杜萌田

摘要：數(shù)感是人對數(shù)與運算的一般性理解，這種理解可以幫助學(xué)生用靈活的方法做出數(shù)學(xué)判斷和為解決復(fù)雜的問題選擇有用的策略。數(shù)感也可以提升學(xué)生對于數(shù)字（數(shù)量）的敏感及鑒別能力。這對學(xué)生以后的學(xué)習(xí)很有幫助。

關(guān)鍵詞：數(shù)感;“數(shù)學(xué)化”思考;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)感是我們既熟悉又陌生的一個概念，目前人們對這一概念的認(rèn)識是多元的。教育部《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中關(guān)于數(shù)感的表述是：“數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果估計等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實生活中的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系?！?/p>

一、小學(xué)生數(shù)感能力培養(yǎng)的意義

（一）有助于學(xué)生“數(shù)學(xué)化”思考

數(shù)感是一種主動地、自覺地或自動化地理解和運用數(shù)與數(shù)量關(guān)系的態(tài)度和意識，是作為主體的人對數(shù)及數(shù)量關(guān)系的感覺、知覺，也包括人對感覺、知覺到的信息的加工和處理，既有“感”也有“悟”。建立數(shù)感可以理解為會“數(shù)學(xué)化”思考，有助于學(xué)生理解現(xiàn)實生活中“數(shù)”的意義，有效地進(jìn)行計算等數(shù)學(xué)活動，理解并會表達(dá)具體情境中的數(shù)量關(guān)系?？梢哉f，數(shù)感是將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實問題建立聯(lián)系的橋梁，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中非常重要。

（二）有助于學(xué)生解決問題能力的提升

解決問題的能力是小學(xué)生的重要能力之一，具體的情境有助于學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗思考并尋找解決問題的策略與途徑。而具備一定的數(shù)感，更易從現(xiàn)實情境中找到問題，從復(fù)雜情境中提出問題，并主動與一定的數(shù)學(xué)知識和技能建立聯(lián)系，找到數(shù)學(xué)模型，合理解決問題。所以，數(shù)感的培養(yǎng)有助于學(xué)生解決問題能力的提升。

（三）有助于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升

數(shù)學(xué)素養(yǎng)是公民必備的素養(yǎng)之一。數(shù)學(xué)素養(yǎng)不只是用計算能力的高低和解決書本問題能力的大小來衡量的，學(xué)生學(xué)會“數(shù)學(xué)化”思考問題，具有解決實際問題的數(shù)學(xué)敏感性，才是具備數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。數(shù)感的培養(yǎng)能彌補(bǔ)教學(xué)中只重視知識技能訓(xùn)練而忽視能力培養(yǎng)的不足，還有利于學(xué)生創(chuàng)新精神和實踐能力的培養(yǎng)，有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的自我構(gòu)建，實現(xiàn)關(guān)鍵能力的提升。

二、基礎(chǔ)——在數(shù)概念的學(xué)習(xí)中培養(yǎng)數(shù)感

數(shù)感的建立不是一蹴而就的，需要在學(xué)習(xí)的過程中逐步體驗和建立起來。數(shù)概念的學(xué)習(xí)是培養(yǎng)數(shù)感的有效途徑，但數(shù)概念抽象難懂，其理解和掌握需要一個過程，在這個過程中，學(xué)生需要經(jīng)歷有關(guān)的情境和實例，在現(xiàn)實背景下感受和體驗，更具體深刻地把握數(shù)概念、建立數(shù)感。

（一）數(shù)出數(shù)感

“各人眼中的20”是滬教版一年級第二學(xué)期“整理與提高”中的教學(xué)內(nèi)容，通過這個內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生學(xué)會一組一組地計數(shù)，把20分拆成相同數(shù)連加的形式，并在計數(shù)中豐富對數(shù)的認(rèn)識，發(fā)展數(shù)感，同時為乘法的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備。

