廣東省珠海市紫荊中學(519000) 曾飛鵬

思維導圖特有的簡潔、思維可視化特征,吸引了眾多數學教師在教學中加以應用.但是在應用過程中,不少教師將思維導圖簡單地等同于知識框圖,僅限于將思維導圖應用于對知識加以梳理,而沒有充分發(fā)揮思維導圖的作用.實際上,思維導圖這個名詞的關鍵詞在“思維”兩字.它不僅可以幫助梳理知識,還可以通過圖式模擬人的思維過程,從而使無形的思維過程形象化,達到加強人的思維能力的目的.所以在日常數學教學中,我們要用好思維導圖,必須先清楚地認識到思維導圖能在哪些地方用,為什么要用,怎么用等問題.本文依據布魯姆教育目標分類學,嘗試將數學思維導圖分類,并以舉例的方式說明各類思維導圖的應用.布魯姆將教育目標從認知維度分為記憶、理解、運用、分析、評價和創(chuàng)造六個方面[1].相應地用以達到記憶和理解目標的思維導圖我們歸結為“記憶理解型思維導圖”;用以達到運用和分析目標的思維導圖我們稱為“運用分析型思維導圖”;通過思維導圖捕捉和表達發(fā)散性思維,從而達到評價和創(chuàng)造目的的思維導圖稱為“評價創(chuàng)造型思維導圖”.

1 記憶理解型思維導圖

一場“新冠”肺炎顛覆了傳統(tǒng)的教育教學的模式,信息化的、以學生為中心的、開放式的教學模式正在形成.面對多元的教學媒體、教學資源,學生不僅要掌握知識和技能,還要學會有條理地管理好自己的知識.相應的,教師需要改變傳統(tǒng)的以知識傳授為主教學觀念,要變“授人以魚”為“授人以漁”,日常教學中,要有意識地教學生掌握知識的方法與技巧.學生可能在微課、導學案、課堂等多種渠道獲得大量的信息:概念、解題模型、解題方法、重難點的理解等.如果不對這些知識技能加以整理和反思,將會理解不透、混亂且快速遺忘.記憶理解型思維導圖獨有的特性能為解決這類問題提供可能.主要體現在以下兩個方面:

1.1 繪制的過程加深記憶與理解

學生在繪制記憶理解型思維導圖時,首先要從記憶中提取相關知識,在經過手腦并用的過程中,記憶被強化.其次,思維導圖以圖示的方式,以一個中心詞發(fā)散,各個分支以簡短的詞語或圖形加以表述,每個分支并不是照抄概念或題型原文,而是盡最大努力使語言精簡,這就要求學生用與原文不一樣的方式描述,需要將信息從一種形式轉變?yōu)槠渌问?如基本概念可以用數學語言、圖、分類、比較或通過舉一些例子來加以描述.在此過程,學生對概念的構建或解題方法技能的理解將達到新的高度.再次,思維導圖的繪制并不是一蹴而就的,一張豐富的思維導圖往往會經歷以下幾個階段:在課前自主學習階段,將零散的雜亂的知識點、方法用思維導圖整理出來;在課中通過進一步學習,對相應的內容有了進一步的認識后,對課前所做思維導圖作適時補充或者修改;在課后,通過小組研究進一步完善思維導圖.在小組研究的過程中,學生要思考、表達甚至或者教授給其它同學,按照美國緬因州國家訓練實驗室提出的學習金字塔理論,這種主動學習的知識留存率高、理解透徹.

1.2 導圖的結構加強記憶與理解

傳統(tǒng)的筆記呈線性排列,而人的思維是多面的、發(fā)散性的.思維導圖模擬人的思維過程,本質上,思維導圖是在重復和模仿發(fā)散性思維,這反過來又放大了大腦的本能,讓大腦更加有力[2].學生繪制思維導圖的過程,即是一個將大腦的思維過程形象化的過程.通過繪制思維導圖,既加強了大腦的思維能力,又將知識的脈絡梳理清楚,從而加深對知識技能的記憶與理解.其次,記憶理解型思維導圖可以作為一項必不可少的作業(yè),呈現在作業(yè)本或筆記本的回憶欄中,其獨特的圖形結構,豐富的表現形式,構成對感官特有的吸引力,有助于復習階段的知識再現.

圖1 二次根式的概念

圖1是學生在學習完二次根式第一課時后所做的記憶理解思維導圖,對于定義的要點既有用不同于二次根式定義本身的語言來解釋,又有舉例子的方法從反面來說明.對于解題模型的總結既有明確的分類,又有簡潔明了的題型特征描述及方法總結.課后作出這樣一張思維導圖,有助于提高知識留存率,跳出題海,升華知識技能.

