施德儀

[摘 ?要] 對角互補(bǔ)四邊形模型是初中重要的幾何模型，該模型總體上可分為兩大類型，即90°的對角互補(bǔ)模型和120°的對角互補(bǔ)模型. 利用模型特性可推得關(guān)于角平分、線段關(guān)系和幾何面積等的一些結(jié)論以及模型中的四個(gè)頂點(diǎn)共圓. 文章將深入解讀模型，結(jié)合實(shí)例應(yīng)用模型，并對模型進(jìn)行拓展探究，從而提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 對角互補(bǔ);四邊形;模型;旋轉(zhuǎn);四點(diǎn)共圓

共頂點(diǎn)模型在初中幾何中十分常用. 共頂點(diǎn)，即四邊形或構(gòu)成的幾何圖形中存在相對的角互補(bǔ)的情形，通常分為兩大類型：一是含有90°的對角互補(bǔ)，二是含有120°的對角互補(bǔ). 對于對角互補(bǔ)模型，學(xué)生可通過旋轉(zhuǎn)或相似變換來解決問題. 其中對角互補(bǔ)四邊形模型是比較常見的一類模型，下面進(jìn)行具體探究.

模型呈現(xiàn)

對角互補(bǔ)四邊形模型同樣有90°型和120°型兩種類型. 不同的模型中含有相應(yīng)的性質(zhì)結(jié)論，合理利用這些性質(zhì)結(jié)論進(jìn)行解題，可簡化解題步驟.

分析：由圖像可知，四邊形CDEF為對角互補(bǔ)四邊形，由其性質(zhì)可知，四點(diǎn)位于同一圓上，故可作其外接圓，借助圓周角定理來推導(dǎo)相關(guān)的角度條件.

解：矩形ABCD中，已知∠BAE=∠CDE=90°，AB=CD，又知BE⊥AC，則C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)均在以CE為直徑的圓上，故可作出該圓，如圖11所示，可推知∠CED=∠CFD. 利用條件可證△ABE≌△DCE，所以∠DEC=∠AEB，利用角度推導(dǎo)可得∠AEB=∠DCF=∠DEC=∠DFC，所以DF=DC.

評析 ?對角互補(bǔ)四邊形的頂點(diǎn)共圓是該模型的顯著特征，模型中隱含了圓的幾何性質(zhì)，充分利用圓周角定理可推導(dǎo)相關(guān)角度的大小. 解題時(shí)可以按照“提煉模型→構(gòu)建輔助圓→圓性質(zhì)推導(dǎo)”的思路進(jìn)行建模和解析.

解后反思

1. 深入探究模型，研讀模型性質(zhì)

對角互補(bǔ)四邊形模型在初中幾何中十分重要，有著極高的研究價(jià)值，探究過程要關(guān)注模型的知識背景，總結(jié)模型的解析策略及性質(zhì)特征. 對角互補(bǔ)四邊形模型中融合了角平分線、垂直平分線、幾何旋轉(zhuǎn)，其中隱含了角平分線的性質(zhì)定理、垂直平分線的性質(zhì)定理以及三角形全等等知識. 在探究過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生借助全等來推導(dǎo)角和邊長的關(guān)系. 教學(xué)中建議采用“模型解讀→性質(zhì)總結(jié)→應(yīng)用強(qiáng)化”的思路逐步探究模型，認(rèn)識模型的性質(zhì)，完成從“知識認(rèn)知”到“知識應(yīng)用”的過渡.

2. 倡導(dǎo)模型拓展，循序引導(dǎo)教學(xué)

開展模型探究要遵循循序漸進(jìn)、由淺入深的原則，同時(shí)注重模型拓展. 以上述對角互補(bǔ)四邊形模型為例，教學(xué)中除了要注重模型的基本特征、性質(zhì)講解外，還應(yīng)合理地拓展模型，如四邊形的四點(diǎn)共圓，可增設(shè)一些鋪墊式的問題，引出四邊形的隱圓，合理設(shè)問引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考. 另外，還可在圓的知識背景中講解四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，或是基于幾何旋轉(zhuǎn)來看待模型中的全等關(guān)系. 教學(xué)中教師要關(guān)注學(xué)生的思維活動，及時(shí)啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考，充分引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造模型、轉(zhuǎn)化條件，激發(fā)學(xué)生的思維，使學(xué)生充分掌握模型.

總之，對角互補(bǔ)四邊形模型的應(yīng)用價(jià)值極高，學(xué)生在探究過程中需切換視角全面剖析，可從幾何旋轉(zhuǎn)、三角形全等、四點(diǎn)共圓等角度深入解讀，關(guān)注模型的解析思路，理解模型的性質(zhì)特征，掌握模型的應(yīng)用策略，形成分析模型的解題習(xí)慣.

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