各人眼中的20是怎樣的？學(xué)生應(yīng)該按照自己的理解去數(shù)數(shù)，并通過交流溝通豐富對20的認(rèn)識，完善認(rèn)知，發(fā)展數(shù)感。教師的設(shè)計從認(rèn)識“各人眼中的6”開始。小胖過生日的情境揭開了學(xué)習(xí)序幕。黑板上出示了6個蛋糕，教師要求小朋友數(shù)一數(shù)有幾個，并提出用圈一圈的方式表示自己數(shù)數(shù)的方法。學(xué)生很快數(shù)出了蛋糕，并上臺交流：第一個孩子數(shù)一個圈一個，數(shù)出了6個蛋糕，教師引導(dǎo)他說：“1個1份，圈了6份，共6個1，算式是1+1+1+1+1+1+1=6。”學(xué)生數(shù)后，教師肯定她這樣圈一圈數(shù)一數(shù)，把自己的想法表達(dá)得特別清楚。于是，第二個孩子上臺清晰表達(dá)：“2個1份，圈了3份，共3個2，算式是2+2+2=6?！焙罄m(xù)上臺的同學(xué)都能用這樣的方法圈出一份、圈出同樣的幾份、得出共有幾個幾，并列出相同數(shù)連加的算式，加以清晰的表述：“3個1份，圈了2份，共2個3，算式是3+3=6。”“6個1份，只有1份，就是1個6?！?/p>

數(shù)蛋糕活動雖然看似簡單，但其實實現(xiàn)了對數(shù)認(rèn)識的突破。在數(shù)蛋糕的過程中，學(xué)生理解了幾個一份、有幾份、是幾個幾，并能用連加算式表達(dá)。結(jié)合看到的圖、思考時畫的圈，他們對6有了新的認(rèn)識：6個1、3個2、2個3、1個6;還能清楚地表達(dá)不同含義，如6個1表示每份1個蛋糕，共6份;3個2表示每份2個蛋糕，共3份…… 在圈圈、數(shù)數(shù)、說說的過程中，學(xué)生完成了6的一組一組的建構(gòu)，豐富了對6的認(rèn)識，實現(xiàn)了數(shù)感的培養(yǎng)。

（二）讀出數(shù)感

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的很多數(shù)學(xué)活動都能發(fā)展數(shù)學(xué)數(shù)感，除了數(shù)一數(shù)，讀一讀也是有效的活動之一。

例如，“幾分之一”是滬教版三年級第二學(xué)期“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”單元（一）的第一個內(nèi)容。對于三年級學(xué)生來說，分?jǐn)?shù)是一個全新的概念，無論是意義還是讀法、寫法，都與整數(shù)完全不同。如何讓學(xué)生認(rèn)識分?jǐn)?shù)？如何讓學(xué)生在讀數(shù)中體會其含義，完成對幾分之一的建構(gòu)？筆者這樣設(shè)計：先出示6個蘋果，要求分給2個小伙伴，問學(xué)生分的結(jié)果。學(xué)生借助生活經(jīng)驗，很容易得出各自蘋果的數(shù)量，并理解分的結(jié)果可以每人不同，也可以每人相同，而結(jié)果相同的分法就叫平均分。接著，筆者將2個蘋果分給2個小伙伴，問平均分的結(jié)果，學(xué)生很容易得出每人分得1個蘋果。最后，筆者再將1塊餅干平均分給2個小朋友，問每人分得多少餅干？學(xué)生有疑惑，但每人得到半塊餅干他們都能理解。此時，教師追問：這半塊餅干能不能用一個新的數(shù)來表示？個別學(xué)生說能用二分之一表示?！霸趺磳戇@個數(shù)，你能上黑板寫一寫嗎？”筆者鼓勵學(xué)生把這個數(shù)寫出來。于是，有學(xué)生寫了 ?，也有學(xué)生寫了 ? 。到底哪個才是二分之一呢？筆者沒有馬上揭曉答案，而是組織大家進(jìn)行了討論。討論后，學(xué)生大都認(rèn)同第一種表示方法，認(rèn)為這個寫法表示出把1塊餅干平均分成了2份，其中的1份就是半塊。小部分學(xué)生認(rèn)為第二種寫法中的“2”就表示平均分成2份，“1”表示其中的1份，只不過是從上往下寫而已。在學(xué)生充分討論思考后，筆者告訴他們新的數(shù)叫分?jǐn)?shù)，寫分?jǐn)?shù)的時候規(guī)定先寫分?jǐn)?shù)線（分?jǐn)?shù)中的橫線），再在分?jǐn)?shù)線的下面寫平均分的份數(shù)，在分?jǐn)?shù)線的上面寫其中的1份，并演示書寫了 ? 。這個分?jǐn)?shù)讀作“二分之一”。在中國，分?jǐn)?shù)的讀法、寫法與分?jǐn)?shù)表示的含義完全一致，所以在讀 ? ?的時候， 就等于讀出了它的含義：把一個整體平均分成2份，表示其中的1份。然后教師讓學(xué)生讀一讀 ? ?，邊讀邊體會含義。后續(xù)，筆者繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生探究，把一塊蛋糕平均分成4份、8份……，學(xué)生用 ? ， ? ……表示其中的1份。筆者讓學(xué)生大聲讀出這些分?jǐn)?shù)，在讀的時候思考每個分?jǐn)?shù)的含義。學(xué)生們邊讀、邊想、邊建構(gòu)，讀出了幾分之一的內(nèi)涵，讀出了數(shù)感！

