gè)維度來確定位置. 這一點(diǎn)初中學(xué)生是做得到的（部分做不到的學(xué)生可以在小組合作學(xué)習(xí)的過程中獲得認(rèn)知的發(fā)展），而有了這一基礎(chǔ)，實(shí)際上平面直角坐標(biāo)系也就有了雛形. 此處教師不必急著畫平面直角坐標(biāo)系給學(xué)生看，首先應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，通過這種橫豎結(jié)合的方法可以確定一個(gè)有序數(shù)對(duì)，而這正是平面直角坐標(biāo)系的本質(zhì)所在，也是數(shù)形結(jié)合思想的精髓所在.

環(huán)節(jié)3：立足思想，生成核心素養(yǎng).

在學(xué)生成功地建立起平面直角坐標(biāo)系之后，教師一定要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到這是一個(gè)體現(xiàn)“形”與“數(shù)（對(duì)）”的關(guān)系的產(chǎn)物，客觀上也就是數(shù)形結(jié)合思想的產(chǎn)物. 在學(xué)生有了這一認(rèn)識(shí)（不一定是顯性認(rèn)識(shí)，也可以是默會(huì)認(rèn)識(shí)）之后，作為數(shù)學(xué)思想的數(shù)形結(jié)合，也就很自然地將數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的要素滲透到學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中.

核心素養(yǎng)視角下理解數(shù)學(xué)教學(xué)

綜合分析上述課例，再思考核心素養(yǎng)如何落地，可以發(fā)現(xiàn)只要在一個(gè)教學(xué)過程中有效地滲透數(shù)學(xué)思想，那么數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地總是有保證的. 很多時(shí)候，這都不是一個(gè)需要刻意追求的過程，因?yàn)樵诮虒W(xué)設(shè)計(jì)中研究數(shù)學(xué)思想，會(huì)自然地將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的相關(guān)要素吸納進(jìn)來，也就是說數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的組成要素并不是彼此獨(dú)立的，實(shí)際上兩者是互相高度關(guān)聯(lián)的. 在傳統(tǒng)的教學(xué)視野里，數(shù)學(xué)思想受到了高度重視，因此借助于數(shù)學(xué)思想去實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育，是一個(gè)在傳承的基礎(chǔ)上進(jìn)行創(chuàng)新的過程. 當(dāng)然，必須認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)存在著區(qū)別，前者重“神”而后者重“形”，前者須感悟而后者須體驗(yàn). 因此對(duì)于初中學(xué)生而言，尤其是對(duì)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，以核心素養(yǎng)為抓手，必以之作為教學(xué)目標(biāo)來引領(lǐng)數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)，其實(shí)對(duì)于一線教師而言，更具可操作性.

由此回過頭來再?gòu)臄?shù)形結(jié)合角度認(rèn)識(shí)初中數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅要認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是一門研究空間形式與數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，其能夠培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，主要途徑就是提高學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能力;還要認(rèn)識(shí)到在滲透數(shù)形結(jié)合思想的過程中，要對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的組成要素進(jìn)行研究，以將數(shù)學(xué)思想的活力附著在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的“形”上. 實(shí)踐也表明，考慮到學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想與核心素養(yǎng)的熟悉關(guān)系，經(jīng)由數(shù)學(xué)思想而走向核心素養(yǎng)是可行的.