許娟

【摘 要】“大概念”位于“數(shù)學課程學習中心”，蘊含著數(shù)學知識本質(zhì)，牽引著數(shù)學知識結(jié)構(gòu)。“大概念”有助于整合數(shù)學知識、培養(yǎng)學生思維、促進學習遷移。在數(shù)學教學中，教師要把握結(jié)構(gòu)、追溯本源、抽取要素等，提取“大概念”、解讀“大概念”。作為教師，要自覺地引導學生應用“大概念”，用“大概念”建構(gòu)知識、關(guān)聯(lián)知識、簡化知識等。尋找“大概念”、抽取“大概念”、解讀“大概念”、應用“大概念”等將成為重塑師生教學的新原點和新樣態(tài)。

【關(guān)鍵詞】小學數(shù)學 “大概念”課程 內(nèi)涵詮釋 實踐建構(gòu)

“大概念”的英文為“big ideas”，其原意為“大創(chuàng)意”。在學科教學中，“大概念”是指能整合學科知識、揭示學科本質(zhì)、支撐學科骨架的一些概念。 “大概念”之“大”不是絕對的，而是相對的。在不同的學段，概念的“大”的屬性是不同的。作為教師，要把握“大概念”之“大”的度，引導學生建構(gòu)大概念、理解大概念、應用大概念。

一、 “大概念”的意義

“大概念”的內(nèi)涵，從范圍上說有兩個方面：廣義上既包括“學科概念”，也包括“跨學科概念”;狹義上就是指“學科概念”。換言之，提煉、建構(gòu)、應用“大概念”，既可以基于學科視野，也可以跨學科將視野遍及學生的生活、經(jīng)驗。從屬性上說，“大概念”既包括知識層面上的，也包括方法層面、思想層面上的，還包括文化、精神層面上的。

1.“大概念”有助于整合數(shù)學知識

數(shù)學知識是一個整體的、結(jié)構(gòu)性的系統(tǒng)，但體現(xiàn)在教材中、學生學習中的是單一性、碎片化的。借助于“大概念”，能將這些零碎的、散落的數(shù)學知識串接、整合起來，形成一個知識整體。“大概念”就是知識整體中的關(guān)鍵節(jié)點、關(guān)聯(lián)節(jié)點。比如“平均分”這一概念，就是勾連整數(shù)、分數(shù)和小數(shù)的橋梁和紐帶。學生只有理解了“平均分”這樣一個“大概念”，才能有效地認識、整合，溝通整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的聯(lián)系。其中，小數(shù)是不帶分母的十進分數(shù)，小數(shù)是將“整數(shù)1”平均分成10份、100份……表示一份或幾份的數(shù);分數(shù)是將“單位1”平均分成若干份，表示其中的一份或幾份的數(shù)。有了“平均分”大概念，學生就能深刻理解小數(shù)的意義、分數(shù)的意義，從而建立“數(shù)概念”。

2.“大概念”有助于培養(yǎng)學生思維

當下，由于受到單一性、碎片化教學的影響，很多學生數(shù)學思維是割裂的。立足于數(shù)學“大概念”，有助于培育學生的高階思維。所謂“高階思維”，是指發(fā)生在較高認知水平層次上的一種心智活動或認知能力。在數(shù)學教學中，教師要引導學生分析、綜合、評價和創(chuàng)造。如學習了《異分母分數(shù)加減法》之后，教師就有必要引導學生比較整數(shù)加減法、小數(shù)加減法和分數(shù)加減法的法則，引導學生抽象、提煉出這些不同計算法則背后共同的、一致性的算理，即“只有計數(shù)單位相同才能直接相加減”，從而幫助學生建構(gòu)大概念——“計數(shù)單位”，培養(yǎng)學生的分析能力、歸納能力。

3.“大概念”有助于促進學習遷移

學生數(shù)學學習的過程，一般來說包括“學知識”“用知識”兩個部分?！按蟾拍睢笔菍W生數(shù)學學習的“錨點”，一方面組織著學科知識，另一方面編織著學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)?！按蟾拍睢笔墙Y(jié)構(gòu)化教學研究的重要組織表征、表達。學生習得“大概念”，就能促進適應性遷移、轉(zhuǎn)化，這種遷移有助于數(shù)學知識的自我完善、迭代更新。如學生在學習“多邊形的面積”這一部分內(nèi)容之后，就會形成自覺的“圖形轉(zhuǎn)化意識”，生成“圖形轉(zhuǎn)化能力”，因而在后續(xù)學習“圓的面積”等知識時，就能自覺地猜想“圓可以轉(zhuǎn)化成什么圖形呢？”“怎樣轉(zhuǎn)化呢？”等。顯然，學生的學習遷移不僅僅指探究行為的遷移，更指思維方式、思想意識等的遷移。相比較于行為遷移而言，思想、意識等層面的遷移更具有生命的活力。

