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        探尋數(shù)學(xué)思想的實(shí)際應(yīng)用與價(jià)值

        2021-03-19 00:21:58王明建
        關(guān)鍵詞:分類討論思想數(shù)學(xué)思想數(shù)形結(jié)合

        王明建

        [摘 ?要] 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂. 它具有協(xié)助學(xué)生感受知識的本質(zhì)、構(gòu)建知識、啟發(fā)思維、提高解題能力等重要作用. 當(dāng)前,部分教育者仍未完全認(rèn)識到數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用價(jià)值. 因此,文章從以下三方面具體談?wù)剶?shù)學(xué)思想的實(shí)際應(yīng)用與價(jià)值:數(shù)形結(jié)合思想,形成直觀理解;函數(shù)與方程思想,簡化問題難度;分類討論思想,優(yōu)化解題思路.

        [關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)思想;數(shù)形結(jié)合;分類討論思想

        思想是指客觀事物經(jīng)思維活動(dòng)后反映在人類意識中的一種產(chǎn)物. 數(shù)學(xué)思想作為科學(xué)思想的一類,能優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知與思維結(jié)構(gòu),協(xié)助學(xué)生形成新的知識體系. 教學(xué)中,利用數(shù)學(xué)思想能將互不相干的知識點(diǎn)聯(lián)系到一起,在知識的互相轉(zhuǎn)化中,深化學(xué)生對知識的理解程度.

        復(fù)習(xí)是對知識的整理、歸納與提煉的階段,怎樣靈活運(yùn)用所學(xué)知識,提高解題能力,發(fā)展思維水平是教師所關(guān)注的問題. 實(shí)踐證明,數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用是實(shí)現(xiàn)這一切的手段之一. 因此,筆者就常見的幾種數(shù)學(xué)思想的實(shí)際應(yīng)用與價(jià)值談一些認(rèn)識.

        數(shù)形結(jié)合思想,形成直觀理解

        數(shù)形結(jié)合思想是學(xué)生較早接觸到的一類思想,學(xué)生在接受數(shù)學(xué)啟蒙時(shí)就會涉及這類數(shù)學(xué)思想. 它能將抽象的文字知識用直觀的圖形來表達(dá),讓學(xué)生能一目了然地理解題意,找出問題的癥結(jié). 在高中階段,隨著教學(xué)難度的加大,抽象性也越來越強(qiáng). 有些試題光理解文字就需要費(fèi)一番功夫,而圖形結(jié)合的使用則能將很多邏輯性很強(qiáng)的東西直觀地表達(dá)出來,讓一些非常抽象的問題變得直觀、易懂.

        數(shù)形結(jié)合思想不僅能將抽象的知識用圖形表示,同時(shí)也具有將圖形轉(zhuǎn)化為文字的重要作用. 不論是“以形助數(shù)”還是“以數(shù)解形”,都具有幫助學(xué)生化繁為簡、優(yōu)化解題方法的重要作用. 因此,數(shù)學(xué)思想是學(xué)好數(shù)學(xué)的根本,它對學(xué)生各種能力的培養(yǎng)有著無可替代的重要價(jià)值.

        本題涉及用數(shù)形結(jié)合思想解決取值范圍的問題,此類問題的解題關(guān)鍵點(diǎn)在于用一定的方法在直角坐標(biāo)系中作出方程的曲線,在此基礎(chǔ)上將待求的最值轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的直線在y軸的截距,觀察繪制而成的圖形,基本就能解出本題.

        根據(jù)數(shù)與形之間存在的聯(lián)系,將它們進(jìn)行相對應(yīng)的轉(zhuǎn)化來激活學(xué)生的思維,使得難以理解的抽象問題變得直觀、具體、通俗化. 因此,數(shù)形結(jié)合的方式能有效地幫助學(xué)生理解問題的內(nèi)涵,它充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的靈活性與規(guī)律性等特征.

        函數(shù)方程思想,優(yōu)化解題思路

        函數(shù)思想是從變化和運(yùn)動(dòng)的角度去思考與解析數(shù)學(xué)對象之間存在的數(shù)量關(guān)系,構(gòu)建函數(shù)后,利用函數(shù)的性質(zhì)或圖像對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化、分析與解決. 函數(shù)思想在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用較廣泛,它具有加強(qiáng)學(xué)生對函數(shù)本質(zhì)的理解,從函數(shù)的角度去分析、思考并解決問題等作用. 因此,它不僅能激活學(xué)生的思維,還能讓學(xué)生在問題的分析與解決中培養(yǎng)思維品質(zhì).