（三）分出數(shù)感

理解數(shù)的意義是數(shù)學(xué)教育的重要任務(wù)。在義務(wù)教育階段，學(xué)生要學(xué)習(xí)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、有理數(shù)等數(shù)的概念。這些概念本身是很抽象的，需要為學(xué)生提供充分的可感知的現(xiàn)實背景，并設(shè)計有意義的探究活動，學(xué)生才能真正理解數(shù)概念。比如，小數(shù)的產(chǎn)生是為了精準(zhǔn)表達(dá)而不斷細(xì)分的需要，學(xué)生理解細(xì)分的原因和過程，就能對小數(shù)有深刻的理解，就能有效發(fā)展數(shù)感。

筆者先引入“欣欣苗圃”的情境，讓學(xué)生知道：苗圃中有待售的各種樹苗，苗木的價格與長度有關(guān)，所以出售前需要測量長度。接著，筆者出示了一根桂花樹苗（3分米），讓學(xué)生猜猜長度，并提供了一把自制米尺，說可以用來測量小樹苗的精確長度，米尺上只有0m刻度和1m刻度。看到米尺， 學(xué)生覺得無法用1米長的尺去測比1米短的小苗，此時，筆者微笑，讓大家再想想。經(jīng)過思維碰撞，學(xué)生有了靈感，說可以把1米平均分成10份，那樣每一份就是1分米，以1分米為標(biāo)準(zhǔn)就能測出小苗長度了。按照這個方法，師生把1米平均分成了10份，再去測量小苗的長度，發(fā)現(xiàn)占了其中的3份。于是，學(xué)生用不同形式表達(dá)了小苗的長度。有的用3分米表示，因為把1米平均分成10份，每份是1分米，3個1分米就是3分米;也有的用 ? ? ?米表示，因為把1米平均分成10份，1份是它的十分之一，是 ? ? ? 米，3份就是 ? ? ? 米;還有的用0.3米表示，因為以米做單位的小數(shù)，小數(shù)點左邊表示米，小數(shù)點右邊第一位表示分米。經(jīng)過討論，大家一致認(rèn)為，這棵小苗的長度既可以用整數(shù)表示，還可以用分?jǐn)?shù)、小數(shù)表示，3分米= ? ? ? 米=0.3米。

