姚丕貴

[摘 ?要] 概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ). 當(dāng)數(shù)學(xué)理解與概念學(xué)習(xí)之間形成一個(gè)良性的互動(dòng)關(guān)系時(shí)，數(shù)學(xué)理解才能為概念學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的認(rèn)知基礎(chǔ). 文章從當(dāng)前概念教學(xué)中學(xué)生的數(shù)學(xué)理解現(xiàn)狀談起，闡述了基于數(shù)學(xué)理解的初中數(shù)學(xué)概念教與學(xué)，以及用數(shù)學(xué)理解驅(qū)動(dòng)學(xué)生的概念學(xué)習(xí)過程.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);概念教學(xué);數(shù)學(xué)理解

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基礎(chǔ)，概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ). 無論什么時(shí)候，概念教學(xué)的重要性都不能被忽視. 從教學(xué)研究的角度來看，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)歷來受到學(xué)術(shù)界和教學(xué)界的重視，而且研究的視角也不是單一的，但無論什么樣的研究視角，都是為了讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念. 在促進(jìn)學(xué)生理解概念的過程當(dāng)中，“數(shù)學(xué)理解”這個(gè)詞逐步被提煉出來，因此數(shù)學(xué)理解成為近年來數(shù)學(xué)教育研究領(lǐng)域的熱點(diǎn). 將數(shù)學(xué)概念教學(xué)同數(shù)學(xué)理解相結(jié)合，探討基于數(shù)學(xué)理解的數(shù)學(xué)概念教學(xué)新模式，具有重要的理論意義和實(shí)踐價(jià)值.

從當(dāng)前的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)實(shí)際來看，數(shù)學(xué)理解的重要性還沒有得到應(yīng)有的重視，尤其是基于數(shù)學(xué)理解去實(shí)施概念教學(xué)，還沒有得到普遍的認(rèn)可. 其中一個(gè)重要的原因是存在一定的應(yīng)試壓力，因此，在概念教學(xué)中，教師往往會(huì)壓縮時(shí)間，從而將節(jié)省出來的時(shí)間用于學(xué)生的解題訓(xùn)練. 雖說從應(yīng)試的角度來看，這樣的選擇沒有太大的問題，學(xué)生也確實(shí)可以在重復(fù)的習(xí)題訓(xùn)練當(dāng)中慢慢地理解相關(guān)的數(shù)學(xué)概念，但從學(xué)生發(fā)展的角度來看，尤其從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育的角度來看，這樣的教學(xué)方式忽視了學(xué)生在概念學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)理解，在筆者眼里，這不是一個(gè)明智的教學(xué)選擇. 真正在數(shù)學(xué)理解的基礎(chǔ)之上實(shí)施數(shù)學(xué)概念教學(xué)，實(shí)際上是磨刀不誤砍柴工，可以為學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知體系的建立及數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 因此，在核心素養(yǎng)強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生關(guān)鍵能力的背景之下，初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)依然要立足于學(xué)生的數(shù)學(xué)理解. 下面從三個(gè)方面談?wù)劰P者的觀點(diǎn).

當(dāng)前概念教學(xué)中學(xué)生的數(shù)學(xué)理

解現(xiàn)狀

從數(shù)學(xué)概念建立的邏輯角度來看，無論是簡單的數(shù)學(xué)概念還是復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念，往往有兩種建立途徑：一種基于生活實(shí)踐，也就是從生活經(jīng)驗(yàn)當(dāng)中提取相關(guān)的認(rèn)識(shí)，然后建立數(shù)學(xué)概念;另一種基于邏輯推理，即從已有數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)之上，通過研究或?qū)W習(xí)需要提供概念建立的驅(qū)動(dòng)力，然后經(jīng)過邏輯推理去建立新的概念. 應(yīng)當(dāng)說，這兩種途徑并不獨(dú)立，在實(shí)際運(yùn)用中，它們有很多相關(guān)聯(lián)的地方. 有時(shí)，一個(gè)數(shù)學(xué)概念是先從生活實(shí)踐當(dāng)中提出來的，再用邏輯推理使其變得更加嚴(yán)謹(jǐn). 縱觀初中數(shù)學(xué)教材的編寫，可以看到很多這樣的例子. 比如，“平行”概念就可以從諸多生活元素中進(jìn)行分析與綜合，再運(yùn)用邏輯推理，借助數(shù)學(xué)語言來描述，于是得到“平行”的概念.