2 運用分析型思維導圖

在解決綜合題,特別是幾何綜合題時,有些學生往往在老師講解時能聽懂,但遇到新的問題卻找不到思路.出現這種情況的根本原因是沒有形成良好的分析問題和解決問題的習慣.遇到綜合問題,首先要研究目標,依據解題經驗判斷:解決該類問題有哪些可行的途徑或基本模型?再根據題目條件選擇恰當的解題策略,這即為認知維度的應用與分析.而在應用與分析的過程中,最困難的莫過于在條件與目標之間尋找恰當的通路.為了使這條通路更顯性化,我們可以借助思維導圖來助力分析問題和解決問題.繪制運用分析型思維導圖大致有如下幾個關鍵步驟:

2.1 基于目標的程序提取

所謂程序,在數學解題中指的是解題的方法或模型.如:幾何中求最值問題,常見的解題方法即幾何最值法、函數最值法.而在幾何最值法中常見的模型有兩定點型(利用“兩點之間,線段最短”解決)、一定點定線型(利用“垂線段最短”解決)、運動軌跡分析性(通過幾何直觀解決),函數最值法也可能建立各種不同的函數模型.在這一步驟的思維導圖作用在于為條件整合建立可視的方向,避免分析條件的盲目性與無序性,為解決綜合問題打下基礎.

2.2 基于條件的整合運用

面對目標解決的諸多方法與模型,解題者需要面臨如何選擇方法與模型的問題.首先,要區(qū)別哪些條件與相應的方法或模型是相關的.然后,將相關的條件組織起來,以達到能利用上述模型或方法求解的目的.這一步驟是解題的關鍵步驟,思維導圖也在此起到了“導”思維的作用.

以一個等積式的證明為例:在ΔABC中,AD為頂角A的角平分線交底邊于D,求證:BD·AC=AB·CD.

3 評價創(chuàng)造型思維導圖

本題的解題思維導圖如圖2,基于目標“BD·AC=AB·CD”,依據解題經驗,我們有相似法與面積法兩種基本解題方法.而如何構造相似,及如何運用面積法?這就需要基于條件“AD為頂角A的角平分線”加以發(fā)散.目標與條件的發(fā)散是雜亂的,它們之間的聯(lián)系是無形的,而思維導圖起到了有效梳理這兩者的發(fā)散,及將兩者之間的連系顯性化的作用,使得解題思路明晰,方法多樣.

圖2 等積式的證明

波利亞指出“拿一個有意義而又不復雜的題目去幫助學生發(fā)掘問題的各個方面,使得通過這道題目就好像通過一道門戶,把學生引入一個完整的領域.”我們常要求學生做一題會一片,但我們很少有人教學生怎樣才能達到這種效果.所謂做一題會一片,實際上就是要求用最少的例題或習題,通過一定的程式,去發(fā)掘該問題的方方面面.從數學思維的維度來看,通過發(fā)散思維,創(chuàng)造性地挖掘題目的內涵外延,屬于高階思維范疇.以幾何問題為例,在教學過程中,教師可引導學生按照如圖3所示的思維導圖對問題加以剖析.

按照這個模式,我們從教材一道習題出發(fā),運用思維導圖引導學生通過自主探索或合作交流,通過層層深入探究,逐步揭示本質、從不同角度縱橫溝通,發(fā)散問題,將問題合理演化、適度拓展,在此過程中培養(yǎng)學生思維的靈活性、廣闊性和創(chuàng)造性.

圖3 幾何問題的發(fā)散模式

圖4 習題

例:(人教版習題24.2第14題改編)如圖4,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點,AD和過C點的切線互相垂直,垂足為D,求證:AC平分∠DAB.(AD交⊙O于點E,直線DC與直線AB交與點P)

如圖5,在本題研討過程中,對原命題的條件結論位置互換,得到兩組命題“CD為切線,AC平分∠DAB→AD⊥CD”,“AD⊥CD,AC平分∠DAB→CD為切線”再對其加以驗證,通過觀察、測量、猜想得到形如“弧EC=弧BC”等一系列結論,并運用不同的方法加以證明.這個過程即為數學發(fā)現的重要途徑.而在對圖形加以變形的過程中又培養(yǎng)了學生的求異思維,在將題型由證明變?yōu)橛嬎愫?既可以積累解題經驗,站在命題人的角度思考問題,又可以利用已得的結論優(yōu)化解題過程.另外,利用思維導圖去創(chuàng)造發(fā)掘是可持續(xù)的,在教學過程中,還可以繼續(xù)補充完善形如圖5的思維導圖.

圖5 幾何習題發(fā)散示例

總而言之,對數學教學中的思維導圖加以分類研究及應用,有助于我們在教學過程中目標明確,運用得法.比如教師運用記憶理解型思維導圖最好放在復習課,特別是畢業(yè)年級的總復習階段,為了防止出現教師照本(復習資料)宣科,學生昏昏欲睡的課堂場景,不妨通過PPT制作思維導圖,詳略得當地梳理知識點及解題方法.學生運用記憶理解型思維導圖最好是放在課后作業(yè)的最后一環(huán)節(jié),這樣做的目的是既起到重現知識的作用,又可以及時總結解題經驗和解題方法.而運用分析型思維導圖主要用于解題教學之前的解題分析,這類思維導圖最為關鍵的作用在于將目標與條件的發(fā)散顯性化并建立線性聯(lián)系,對于幫助學生打通思路,訓練學生一題多解習慣與能力有不可替代的作用.評價創(chuàng)造型思維導圖既可以幫助教師發(fā)掘經典問題,為命題提供素材,又可以增強教與學的趣味性,還可以培養(yǎng)學生一題多變的習慣,達到能舉一反三的能力.