此時，利用多媒體呈現(xiàn)小苗長高了，筆者又拿出一根稍長一些的小苗，用剛才的米尺測量長度，發(fā)現(xiàn)小苗的長度在0.5米（5分米）和0.6米（6分米）之間，但不能確定精確的長度?！霸鯓硬拍苤佬∶绲拈L度呢？”筆者引導(dǎo)學(xué)生思考并在學(xué)習(xí)單上嘗試。學(xué)生很快找到了解決問題的方法：把0.5米至0.6米這段再平均分成10份，也就是把0.1米再平均分成10份，那就相當(dāng)于把1米平均分成了100份，就能知道每份是1cm，就能測出小苗長度了。這時，筆者演示把0.5米至0.6米這段平均分成10份，再引導(dǎo)生想象1米平均分成100份，最后呈現(xiàn)平均分成100份的米尺，理解每份是 ? ? ? 米，是1厘米，就是0.01米。這時再測小苗的長度，發(fā)現(xiàn)是5分米9厘米，能用0.59米表示了。在學(xué)生的驚喜中，筆者又提出新的挑戰(zhàn)：“當(dāng)小樹苗超過0.59米，不到0.60米時，怎么表示長度？”學(xué)生思考后說可以繼續(xù)細(xì)分，把每個0.01再平均分成10份，也就是把1米平均分成1000份，每份是1毫米，就是0.001米，這樣就又能精準(zhǔn)測量小樹苗的長度了。此時，學(xué)生對小數(shù)的認(rèn)識是深刻的：為了精確測得小樹苗的長度，我們不斷把1米進(jìn)行細(xì)分，從0.1米到0.01米，再到0.001米，無論小苗的長度是多少，我們都能用小數(shù)精確表達(dá)它的長度。因為需要精準(zhǔn)表達(dá)，所以我們就不斷細(xì)分，也就產(chǎn)生了小數(shù)。在不斷分出更小的度量單位的過程中，學(xué)生的數(shù)感得到培養(yǎng)。

三、鞏固——在數(shù)的運算中培養(yǎng)數(shù)感

一直以來，“數(shù)的運算”都是小學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容。在這個內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，無論是對運算方法的溝通、判斷，還是運算結(jié)果的估計等，都能有效培養(yǎng)數(shù)感。

（一）在不同運算的溝通中培養(yǎng)數(shù)感

例如，在滬教版五年級上學(xué)期的“小數(shù)的四則混合運算復(fù)習(xí)”中，筆者先是出示了這樣一組口算題（如圖1所示）：

學(xué)生運用運算性質(zhì)和運算法則很快得出了口算結(jié)果（如圖2所示）：

筆者引導(dǎo)學(xué)生觀察計算結(jié)果，學(xué)生發(fā)現(xiàn)8.7÷0.1的結(jié)果與8.7×10的結(jié)果相同，而8.7÷10與 8.7×0.1的結(jié)果也是相同的?！盀槭裁磿嗟饶兀俊苯處煹奶釂栆l(fā)了學(xué)生們的思考，經(jīng)過獨立思考與交流，他們有了自己的發(fā)現(xiàn)，并能用自己的話說明道理：

8.7÷0.1，轉(zhuǎn)化成87÷1來計算，結(jié)果是87;8.7×10，計算時把8.7的小數(shù)點向右移動一位，結(jié)果也是87。所以，一個數(shù)除以0.1相當(dāng)于這個數(shù)乘10。

8.7÷10，把8.7的小數(shù)點向左移動一位，商是0.87;而 8.7×0.1，先算87×1的結(jié)果是87，再把小數(shù)點向右移動兩位，結(jié)果也是0.87。所以，一個數(shù)除以10的結(jié)果與一個數(shù)乘0.1的結(jié)果也相同……

口算的方法雖然簡單，但是因為把乘法與除法進(jìn)行了聯(lián)系，也就對不同算法背后的算理進(jìn)行了聯(lián)系與思考，最終找到了乘法與除法結(jié)果相等的原因。此時，教師再引導(dǎo)學(xué)生寫出一些計算結(jié)果相等的乘法與除法算式，學(xué)生在猜想、驗證、歸納、發(fā)現(xiàn)中數(shù)感得到提升。

（二）在運算方法的選擇判斷中培養(yǎng)數(shù)感

數(shù)學(xué)問題的解決，有時需要精確結(jié)果，有時只需要近似數(shù)。究竟選用口算、筆算得出精確結(jié)果，還是用估算得出近似數(shù)解決問題，這與問題的所在情境有關(guān)系，也與學(xué)生的數(shù)感有直接關(guān)系。

