摘?要：在處理某些立體幾何問(wèn)題時(shí)，所給出的立體幾何圖形往往是較為復(fù)雜的，某些元素相互離散，其整體性不是太強(qiáng)。此時(shí)教師可以借助補(bǔ)形思想，按照補(bǔ)形技巧去對(duì)其做出教學(xué)。結(jié)合幾何體化散為整、化難為易，在補(bǔ)形思想應(yīng)用模式下給數(shù)學(xué)課堂的立體幾何知識(shí)帶來(lái)新的教學(xué)契機(jī)。文章探討了立幾補(bǔ)形思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，并由補(bǔ)正方體、補(bǔ)長(zhǎng)方體、補(bǔ)不規(guī)則幾何體等方面展開(kāi)探討，結(jié)合傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“盈不足”思想，加強(qiáng)立幾補(bǔ)形思想的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：立體幾何;補(bǔ)形思想;應(yīng)用探討

一、 引言

補(bǔ)形法是立體幾何題解題的常用方法，所謂補(bǔ)形法，它即是教師在教學(xué)時(shí)將一個(gè)圖形往另一個(gè)圖形上移，使其面積或者體積保持不變。之后，再重新進(jìn)行拼接、得到新圖形的一類過(guò)程。補(bǔ)形法重點(diǎn)在補(bǔ)，而它也巧妙地完成了立體幾何圖形的化歸以及轉(zhuǎn)換。教師可以將某些不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，之后借助學(xué)生熟悉的方法對(duì)其做出解決。這樣一來(lái)，學(xué)生的思維也真正被教師給激發(fā)出來(lái)了，他們會(huì)自主去探索立體幾何知識(shí)的解題奧妙。

二、 立幾補(bǔ)形思想應(yīng)用意義

補(bǔ)形法就是將問(wèn)題中的非規(guī)則、非特殊圖形，通過(guò)一定的轉(zhuǎn)化。添加一定的輔助線，使其變?yōu)閷W(xué)生熟悉的圖形或者規(guī)則圖形，結(jié)合隱含條件，變化數(shù)量關(guān)系得到明確答案的一類解題方案。對(duì)于補(bǔ)形法的應(yīng)用過(guò)程來(lái)講，教師可以將原圖形進(jìn)行分析，通過(guò)適當(dāng)?shù)牧Ⅲw幾何補(bǔ)形，添以一定的輔助線，讓題目變得更加簡(jiǎn)單。學(xué)生的思維會(huì)由補(bǔ)形法變得更為敏捷，在做立體幾何題目時(shí)，學(xué)生通過(guò)認(rèn)真地觀察題目構(gòu)成將其做出補(bǔ)形，這無(wú)形之中培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力與解題技巧。對(duì)于某些立體幾何圖形而言，單憑抽象理解是無(wú)法搞懂題目解題關(guān)鍵的，但是結(jié)合補(bǔ)形法，卻可以將其轉(zhuǎn)化為較為簡(jiǎn)單的題目。結(jié)合立幾補(bǔ)形思想應(yīng)用，教師能夠真正強(qiáng)化立體幾何解題的趣味性，讓學(xué)生在分析、驗(yàn)證過(guò)程中理解立體幾何學(xué)習(xí)要點(diǎn)，擴(kuò)充自我數(shù)學(xué)思維，在題目隱含條件探尋過(guò)程中真正找準(zhǔn)立體幾何題目突破的關(guān)鍵。

