福建省福清第一中學(xué)(350300) 余小萍

福清市教師進(jìn)修學(xué)校(350300) 李云杰

1 引言

2019年11月26日,由福建省普通教育教學(xué)研究室主辦,晉江一中承辦的2019年福建省高中數(shù)學(xué)學(xué)科優(yōu)質(zhì)課評(píng)審活動(dòng)中,筆者開設(shè)“函數(shù)的概念”獲評(píng)福建省優(yōu)質(zhì)課.

2 “函數(shù)的概念”內(nèi)容解析

“函數(shù)的概念”位于《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(必修)數(shù)學(xué)①(A版)》第一章第二節(jié),是函數(shù)的初始課.函數(shù)是描述變量與變量之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)語言和工具,是連接兩類對(duì)象的橋梁,他反映兩個(gè)數(shù)集之間的關(guān)系.本節(jié)課,其主要學(xué)習(xí)任務(wù)有:函數(shù)概念學(xué)習(xí)的必要性與要求;感悟兩個(gè)數(shù)集之間所存在的對(duì)應(yīng)關(guān)系;體會(huì)用集合與對(duì)應(yīng)的語言刻畫這種關(guān)系;引入抽象符號(hào)f(x);何為定義域、值域;概念的簡(jiǎn)單應(yīng)用.教學(xué)重點(diǎn)是體會(huì)函數(shù)是描述變量間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型,正確理解函數(shù)的概念.教學(xué)難點(diǎn)是函數(shù)的概念及符號(hào)y=f(x)的理解.

筆者梳理了幾種常見的課堂處理方式:

其一,先補(bǔ)充映射概念,再引出函數(shù)概念.映射是函數(shù)的上位概念,比函數(shù)概念更加抽象,而且不同于學(xué)生在初中已經(jīng)接觸過的函數(shù)概念,映射概念對(duì)學(xué)生來說是一個(gè)全新的內(nèi)容,這樣處理不吻合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展,人為地增大學(xué)習(xí)理解難度.

其二,認(rèn)為初中的函數(shù)概念“變量說”僅僅指兩變量間的解析式關(guān)系,舉一些表示法為圖像法和列表法的函數(shù)例子說明需要進(jìn)一步調(diào)整概念,引出函數(shù)概念“對(duì)應(yīng)說”.然而,學(xué)生在初中“變量說”時(shí)已接觸過函數(shù)的三種表示法:解析法、圖像法和列表法.教師對(duì)學(xué)情了解不夠出現(xiàn)設(shè)計(jì)缺陷.

其三,認(rèn)為初高中函數(shù)概念并無太大不同,照本宣科,直接把概念強(qiáng)加給學(xué)生,強(qiáng)調(diào)幾個(gè)注意點(diǎn)后立即進(jìn)入習(xí)題操練.這是當(dāng)前概念課教學(xué)的常見模式,過度關(guān)注概念的應(yīng)用,忽略概念生成過程性、整體性和思想性.學(xué)生對(duì)函數(shù)概念理解停留在淺表層面,習(xí)題操練中只能生搬硬套概念,是機(jī)械化的模仿訓(xùn)練.

在課程改革的今天,學(xué)習(xí)應(yīng)該是學(xué)習(xí)者在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上,將新的知識(shí)表征與舊的知識(shí)表征相互融合,從而改變舊認(rèn)知,發(fā)展和重建新的知識(shí)結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)注重揭示知識(shí)的抽象過程,關(guān)注情境創(chuàng)設(shè),讓學(xué)生從具體、貼近生活的現(xiàn)實(shí)模型,抽象概括出新的感性認(rèn)知.這種新的感性認(rèn)知在數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)下,經(jīng)過學(xué)習(xí)者的操作、確認(rèn)、反思,形式表述簡(jiǎn)潔化、符號(hào)化,進(jìn)而形成元認(rèn)知,達(dá)到多方位感悟的一個(gè)數(shù)學(xué)概念.這樣學(xué)習(xí)者積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),才能更好地培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),也更符合學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)的教育原理.

3 APOS理論

以美國(guó)數(shù)學(xué)教育家杜賓斯基(Dubinsky)為代表的研究者們提出的APOS理論,有四個(gè)階段活動(dòng)階段(Action)、過程階段(Process)、對(duì)象階段(Object)和圖式階段(Scheme).

4 項(xiàng)目化學(xué)習(xí)

項(xiàng)目化學(xué)習(xí)既是一種學(xué)習(xí)方式,也是一種課程設(shè)計(jì)方法[1].

