季彬

[摘 ?要] 以拋物線為背景的綜合題具有知識點多、形式多樣、圖像復雜等特點，在解題探究過程中要注重思維過程、方法構建以及解題反思. 文章將以一道拋物線綜合題為例進行問題探究、解后反思，并提出教學建議，以期與讀者交流分享.

[關鍵詞] 拋物線;三角形;相似;面積;變式;反思

問題探究

1. 問題呈現(xiàn)

問題：在平面直角坐標系中，已知拋物線的解析式為y=-x2+bx+3，與坐標x軸相交于點A和B，與坐標y軸交于點C，且拋物線的對稱軸為x=-2，點P（0，t）是y軸上的一個動點.

（1）求拋物線的解析式，以及頂點D的坐標;

（2）如圖1所示，當0≤t≤4時，設△PAD的面積為S，試求S與t之間的函數(shù)關系式;S是否有最小值？如果有，求出S的最小值和此時t的值.

（3）如圖2所示，當點P運動到使∠PDA=90°時，Rt△ADP與Rt△AOC是否相似？若相似，請求出點P的坐標;若不相似，請說明理由.

2. 思路突破

分析：第（1）問為傳統(tǒng)的拋物線基礎知識問題，由拋物線的解析式即可表示出對稱軸，構建條件列方程即可求出b值，對拋物線解析式進行配方變形即可求出頂點D的坐標.

第（2）問為拋物線中圖形的面積問題，所涉三角形的形狀一般，可通過面積割補的方法構建模型，再利用函數(shù)性質求出面積最小值.

第（3）問的難度較大，解析三角形相似可采用“點坐標推導——性質驗證”的思路.

解后反思

上述為二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質、三角形的面積公式、三角形相似等知識. 深刻理解題干條件，把握圖像特征，數(shù)形結合構建解題思路是關鍵. 考題的難度相對不大，在完成解析時有必要關注以下幾點.

1. 關注考題的關鍵點

考題的后兩問是核心之問，其中第（2）問主要考查拋物線中三角形面積的構建方式. 本題采用了常見的面積割補法，用梯形和特殊三角形的面積表示△ADP的面積是解題的關鍵. 而拋物線中常見的三角形可分為三類：一是特殊的三角形，如等腰三角形、直角三角形，可直接利用三角形的特征來構建面積模型;二是位置特殊的三角形，如三角形的三邊中存在與坐標軸相平行的邊，此時就可以該邊為底構建面積模型;三是上述的一般三角形，通常采用面積割補法，但對于上述問題還可以采用面積鉛垂法，即過點D作鉛垂線，由鉛垂高和底來構建面積模型.

第（3）問考查了拋物線中相似關系的構建，上述問題的難點是判斷出點P為BD與y軸的交點，進而基于判定定理“兩條線段對應成比例且夾角相等，則兩個三角形相似”來構建思路，把握三角形的特殊角，利用中位線的性質確定點坐標. 該問題可歸為三角形相似問題，實際上拋物線背景中的三角形相似問題還有如下解法：方法1，基于定理“兩角對應相等的兩個三角形為相似三角形”構建思路，解析時重點探索問題中的角度大小，可充分利用三角形全等性質、平行線性質以及直線斜率與角度的關系等;方法2，基于定理“三邊對應成比例，則兩個三角形相似”構建思路，解析的重點是探究所涉三角形的邊長，可充分利用勾股定理、兩點之間的距離公式等.

2. 關注考題變式方向

函數(shù)綜合題的難點在于所涉知識點眾多，尤其是綜合性極強的函數(shù)與幾何綜合題，圖像錯綜復雜，設問形式多樣. 在完成解題探究后，有必要對考題進行變式探究，思考問題的變式方向，全方位地探討問題，提升學生解題的靈活性. 上述考題有如下幾種變式思路，下面具體探究.

第（1）問考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式及配方法變形解析式，在實際考查時，常綜合拋物線和x軸的交點與方程的根的聯(lián)系來考查學生的能力. 對于該問，可將問題變?yōu)椋阂阎獟佄锞€的解析式為y=ax2+bx+c，與x軸的交點分別為點A（-6，0），B（2，0），與y軸的交點為C（0，3），試求拋物線的解析式. 解題時可直接將解析式設為y=a（x+6）（x-2），代入點C的坐標，即可求出a的值，整理可得拋物線的解析式.

第（2）問探究三角形面積的最值. 對于該問，還可以逆向變式或關聯(lián)變式，具體如下.

變式1：點P（0，t）是y軸上的一個動點，設△PAD的面積為S，若S的取值范圍為0≤S≤4，試求t的取值范圍. 解析時同樣需要構建三角形的面積模型，然后根據(jù)S的取值分析t的取值.

變式2：已知當0≤t≤4時，設△PAD的面積為S1，△PAO的面積為S2，試求S1取得最小值時S2的值. 問題解析與原題一致，可直接求出△PAD面積最小時點P的坐標，由于△PAO為直角三角形，利用面積公式即可求出S2的值.

第（3）問考查三角形相似關系，可歸為三角形相似存在性問題，其中設定了直角，若將該條件去掉，則問題變?yōu)椋寒旤cP運動時，能否使△ADP與△AOC相似？若相似，請求出點P的坐標;若不相似，請說明理由. 問題解析時需要關注三角形的相似對應關系，由于△AOC為直角三角形，則需要探討△ADP為直角三角形時的三種情形，從而逐個排除，確定最終解.

教學建議

1. 細致構圖，斟酌探“路”

數(shù)形結合是解析函數(shù)綜合題的常用方法，利用該方法進行解析的重點有兩個：一是結合條件理解圖像，根據(jù)特性，細致作圖，完善圖像;二是結合圖像的性質特征，挖掘隱含信息，利用直觀圖像深入思考，探究思路. 因此，在實際教學中教師要引導學生重視讀圖，讓學生掌握讀圖的方法，借助語言轉化來提升學生的信息提取能力，如利用文字語言描述幾何關系，根據(jù)幾何關系繪制直觀圖像. 同時，教師還要強化學生的數(shù)形轉化能力，如由直角三角形構建三邊關系，利用相似對應關系構建線段比例，基于垂直平分線探索中點坐標等.

2. 深入反思，方法積累

解后反思是解題探究的關鍵一環(huán)，通過對考題特征、關鍵點、思路、解法的反思來提升學生的解題能力. 反思階段要關注考題的特征條件、問題突破的關鍵點、常用的轉化思路以及可以采用的解法，必要時可進行多解探究、類題剖析，引導學生站在解題的高觀點處來思考解法的合理性及思路的簡捷性. 如在上述考題中，筆者總結了拋物線中常見三角形的結構特點和位置特點，并給出了相應的建模思路. 教學中幫助學生積累解題經驗、基本問題的常見解法，可有效提高學生的解題效率，使學生從根本上獲得解題能力的提升.

3. 變式探究，專題教學

在解題探究過程中，教師要注重提升學生解題的靈活性，拓展學生的解題思維，使學生獲得“解一題，通類題”的能力，這就需要教師在教學中側重問題的變式探究，即基于考題進行變式分析，思考問題的變式方向、解題方法的異同. 在實際教學中，教師可基于類型考題開展“一題一課”，注重預設環(huán)節(jié)的師生互動，以學生為主體，設置互動式問題，引導學生基于考題進行變式衍生，總結變式問題的特征及解法，讓學生在變式對話中形成獨立的數(shù)學思維，促進學生綜合素質的提升.

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