二、 “大概念”的提取

1.把握結(jié)構(gòu)，提取“大概念”

“大概念”往往反映了一類數(shù)學知識的共同屬性。教學中，教師要把握一類知識的共同屬性、結(jié)構(gòu)，或者把握數(shù)學知識某一層面、側(cè)面的共同屬性、結(jié)構(gòu)等。相比較于一般性的概念，“大概念”的適用面更廣。教師在教學中要善于瞻前顧后、左顧右盼，自覺地將相關(guān)的數(shù)學知識梳理、勾連，從而探尋到相關(guān)知識的共性，找尋到“大概念”。如在教學“圓柱體的側(cè)面積”之后，筆者將長方體、正方體的側(cè)面積納入其中，借助于一張長方形紙，讓學生通過“卷”“折”等不同的操作，引導學生建構(gòu)直柱體的共同的側(cè)面積計算公式，即“底面周長×高”。相比較于長方體、正方體和圓柱體原來的側(cè)面積公式，這樣的側(cè)面積公式更能激活學生的動態(tài)思維、想象，即“直柱體的側(cè)面積都是直柱體的底面周長向上生長的結(jié)果”。尋找數(shù)學知識的共同結(jié)構(gòu)，有助于學生掌握數(shù)學知識的本質(zhì)、結(jié)構(gòu)。正如著名認知心理學家皮亞杰所說，“一切的知識都是按照結(jié)構(gòu)的建構(gòu)來展開的，這種結(jié)構(gòu)的建構(gòu)是完全開放性的……通過不斷對結(jié)構(gòu)的建構(gòu)，形成更強的結(jié)構(gòu)，或者說是用更強的結(jié)構(gòu)來予以結(jié)構(gòu)化”。

2.追溯本源，提取“大概念”

很多數(shù)學知識，盡管其表現(xiàn)形態(tài)不同，且分屬于不同的知識類領(lǐng)域，卻有著相同的起源。提取“大概念”，不僅僅可以從知識的共同結(jié)構(gòu)中探尋，也可以追溯知識的本源，引導學生返回知識的源頭處，去挖掘數(shù)學知識的源頭活水。比如“數(shù)（shù）源于數(shù)（shǔ）”“量

（liànɡ）源于量（liánɡ）”，在“小數(shù)的初步認識”“分數(shù)的初步認識”這些內(nèi)容的教學中，教師都可以從整數(shù)入手，引導學生把握“十進制計數(shù)法”、“十進制計數(shù)法在整數(shù)計數(shù)和小數(shù)計數(shù)中是一以貫之的”，以及“分數(shù)是不帶分母的十進分數(shù)”，它們都是對“整數(shù)1”“單位1”等進行“平均分”的。追溯知識的本源，能讓學生感悟到人類的生命實踐智慧。一般來說，返回本源主要有兩種方式：其一是返回學生的生活本源、經(jīng)驗本源;其二是返回最原始的知識，返回母知識。

3.抽象要素，提取“大概念”

提取“大概念”，一般來說有兩種向度：其一是從諸多下位知識追溯上位知識，其路徑一般是從“事實”過渡到“觀點”，從“觀點”過渡到“觀念”的過程;其二是首先呈現(xiàn)上位知識，讓上位知識不斷地衍生，形成整個的知識群落。在這個過程中，上位知識基本上就是指“大概念”。如在教學“圓的周長”“圓的面積”“圓柱的體積”等相關(guān)內(nèi)容時，教師要有意識地凸顯“化曲為直”的思想觀念。在這樣一種“大概念”的指引下，引導學生自主探究，運用各種方法去體現(xiàn)“化曲為直”。如在“圓的周長”探究過程中，讓學生將緊貼圓周的曲線拉直;在“圓的面積”的探究過程中，讓學生通過剪拼法將圓剪拼成長方形;在“圓柱的體積”的探究過程中，讓學生通過切割法將圓柱轉(zhuǎn)化成長方體;等等。所有這些探索，都離不開教師提煉出的“化曲為直”的數(shù)學思想。有了這樣的思想，學生今后看到曲面形體就能自覺地、有意識地想辦法將其轉(zhuǎn)化成平面形體。