5 “函數(shù)的概念”學(xué)情分析

5.1 認(rèn)知基礎(chǔ)分析

高一學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)了函數(shù)概念的“變量說”;學(xué)生的函數(shù)知識(shí)儲(chǔ)備有正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等模型,并能借助他們的圖象,分析簡(jiǎn)單的函數(shù)性質(zhì);還能用這些函數(shù)模型解決部分簡(jiǎn)單實(shí)際問題;學(xué)生初中階段的函數(shù)知識(shí)還沒出現(xiàn)抽象符號(hào)f(x);也沒出現(xiàn)定義域、值域等名稱.

5.2 學(xué)習(xí)障礙分析

基于上述的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ),在函數(shù)的概念“對(duì)應(yīng)說”抽象概括過程中,學(xué)生在以下幾種情況可能會(huì)出現(xiàn)障礙:

1.初中時(shí)候?qū)W生接觸的函數(shù)大多是用解析式表示的,學(xué)生對(duì)表格、圖象等圖表表述的函數(shù),說不出他們的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”,會(huì)判定這些用圖表表述的函數(shù)為不是函數(shù).因此在高中階段教授函數(shù)概念時(shí),要重視幫助學(xué)生認(rèn)知這種“對(duì)應(yīng)關(guān)系”,要重點(diǎn)關(guān)注“圖象、表格表示的對(duì)應(yīng)關(guān)系是什么”的教學(xué).

2.初中的學(xué)習(xí)習(xí)慣使學(xué)生解題時(shí)常常對(duì)定義域不加注意和研究.初中時(shí)候?qū)W生經(jīng)常接觸“要使函數(shù)有意義”的定義字眼,而高中階段是正面問函數(shù)的定義域.因?yàn)槌踔袝r(shí)候的函數(shù)定義是將變量的“取值范圍”隱含在兩個(gè)變量是“在一個(gè)變化過程中”.

3.學(xué)生對(duì)抽象符號(hào)的理解.

6 基于APOS理論的“函數(shù)的概念”教學(xué)設(shè)計(jì)

案例1

問題:請(qǐng)根據(jù)初中的函數(shù)定義判斷y=1(x∈?)是否是函數(shù)?

情境1某“復(fù)興號(hào)”高速列車加速到350km/h后保持勻速運(yùn)行半小時(shí).這段時(shí)間內(nèi)列車行進(jìn)的路程S(單位:km)與運(yùn)行時(shí)間t(單位:h)的關(guān)系可以表示為:S=350t

(1)路程S與運(yùn)行時(shí)間t是函數(shù)關(guān)系嗎?

(2)依據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系S=350t,當(dāng)這趟列車加速到350km/h后,它運(yùn)行1h就前進(jìn)了350km.你覺得這個(gè)說法正確嗎?

追問:①運(yùn)行時(shí)間的變化范圍(數(shù)集A1)是什么?路程S的變化范圍(數(shù)集B1)是什么?

②數(shù)集A1與數(shù)集B1之間有怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系呢?

情境2艾賓浩斯記憶遺忘曲線是德國(guó)心理學(xué)家艾賓浩斯(H.Ebbinghaus)的研究成果,他發(fā)現(xiàn)遺忘在學(xué)習(xí)之后立即開始,而且遺忘的進(jìn)程并不是均勻的.最初遺忘速度很快,以后逐漸緩慢.他用無意義音節(jié)(由若干音節(jié)字母組成、能夠讀出、但無內(nèi)容意義即不是詞的音節(jié))作記憶材料,用節(jié)省法計(jì)算保持和遺忘的數(shù)量.并根據(jù)他的實(shí)驗(yàn)結(jié)果繪成描述遺忘進(jìn)程的曲線,下圖是0～31天的記憶遺忘曲線圖.

圖1 0～31天的記憶遺忘曲線

圖2 艾賓浩斯(H.Ebbinghaus)

(1)如何根據(jù)該圖確定0～31天中任一時(shí)刻t(單位:天)的記憶數(shù)量S?你認(rèn)為這里的記憶數(shù)量S是t的函數(shù)嗎?

追問:①你怎么判斷他是函數(shù)關(guān)系呢?

②能畫出圖的一定是函數(shù)關(guān)系嗎?那下圖是函數(shù)關(guān)系嗎?

③你是怎么想的?

④那怎樣的對(duì)應(yīng)才是函數(shù)呢?

(2)t的變化范圍(數(shù)集A2)是什么?記憶的數(shù)量S都在什么范圍內(nèi)(數(shù)集B2)?

(3)數(shù)集A2與數(shù)集B2之間有怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系呢?

情境3某校組織高一新生軍訓(xùn),參加即得1學(xué)分G,已知高一年級(jí)一班有40名學(xué)生,座號(hào)m分別為1～40,全部參加軍訓(xùn),下表是每人獲得學(xué)分的情況.