三、 立幾補(bǔ)形思想應(yīng)用實(shí)例

（一）巧借補(bǔ)形思想，補(bǔ)正方體

對(duì)于高中階段的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)講，其中的某些立體幾何知識(shí)是較為深邃的，學(xué)生在理解這些立體幾何知識(shí)時(shí)也往往難以對(duì)其進(jìn)行突破。對(duì)此，教師在教學(xué)時(shí)要借助某些新的教學(xué)觀念，由整體補(bǔ)形思想去對(duì)學(xué)生做出要求。學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)將其補(bǔ)充成完整的模型，利用正方體的原有性質(zhì)將圖中有關(guān)的元素展示出來(lái)。對(duì)于很多數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)講，其中所給的條件大部分就是正四面體。教師可以將這些正四面體補(bǔ)成正方體，之后再要求學(xué)生去進(jìn)行解題?；蛘邔⒄襟w截去四角得到正四面體，按照正四面體的性質(zhì)去進(jìn)行解題。這是因?yàn)檎拿骟w的六條棱恰好是補(bǔ)形之后正方體六個(gè)面的對(duì)角線，這時(shí)在進(jìn)行解題時(shí)學(xué)生也會(huì)抓住正方體的基本性質(zhì)，對(duì)其六個(gè)面的對(duì)角線性質(zhì)進(jìn)行探討。

【例1】?已知正四面體D-A1BC1的棱長(zhǎng)為a，①求相對(duì)兩棱的距離。②求外接球半徑。③已知M、N分別是A1D和BC1的中點(diǎn)，求MN和面ACC1A1所成的角。

當(dāng)解答出前兩問(wèn)之后，學(xué)生的解題思路也一下子被教師開(kāi)闊了，他們都知道了解決正四面體題目的一些基本步驟。對(duì)于第三小問(wèn)而言，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生觀察一下線段MN和CD的關(guān)系，得出MN是平行于CD的，顯然直線CD和平面ACC1A1所成線面角大小為45°，所以MN和ACC1A1所成的角也必定為45°。

從這個(gè)題目可以看出，對(duì)于正四面體題目來(lái)講，教師如果要求學(xué)生用常規(guī)解題法對(duì)其作出思考，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)會(huì)有一定難度。這時(shí)教師可以借助割補(bǔ)法，適當(dāng)轉(zhuǎn)換一下題目中的相互條件。或者直接要求學(xué)生在補(bǔ)完圖之后觀察其實(shí)際結(jié)果，依照補(bǔ)形思想轉(zhuǎn)化為正方體相關(guān)的問(wèn)題，最終成功地完成自身解題效率的提升。

（二）巧借補(bǔ)形思想，補(bǔ)長(zhǎng)方體

除了正方體之外，長(zhǎng)方體結(jié)構(gòu)同樣也是高中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的。當(dāng)一個(gè)四面體中的三組對(duì)棱長(zhǎng)度都對(duì)應(yīng)相等時(shí)，可以把這三組對(duì)棱理解為長(zhǎng)方體的面對(duì)角線。之后按照長(zhǎng)方體的性質(zhì)，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，因?yàn)殚L(zhǎng)方體相對(duì)面的對(duì)角線是相等的。反之，如果將長(zhǎng)方體截去四個(gè)角，也可以得到三組對(duì)棱相等的四面體。

同樣，當(dāng)給出的條件中含有四面體，且四面體過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱兩兩相互垂直且不相等時(shí)，我們同樣可以把這個(gè)四面體看作是長(zhǎng)方體的一角，之后將其補(bǔ)充為長(zhǎng)方體。

【例2】?已知三棱錐P-ABC的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，Q是底面上的一點(diǎn)，Q點(diǎn)到三個(gè)面的距離分別為1、2、3，求Q點(diǎn)到頂點(diǎn)P的距離。

在此題的解題過(guò)程中，由于題目已經(jīng)給出了點(diǎn)到面的距離，并且三棱錐P-ABC的三個(gè)側(cè)面是兩兩垂直的，所以這也很容易讓人聯(lián)想到建立坐標(biāo)系，之后按照兩點(diǎn)之間的距離公式對(duì)其做出運(yùn)算。但是在解答該道題目時(shí)，教師同樣也要關(guān)注建立坐標(biāo)系和計(jì)算過(guò)程中可能會(huì)出現(xiàn)的一些障礙。將不規(guī)則圖形補(bǔ)充為長(zhǎng)方體，讓學(xué)生借助長(zhǎng)方體的對(duì)角線性質(zhì)成功解題，完成解題效率的提升。