可以肯定的是，無論選擇哪種途徑，或者將兩種途徑進(jìn)行綜合運(yùn)用，都必須追求數(shù)學(xué)理解. 而從當(dāng)前的教學(xué)現(xiàn)狀來看，數(shù)學(xué)理解被忽視還有這樣幾種情形：一是教師忽視激活學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，過于強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)之間的邏輯關(guān)系;二是教師重視學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，但是生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系建立得不夠嚴(yán)謹(jǐn)，生活經(jīng)驗(yàn)不能對(duì)數(shù)學(xué)概念的形成起到很好的支撐作用;三是在學(xué)生的樸素認(rèn)識(shí)與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)概念語言描述之間，沒有建立起有機(jī)的聯(lián)系，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解常常很空洞;四是教師試圖通過習(xí)題的重復(fù)來促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，實(shí)際上這是一個(gè)事倍功半的過程，不僅會(huì)影響學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，還會(huì)影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的認(rèn)識(shí)，遺患無窮.

事實(shí)上，教師應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)到，在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中，有些數(shù)學(xué)概念是從它的現(xiàn)實(shí)模型中直接反映得來的，因此，在對(duì)這類概念進(jìn)行教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)密切聯(lián)系概念的現(xiàn)實(shí)模型，讓學(xué)生獲得對(duì)所研究對(duì)象的感知. 這實(shí)際上也是追求數(shù)學(xué)理解的一個(gè)重要策略. 教學(xué)實(shí)踐中多運(yùn)用這樣的策略，就可以基于數(shù)學(xué)理解，去有效地實(shí)施數(shù)學(xué)概念教學(xué).

基于數(shù)學(xué)理解的初中數(shù)學(xué)概念

教與學(xué)

促進(jìn)學(xué)生在概念學(xué)習(xí)過程中生成數(shù)學(xué)理解，除了借助生活素材而形成相關(guān)的模型之外，一些基本的思想方法的運(yùn)用也起著重要的作用. 實(shí)際的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明，歸納法在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中具有良好的教學(xué)效果. 分析與綜合、歸納與演繹等基本的思想方法，如果能夠與重視生活元素的教學(xué)思路相結(jié)合，那么學(xué)生在概念學(xué)習(xí)的過程當(dāng)中，就必然會(huì)走在一條數(shù)學(xué)理解的道路之上. 下面通過一個(gè)教學(xué)案例來說明.

對(duì)于“全等三角形”這一重要概念，從概念組成的角度來看，“全等三角形”實(shí)際上是一個(gè)復(fù)合概念，初中生對(duì)三角形的認(rèn)識(shí)已經(jīng)比較全面，因此這個(gè)概念的建立應(yīng)當(dāng)將重心放在“全等”這一關(guān)鍵詞上. 事實(shí)上，學(xué)生第一次看到“全等”這個(gè)概念時(shí)，第一反應(yīng)是“完全相等”，這就是一種樸素的認(rèn)識(shí)，而且是從“量”的角度建立起來的認(rèn)識(shí). 仔細(xì)分析學(xué)生的這一思維過程可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的這一認(rèn)識(shí)實(shí)際上具有抽象性，教師一方面要認(rèn)識(shí)到學(xué)生這樣的認(rèn)知基礎(chǔ)對(duì)“全等三角形”概念的建立有著重要的作用，另一方面也應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)到，并非所有的學(xué)生都具有這樣的認(rèn)識(shí). 也就是說，如果教師以這一認(rèn)識(shí)作為概念教學(xué)的起點(diǎn)，那就有可能忽視另外一部分學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，從而學(xué)習(xí)這個(gè)概念時(shí)，這部分學(xué)生可能會(huì)因?yàn)檫@個(gè)原因而變成“學(xué)困生”. 考慮到這一點(diǎn)，筆者進(jìn)行了這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)：

一是根據(jù)教材的編寫體系，先幫學(xué)生建立“全等形”的概念. “全等”與“全等形”只有一字之差，但是在學(xué)習(xí)的時(shí)候卻有很大的區(qū)別，后者更強(qiáng)調(diào)“形”的建構(gòu)，必須讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到什么樣的形才是全等形. 這時(shí)教師可以向?qū)W生提供相應(yīng)的素材——事實(shí)證明，教師只要提供三個(gè)全等形，絕大多數(shù)學(xué)生就能通過分析與綜合，建立起對(duì)全等形的初步認(rèn)識(shí). 最常見的認(rèn)識(shí)就是“一模一樣的圖形”.