        方程思想指根據(jù)問題中存在的等量關(guān)系,構(gòu)建方程或方程組. 它與函數(shù)思想的共性是構(gòu)建新的模型轉(zhuǎn)換原問題,以簡化問題難度,從而順利解決問題. 方程思想更全面地詮釋了變量中的等量關(guān)系,將抽象的問題變得簡潔化.

        通常情況下,這兩種數(shù)學(xué)思想有著密切的聯(lián)系. 高中數(shù)學(xué)中不少涉及函數(shù)的問題都是用方程來解決的,同時(shí)又有不少方程類的問題,是運(yùn)用函數(shù)來解決的. 因此,它們之間存在著一定的辯證關(guān)系. 這兩種數(shù)學(xué)思想的使用能進(jìn)一步優(yōu)化學(xué)生的思維與解題方法.

        使用函數(shù)處理各種數(shù)學(xué)問題是常態(tài),尤其是關(guān)系到數(shù)列的問題,基本都可以用函數(shù)思想來解決. 數(shù)列前n項(xiàng)的和或通項(xiàng)都是正整數(shù)的函數(shù),解題中從變量與函數(shù)的角度去觀察與分析問題,會簡化問題的難度,使得解題水到渠成. 學(xué)生的思維也在函數(shù)思想的刺激下得以有效發(fā)展,這也為學(xué)生解題能力的發(fā)展與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升奠定基礎(chǔ).

        分類討論思想,簡化問題難度

        分類討論思想是將一個(gè)完整的問題,通過分割或分解的方式,轉(zhuǎn)化為若干個(gè)子問題,再逐個(gè)突破子問題,以達(dá)成解決整個(gè)問題的目的. 此數(shù)學(xué)思想在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,占有相當(dāng)重要的位置,它最大的優(yōu)勢在于分解復(fù)雜的問題,簡化問題難度. 分類時(shí),必然涉及一個(gè)分類的條件或標(biāo)準(zhǔn),此標(biāo)準(zhǔn)即相當(dāng)于為原題增設(shè)了一個(gè)已知條件,作用為將一個(gè)難度系數(shù)偏大的問題分解為一系列難度系數(shù)較小的基礎(chǔ)性問題.

        一般分類討論的解題,我們可遵循以下幾個(gè)步驟:①首先應(yīng)確定本題待分類的對象(參數(shù)或變量);②進(jìn)行合理分類,明確可以分為哪幾類;③根據(jù)分類情況將分好類的問題一個(gè)一個(gè)突破;④匯總分類討論的結(jié)論,作解題的最終總結(jié).

        此題中,a的取值范圍對函數(shù)的性質(zhì)產(chǎn)生了直接的影響,因而需要分兩種情況進(jìn)行討論. 本題分為a>1與0

        高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的短期目標(biāo)是面對高考,從高考命題者的角度出發(fā),數(shù)學(xué)考核絕對不是考查孤立的知識點(diǎn),而是考查學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識,即完整的知識體系與數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用. 而從高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的長遠(yuǎn)目標(biāo)來看,為的是發(fā)展學(xué)生的思維,培養(yǎng)學(xué)生的可持續(xù)性發(fā)展能力與核心素養(yǎng). 因此,教師應(yīng)從思想上重視數(shù)學(xué)思想的滲透與應(yīng)用,鼓勵(lì)學(xué)生積極開動(dòng)腦筋,拓展解題思路,將更多、更好的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用于日常學(xué)習(xí)中,以促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升.

        其實(shí),常用的數(shù)學(xué)思想除了以上幾種之外,還有其他很多類,如特殊與一般、轉(zhuǎn)化與化歸等. 想讓學(xué)生達(dá)到知識的靈活運(yùn)用與能力的提升,就應(yīng)從課堂教學(xué)的方方面面關(guān)注數(shù)學(xué)思想的歸納、提煉與整理,以簡化問題的難度,優(yōu)化學(xué)生的思維,提升題解能力.

        總之,對數(shù)學(xué)規(guī)律理性的認(rèn)識體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思想的靈活運(yùn)用,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的除了理解與掌握相應(yīng)的知識與技能外,更重要的是思維習(xí)慣與核心素養(yǎng)的培養(yǎng). 教師將各種數(shù)學(xué)思想滲透于教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié),能促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì),針對不同的問題選擇相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想來解決. 如此,可避免學(xué)習(xí)的隨意性與盲目性,達(dá)到學(xué)習(xí)效益最大化的教學(xué)目的.

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