表1 高一新生軍訓(xùn)學(xué)分獲得表

按上表給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系,學(xué)分G是座號(hào)m的函數(shù)嗎?如果是,你會(huì)用怎樣的語言來刻畫這個(gè)函數(shù)?

設(shè)計(jì)理由數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué),理解數(shù)學(xué)概念需要活動(dòng)或操作.三個(gè)情境及其相關(guān)問題組成建構(gòu)的“活動(dòng)階段”.先是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)初中函數(shù)概念“變量說”對(duì)某些問題無法解決,束手無策,產(chǎn)生認(rèn)知沖突,造成學(xué)習(xí)新知的需求,推動(dòng)學(xué)習(xí)發(fā)展,體會(huì)學(xué)習(xí)“對(duì)應(yīng)說”函數(shù)概念的必要性.再創(chuàng)設(shè)三個(gè)情境,貼合學(xué)生生活實(shí)際,蘊(yùn)含函數(shù)的本質(zhì)特征,讓學(xué)生體驗(yàn)集合論、對(duì)應(yīng)觀點(diǎn)下函數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景,并以具體的問題及追問形式表現(xiàn)出來,強(qiáng)化范圍意識(shí)和對(duì)應(yīng)關(guān)系.此活動(dòng)階段通過函數(shù)概念的多元外在表征,對(duì)比啟發(fā),學(xué)生在認(rèn)知沖突中埋下學(xué)習(xí)高中函數(shù)概念伏筆,其實(shí)這種初步認(rèn)識(shí)對(duì)順利推進(jìn)高中函數(shù)概念學(xué)習(xí)做了充分準(zhǔn)備.學(xué)生在活動(dòng)過程中理解并接受函數(shù)概念的要素.活動(dòng)階段的學(xué)習(xí)實(shí)質(zhì)上是使數(shù)學(xué)概念過程化,是為概念形成作準(zhǔn)備.

案例2

請(qǐng)同學(xué)們對(duì)以下問題在小組內(nèi)展開討論.(教師逐個(gè)給出問題,在巡視過程中應(yīng)關(guān)注各組的討論情況,適時(shí)選一些小組代表發(fā)言展示各個(gè)問題的討論成果.)

問題1:你能說出以上情境1～情境3中的函數(shù),具有哪些共同特征?

問題2:根據(jù)你的學(xué)習(xí)體會(huì),你能概括出函數(shù)概念的本質(zhì)特征嗎?

問題3:除解析式、表格、圖象外,還有其他表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法.數(shù)學(xué)有和諧簡(jiǎn)潔美,同學(xué)們能否統(tǒng)一表示對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎?

設(shè)計(jì)理由以問題串引領(lǐng)學(xué)生思維,在生生、師生的探索互動(dòng)中組成建構(gòu)的“過程階段”.經(jīng)過了活動(dòng)階段后,學(xué)生在小組討論中通過觀察、分析、比較和抽象,歸納出情境1～情境3中函數(shù)的共同特征,并把這些共同特征與初中已有的函數(shù)定義進(jìn)行整合,將整合結(jié)果推廣到一般情況,在教師的引導(dǎo)幫助下學(xué)會(huì)用抽象的符號(hào)語言將函數(shù)表示出來,形成函數(shù)概念.在這個(gè)過程中教師要特別關(guān)注學(xué)生對(duì)抽象符號(hào)f(x)的理解,學(xué)生容易把f當(dāng)成和x類似的量,將f(x)理解為f與x的某種運(yùn)算,形成錯(cuò)誤的心理表征,影響函數(shù)概念的正確形成.過程階段主要是對(duì)活動(dòng)進(jìn)行思考,通過分析、比較、歸納和反思,經(jīng)歷思維的內(nèi)化、壓縮過程,形成豐富的函數(shù)心理表象,抽象出函數(shù)概念特有的性質(zhì),理解概念中要素的意義.

案例3

問題4:你覺得該如何定義函數(shù)呢?

問題5:學(xué)習(xí)了高中函數(shù)概念后,你覺得y=1(x∈?)是否是函數(shù)?為什么?

問題6:情境3中的函數(shù)值y也等于1,問題5與情境3中的函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)嗎?

例1.已知函數(shù)f(x)=

(1)求函數(shù)的定義域;

(2)求f(-3),,f[f(1)]的值;

(3)當(dāng)a＞0時(shí),求f(a),f(a-1)的值.

(2)f(-3)=由故f[f(1)]=

(3)當(dāng)a＞0時(shí),a-1＞-1,符合f(x)的定義域,則f(a-1)=

例2.下列函數(shù)中,哪一組的兩個(gè)函數(shù)是相等的?