二是引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言去描述自己的認(rèn)識(shí). 這里可以緊扣學(xué)生形成的“一模一樣的圖形”讓學(xué)生思考：從數(shù)學(xué)的角度來看，一模一樣可以怎樣描述？此時(shí)可以將學(xué)生思維的對(duì)象進(jìn)行簡化，將上面給學(xué)生提供的生活實(shí)例抽象成數(shù)學(xué)圖形，從而凸顯這些圖形的長度與角度兩個(gè)基本元素. 當(dāng)學(xué)生能夠從長度與角度兩個(gè)方面去描述時(shí)，實(shí)際上他們已經(jīng)將自己的思維切換到數(shù)學(xué)視角. 此時(shí)學(xué)生很容易認(rèn)識(shí)到全等形具有邊和角都相等的特征.

三是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究全等三角形. 實(shí)際上，有了上面的認(rèn)識(shí)之后，學(xué)生在這里很自然地會(huì)運(yùn)用演繹的方法得出“全等三角形”的概念. 演繹當(dāng)然是建立在歸納的基礎(chǔ)之上的，上一個(gè)環(huán)節(jié)中的分析與綜合奠定了學(xué)生的歸納基礎(chǔ)，學(xué)生可以理解“能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形”，能迅速認(rèn)識(shí)到全等三角形的三條邊和三個(gè)角都相等，甚至?xí)纬沙醪降膯栴}：滿足什么條件時(shí)兩個(gè)三角形才全等？

用數(shù)學(xué)理解驅(qū)動(dòng)學(xué)生的概念學(xué)

習(xí)過程

分析上述教學(xué)案例可以發(fā)現(xiàn)，在這樣的學(xué)習(xí)過程當(dāng)中，學(xué)生不斷通過自己的思維去加工生活素材，通過基本思想方法的運(yùn)用去進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理，最終建立起了“全等三角形”這樣一個(gè)概念. 觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)過程會(huì)發(fā)現(xiàn)，基本上不需要教師做出太多的干預(yù)，學(xué)生就能對(duì)全等三角形形成比較系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)：從最初的“全等形”的認(rèn)識(shí)，到“全等三角形”概念的建立，到全等三角形性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，乃至全等三角形判定意識(shí)的初步形成. 這種系統(tǒng)認(rèn)識(shí)是傳統(tǒng)講授式教學(xué)所無法達(dá)到的，其對(duì)應(yīng)的是真正的學(xué)生數(shù)學(xué)理解的過程. 因而這樣的概念教學(xué)是有效的！

由此可以得出一個(gè)基本判斷：學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，首先要理解數(shù)學(xué)概念，這是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ). 學(xué)生只有學(xué)好數(shù)學(xué)概念，才知道用怎樣的方式研究數(shù)學(xué);學(xué)生只有理解了數(shù)學(xué)概念，才能理解數(shù)學(xué)規(guī)律;學(xué)生只有理解了數(shù)學(xué)概念，才能把數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到解決問題中. 從數(shù)學(xué)概念的建立到數(shù)學(xué)概念的運(yùn)用，對(duì)應(yīng)著學(xué)生的系統(tǒng)認(rèn)知，強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生的數(shù)學(xué)理解. 當(dāng)數(shù)學(xué)理解與概念學(xué)習(xí)之間形成一個(gè)良性的互動(dòng)關(guān)系時(shí)，數(shù)學(xué)理解才能為概念學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的認(rèn)知基礎(chǔ)，同時(shí)數(shù)學(xué)理解可以在概念學(xué)習(xí)的過程中得以深化，這正是一個(gè)良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀態(tài). 即使在核心素養(yǎng)培育的背景之下，教師也應(yīng)當(dāng)在概念教學(xué)中追求學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，從而讓數(shù)學(xué)課堂保持良好的狀態(tài).

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