（三）巧借補(bǔ)形思想，補(bǔ)不規(guī)則幾何體

在高中數(shù)學(xué)中，除了學(xué)生常看到的一些規(guī)則幾何體之外，也常蘊(yùn)含著一些不規(guī)則的幾何體。對(duì)于這些不規(guī)則的幾何體來(lái)講，其解題過(guò)程相對(duì)復(fù)雜，學(xué)生在解題時(shí)也很容易出現(xiàn)一些錯(cuò)誤。對(duì)此，教師也必須對(duì)不規(guī)則幾何體圖形做出特別關(guān)注。應(yīng)用補(bǔ)形思想，將其補(bǔ)形成規(guī)則幾何體，之后按照規(guī)則幾何體的性質(zhì)，再次對(duì)其進(jìn)行運(yùn)算。如此一來(lái)，解題過(guò)程都會(huì)變得較為輕便了。學(xué)生會(huì)在解題過(guò)程中依照補(bǔ)形思想去認(rèn)真觀察不規(guī)則幾何體的基本特征，之后結(jié)合這些不規(guī)則幾何體去進(jìn)行解題。

【例3】?已知三個(gè)12×12cm的正方形被連接在一起，都按連接相鄰兩邊中點(diǎn)的直線剪裁成A、B兩片（如圖1），三個(gè)正方形共剪裁為6片，然后把這6片粘在一個(gè)正六邊形的外面（如圖2），然后折成一個(gè)多面體（如圖3），求該多面體的體積。

在這道題目的解題過(guò)程中，教師將不規(guī)則的幾何題補(bǔ)充成學(xué)生容易吃透的規(guī)則幾何體。這也常是不規(guī)則幾何體與規(guī)則幾何體的連接要點(diǎn)，應(yīng)用補(bǔ)形思想去解決不規(guī)則幾何體的某些立體幾何問(wèn)題，會(huì)讓解題過(guò)程變得更加簡(jiǎn)單。

（四）巧借補(bǔ)形思想，做好聯(lián)系補(bǔ)形

某些立體幾何題目單看起來(lái)似乎毫無(wú)突破口，但是通過(guò)一定的聯(lián)系補(bǔ)形，教師卻可以將這些立體幾何圖形變?yōu)閷W(xué)生能夠認(rèn)識(shí)的基本圖形。之后在聯(lián)系圖形性質(zhì)的同時(shí)，將某些晦澀難懂的題目以簡(jiǎn)單的方式呈現(xiàn)出來(lái)。學(xué)生在逐漸解題過(guò)程中會(huì)培養(yǎng)一定的學(xué)習(xí)信心，它也完成了原有題目教學(xué)的突破。

教師在做好聯(lián)系補(bǔ)形之后應(yīng)要求學(xué)生在課下做好例題整理，將自己遇到的某些立體幾何補(bǔ)形題目做出歸納，完成解題過(guò)程的簡(jiǎn)單化。

四、 結(jié)語(yǔ)

一些困難的立體圖形往往是另一個(gè)更完整立體圖形的一部分，如何將其恢復(fù)原狀就顯得十分重要。在立幾補(bǔ)形思想應(yīng)用模式下，教師需關(guān)注圖形的化歸整理關(guān)系，結(jié)合學(xué)生經(jīng)常遇到的一些立體幾何題目，借助補(bǔ)形思想，轉(zhuǎn)化為正方體、長(zhǎng)方體、規(guī)則幾何體中的應(yīng)用，將原本復(fù)雜的圖形變得更加簡(jiǎn)單，結(jié)合某些隱藏條件讓學(xué)生開(kāi)闊自我視野。學(xué)生會(huì)在補(bǔ)形思想應(yīng)用模式下尋找到立體幾何題更加簡(jiǎn)單的解題模式，這對(duì)于解決立體幾何題目來(lái)說(shuō)是十分重要的。

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作者簡(jiǎn)介：

郭揚(yáng)文，浙江省金華市，東陽(yáng)市第二高級(jí)中學(xué)。