(1)f(x)=與g(x)=x.

(2)f(x)=與g(x)=

(3)f(x)=|x|,x∈[-1,1]與g(t)=

(4)f(x)=|x|,x∈{-1,0,1}與g(x)=x2,x∈{-1,0,1}.

解析:(1)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≥0},g(x)的定義域?yàn)镽,故f(x)與g(x)不相等;

(2)f(x)的定義域?yàn)镽,g(x)的定義域?yàn)镽,化簡(jiǎn)得f(x)=x,g(x)=|x|,對(duì)應(yīng)關(guān)系不同,故f(x)與g(x)不相等;

(3)f(x)與g(t)的定義域相同,化簡(jiǎn)得g(t)=|t|,對(duì)應(yīng)關(guān)系相同,故f(x)與g(x)相等;

(4)f(x)與g(t)的定義域相同,列表

?

?

對(duì)應(yīng)關(guān)系相同,故f(x)與g(x)相等.

設(shè)計(jì)理由將函數(shù)的本質(zhì)屬性精致化,得出函數(shù)概念,并進(jìn)行概念應(yīng)用,是建構(gòu)的“對(duì)象階段”.掌握函數(shù)概念后,對(duì)函數(shù)的活動(dòng)應(yīng)當(dāng)脫離相對(duì)具體的情境,上升為易于把握本質(zhì)的抽象對(duì)象.例1使學(xué)生更好地理解函數(shù)符號(hào)表達(dá)式的意義及復(fù)合函數(shù)的本質(zhì);例2(1)(2)(3)強(qiáng)化學(xué)生對(duì)函數(shù)概念要素的理解;例2(4)看似兩個(gè)函數(shù)的解析式不同,實(shí)則對(duì)應(yīng)關(guān)系相同,加深學(xué)生對(duì)函數(shù)概念對(duì)應(yīng)本質(zhì)的理解.隨著對(duì)函數(shù)概念理解的不斷深入,學(xué)生不斷豐富和完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的函數(shù)概念,將概念作為整個(gè)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的一個(gè)節(jié)點(diǎn).

案例4項(xiàng)目化任務(wù)單

設(shè)計(jì)理由“圖式階段”是“活動(dòng)”、“過程”、“對(duì)象”三個(gè)階段構(gòu)成的認(rèn)知結(jié)構(gòu).“圖式階段”的學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者循序漸進(jìn)、不斷深化、內(nèi)化頓悟的過程,隨著知識(shí)的積累,要讓函數(shù)概念與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的其它節(jié)點(diǎn)逐漸建立起聯(lián)系,形成網(wǎng)絡(luò),以一種綜合的心理圖式存在于腦海里.

項(xiàng)目化學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者的真實(shí)情境、同伴合作完成、展示成果導(dǎo)向及師生評(píng)價(jià)跟進(jìn).“做一做”突出函數(shù)概念要素與函數(shù)圖像的聯(lián)系;“寫一寫”考查學(xué)生能否將函數(shù)概念與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相關(guān)的知識(shí)聯(lián)系,設(shè)計(jì)函數(shù)關(guān)系,并在學(xué)習(xí)的過程中讓學(xué)生來參與評(píng)價(jià),增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性;函數(shù)是現(xiàn)實(shí)世界中刻畫運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的重要模型,“試一試”找尋函數(shù)與客觀世界的聯(lián)系;“說一說”使學(xué)生聯(lián)系初高中函數(shù)概念,對(duì)原有函數(shù)的認(rèn)知進(jìn)行調(diào)整,將初中建立的函數(shù)圖式納入到更高級(jí)的高中函數(shù)圖式中;“查一查”讓學(xué)生了解函數(shù)概念的發(fā)展歷程,進(jìn)一步完善高中函數(shù)圖式;“談一談”總結(jié)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)學(xué)習(xí)體會(huì),培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

函數(shù)是貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程的一個(gè)基本脈絡(luò).對(duì)“函數(shù)”這個(gè)范疇,可有如下圖式表征形式:函數(shù)的上位概念:映射;函數(shù)的組成部分:對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域、值域;函數(shù)的表象:圖像;函數(shù)的性質(zhì):單調(diào)性、奇偶性、周期性,……;函數(shù)的下位概念:冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù),…….學(xué)生對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)不是也不可能一步到位,只有經(jīng)歷一定的知識(shí)和時(shí)間的積累,才能在循環(huán)往復(fù)、螺旋上升中達(dá)成對(duì)函數(shù)的整體理解,形成高層次的圖式表征.