三、 “大概念”的應用

綜上所述，“大概念”是位居概念中心、核心地位的概念，“大概念”具有一種認識論、方法論、價值論的作用和功能。在數(shù)學教學中，教師要充分地應用“大概念”，引導學生的思維、認知等不斷深入，形成一種“專家思維”，這有助于引導學生的探究不斷深化，讓學生的學習獲得飛躍。

1.用“大概念”建構(gòu)數(shù)學新知

借助于“大概念”，學生在學習中往往能舉一反三、觸類旁通。常見的“大概念”建構(gòu)數(shù)學新知的方法主要有“演繹法”“類比法”和“歸納法”等。如教學

“商不變的規(guī)律”之后，教師就要提煉出“猜想—驗證”這一“大概念”。這一“大概念”對于“分數(shù)的基本性質(zhì)”“小數(shù)的性質(zhì)”“比的基本性質(zhì)”等相關(guān)新知的建構(gòu)具有重要意義。教學中，教師可以引導學生根據(jù)除法、分數(shù)、小數(shù)、比等相關(guān)知識的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，引導學生大膽“猜想”，小心“驗證”，從而積極、主動地建構(gòu)數(shù)學新知。

2.用“大概念”關(guān)聯(lián)數(shù)學結(jié)構(gòu)

“大概念”往往是眾多有關(guān)聯(lián)的數(shù)學知識的關(guān)聯(lián)節(jié)點。教學中，教師可以用“大概念”組織、勾連相關(guān)數(shù)學知識，讓零散、碎片化的數(shù)學知識得到有效的集結(jié)，將其整合成有機的知識結(jié)構(gòu)，包括并列關(guān)系的結(jié)構(gòu)、種屬關(guān)系的結(jié)構(gòu)、交叉關(guān)系的結(jié)構(gòu)，等等。如“認識厘米”“角的度量”等分屬于長度單位認識教學和角的單位認識教學，教學時，教師要有意識地引導學生進行比較，讓學生認識到“認識厘米”的本質(zhì)、“角的度量”的本質(zhì);引導學生經(jīng)歷創(chuàng)造“厘米尺”“量角器”等測量工具的過程，讓學生形成一種認識——所謂“測量”，就是看被測量對象中包含多少個測量單位。學生有了這種認識，就能用“包含除”這樣的一個大概念來進行數(shù)學新知的自主建構(gòu)，如“長方形的面積”就是看長方形中有多少個面積單位，“長方體體積”就是看長方體中有多少個體積單位，“物體的質(zhì)量”就是看該物體中包含有多少個質(zhì)量單位，“時間的多少”就是看時間流中包含多少個時間單位，等等。借助于“大概念”，能將相關(guān)的數(shù)學知識關(guān)聯(lián)起來。

3.用“大概念”精簡知識重點

美國著名教育家布魯納強調(diào)，學科大概念應當能將學科內(nèi)容精簡為一組命題。在數(shù)學教學中，應用“大概念”進行教學，能讓學生把握數(shù)學學科中的一組經(jīng)濟的、更具有活力的東西。如教學“稍復雜的分數(shù)乘除法應用題”這一單元內(nèi)容時，我們抽象、提煉、概括出幾個關(guān)鍵詞——“對應”“轉(zhuǎn)化”，具體而言，就是要求學生在解答稍復雜的分數(shù)乘除法應用題時，首先看一看題目中的數(shù)量和分率是否直接對應，如果不直接對應，就需要通過關(guān)鍵句的轉(zhuǎn)化，將不直接對應關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯訉P(guān)系，進而根據(jù)單位“1”的量是已知還是未知，確定用乘法還是除法。在解決問題的過程中，學生只需要抓住“大概念”，以“大概念”為依托，就能解決問題。

“大概念”不是一個簡單的詞語，從某種意義上說，它是學科知識、學生認知結(jié)構(gòu)的承載體。在數(shù)學教學中，教師要善于探尋、提取“大概念”，充分發(fā)揮“大概念”的作用、功能，促進學生展開自主性、自能性的學習。尋找“大概念”、抽取“大概念”、解讀“大概念”、應用“大概念”等將成為重塑師生教學的新原點和新樣態(tài)。

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