教師應(yīng)該讓學(xué)生具備面對問題時能迅速學(xué)會判斷、學(xué)會選擇方法的能力，并用最合理的方式解決，這也是數(shù)感培養(yǎng)的有效方法之一。

（三）在估算方法的選擇中培養(yǎng)數(shù)感

有研究發(fā)現(xiàn)大部分中小學(xué)生對估算概念理解膚淺，估算能力不強(qiáng)、意識較差、經(jīng)驗有限。提高學(xué)生的估算能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感，需要教師加強(qiáng)培養(yǎng)。

以滬教版四年級下冊的“解決問題”為例，購物情境與學(xué)生生活密切相關(guān)，學(xué)生看到題目，就會聯(lián)想到實際生活中的購物。對于“帶1000元錢夠不夠”的問題，學(xué)生有兩種想法（如圖3所示）。

相同的地方是都把34看作整十?dāng)?shù)來估，結(jié)果都小于1000元，是否兩種估算方法都正確？經(jīng)過討論，學(xué)生們達(dá)成了一致意見，認(rèn)為第二種方法更合理，把34看作40估算總價，如果總價夠了，那么用原價去精確計算一定也夠。但是，如果把34當(dāng)作30去估算，那么得到的總價會比實際結(jié)果小，所以就不能確保錢一定夠。經(jīng)過討論，大家都理解了生活中遇到購物估計帶的錢是否夠的問題，可以用進(jìn)一法將物品價格估大再判斷。

學(xué)生每人都有過超市購物的經(jīng)驗，對于打折、抽獎等活動也不陌生，充分利用這些熟悉的情境設(shè)計數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生體會估算方法在生活中的普遍使用，并比較得出不同背景下估算方法的選擇，這對于學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)、運算能力的提高都有著不可替代的作用。

四、提升——在數(shù)量關(guān)系的分析中培養(yǎng)數(shù)感

在列方程解決問題中，找到等量關(guān)系是非常關(guān)鍵的，因為方程的本質(zhì)是表示一種相等關(guān)系，所以，只要能找到已知量和未知量之間的相等關(guān)系，就能列出方程求出解。這種能力對學(xué)生把握等量關(guān)系、理解方程的原理、發(fā)展代數(shù)思維、培養(yǎng)數(shù)感作用重大。

如：滬教版五年級下冊“列方程解決問題①”復(fù)習(xí)課。

教師出示例1（如圖4所示），讓學(xué)生找到等量關(guān)系后列式解答。

例1：小胖帶了80元去電影院買電影票，他一共買了5張兒童票，售票員找給他5元，兒童票多少元一張？

學(xué)生找到等量關(guān)系后列式解答，并在交流中體會找到不同的等量關(guān)系，列出的方程也就不同。這時，教師出示例1的變式題：小胖帶了80元去電影院買兒童票，已知每張兒童票15元，售票員找給他5元，小胖買了幾張兒童票？

學(xué)生把變式題與例1做了比較，很快找到了等量關(guān)系并列方程完成了解答。之后，教師引導(dǎo)學(xué)生再次比較兩題，發(fā)現(xiàn)兩題所求的問題不同，前者求單價，后者求數(shù)量，但所用的等量關(guān)系是相同的，都是“付出的錢-用去的錢=找回的錢”。

通過對例題的變式，學(xué)生深刻體會找到等量關(guān)系在列方程解決問題中的重要性，同時對方程解法中，一個等量關(guān)系能解決一類題的優(yōu)勢有了較深的體會，這種對等量關(guān)系的感悟在數(shù)感的培養(yǎng)中不可或缺。

重視數(shù)感，強(qiáng)調(diào)使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中建立數(shù)感，是基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程改革中必須重視的一個問題。在研究數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)、分析并設(shè)計數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，我們還可以做更多的努力和嘗試。

參考文獻(xiàn)：

[1]許欣然.小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)感的培養(yǎng)[J].課程教育研究，2017（26）.

（責(zé)任編輯：奚春皓）