江蘇省蘇州市吳中區(qū)碧波中學(215128) 王 春

教材是教師上課之本,學生認知之本.習題是教材重要組成部分,它承擔著對基礎知識、基本思想、基本方法的鞏固與訓練.因此教師要重視對教材習題的歸納、變式、拓展和引申,提升和挖掘其潛在功能.這樣可以切實減輕學生解題訓練量,而達到事半功倍的效果.事實上,不少考題就是教材例題、習題的變式、拓展和引申,習題因探究而精彩.

1 問題呈現(xiàn)

問題1(蘇科版七下第166頁)如圖1,在五角星形ABCDE中,∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和等于多少度?請加以證明.

解析1:若此題為選擇或填空題,則可轉化為正五角星形.問題等價求∠A,在等腰ΔAPQ中,即求∠APQ,因∠APQ是正五邊形外角,利用多邊形外角和為360°,所以∠APQ=360°÷5=72°,因此∠A=36°,故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.

解析2:由解析1結論特征,問題1可轉化為三角形內(nèi)角和問題.利用∠APQ是ΔPBD的一個外角,所以∠APQ=∠B+∠D;同理∠AQP=∠C+∠E,利用三角形內(nèi)角和定理易得結論.此解析利用解析1結論特征,把五角星形五角和問題轉化為ΔAPQ內(nèi)角和問題.

著名數(shù)學家華羅庚認為:善于“退”,一直“退”到原始而不失重要性的地方,是學習數(shù)學的一個重要訣竅.特殊性寓于普遍性之中,通過具體分析,往往能獲得解題的重要信息,達到縮減思維過程,降低推算難度目的.因此在選擇或填空等客觀問題中,注意特殊化思想的使用.

2 歸納結論

問題2(蘇科版七下第154頁例2)如圖2,AC、BD相交于點O,求證:∠A+∠B=∠C+∠D.

在ΔAOB和ΔCOD中,∠AOC分別是ΔAOB與ΔCOD外角,由三角形內(nèi)角和定理推論,易得結論.此時稱這兩個ΔAOB與ΔCOD為對頂三角形.

對頂三角形性質如圖2,在ΔAOB和ΔCOD中,若∠AOB和∠COD是對頂角,則∠A+∠B=∠C+∠D.

問題3(蘇科版七下第166頁)畫∠A,在∠A的兩邊上分別取點B、C,在∠A的內(nèi)部取一點P,連接PB、PC.探索∠BPC與∠A、∠ABP、∠ACP之間的數(shù)量關系,并證明你的結論.

問題分三種情況:①若點P在ΔABC外部,由四邊形內(nèi)角和定理有∠BPC=360°-(∠A+∠ABP+∠ACP);②若點P在ΔABC邊BC上,由三角形內(nèi)角和定理,易得∠BPC=360°-(∠A+∠ABP+∠ACP)或∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP;③若P在ΔABC內(nèi)部,如圖3,連接AP并延長,由三角形內(nèi)角和定理推論有:∠3=∠1+∠ABP,∠4=∠2+∠ACP,故∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP.

凹四邊形性質如圖3,在凹四邊形BACP中,則∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP.(凹四邊形凹角等于其它三角之和).

在數(shù)學中,我們常從較特殊問題開始,再認識問題一般性質.一般化能把研究問題推廣到更大范圍的性質.許多幾何問題中存在對頂三角形、凹四邊形,此時若能利用對頂三角形、凹四邊形性質,往往可使繁雜問題得到更簡明快捷的解決.

3 問題再探究

解析3:如圖1,圖中存在凹四邊形ACMD,利用凹四邊形性質,則∠A+∠C+∠D=∠CMD,易得結論.

解析4:如圖1,連接CD,圖中存在對頂三角形:ΔBEM和ΔCDM,利用對頂三角形性質,則∠B+∠E=∠MCD+∠MDC,易得結論.

轉化與化歸思想是貫穿整個中學數(shù)學的核心思想方法之一,在解決數(shù)學問題時,常常會遇到一些問題直接求解較為困難,通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程,選擇運用恰當?shù)姆椒ㄟM行變換,將原問題轉化為一個新問題,通過新問題的求解,從而達到解決原問題的目的.著名數(shù)學家莫斯科大學教授C.A雅潔卡婭在一次向數(shù)學奧林匹克參賽者發(fā)表題為“什么叫解題”的演講指出:“解題就是把要解的題轉化為已經(jīng)解決過的題.”因此在教學中要把這種思想方法融入進去,讓學生體會其中的精髓.

4 問題引申

問題4如圖4.1-4.3,對于任意的退化五角星形圖形,這一結論仍成立嗎?如果成立或者不成立,請說明理由.

解析5:圖4.1、4.2利用問題1的解析2均可把五角星形圖的五角和均可轉化為ΔDMQ內(nèi)角和問題,圖4.3可延長CE交AD于Q,也可轉化為ΔDMQ內(nèi)角和問題.

解析6:連接CD,如圖4.4-4.6,由對頂三角形性質,把∠B+∠E轉化到ΔACD內(nèi),利用三角形內(nèi)角和定理解決.

解析7:利用凹四邊形性質有:∠A+∠C+∠D=∠MD,五角和轉化為ΔBEM內(nèi)角和問題.

解析8:如圖4.4、4.5延長DB至B1,連接B1E;圖4.6延長DB、CE至圖形外,作B1E1//BE,交DB、CE延長線分別于B1、E1,從而均可轉化為問題1.

五角星形性質在任意五角星形中,五角星形的五角之和為180°.

問題5若對圖5.1星形截去一角,得圖5.2,再對圖5.2角進一步截去,得圖5.3,則圖5.3的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N=____度.(合肥校級自主招生)

如圖5.4,利用五角星形性質,其內(nèi)角和為180°,連接AD,可把所求角和轉化為三角形與五角星形內(nèi)角和,即180°×2=360°;以此類推,如圖5.5內(nèi)角和轉化為一個五角星形與五個三角形內(nèi)角和,即180°×6=1080°.

5 思考

數(shù)學教材是試題的根本源泉,是各類考試命題的主要依據(jù),許多試題的產(chǎn)生都是在教材的基礎上組合,加工,發(fā)展的結果,每年的中考、競賽試題總有不少試題來源于教材.因此平時教學工作中,我們要挖掘教材,不能認為教材習題難度不夠或者沒有新意等原因,一味地在課外資料中選題.因此平時復習要將回歸教材落到實處,教材是教師備課、上課之本,也是學生學習之本,抓住了教材也就抓住了考試命題的方向.

數(shù)學教材是思想方法的集散地,本文中列舉教材中的問題,主要運用到的數(shù)學思想方法有:特殊與一般、分類討論、轉化與化歸等.數(shù)學思想方法對于數(shù)學學習有何作用?眾所周知,人的行為源于思想意識,思想混亂將引起行為混亂,學習數(shù)學也一樣.有些學生為何解決不了一些并不復雜甚至簡單的數(shù)學問題呢?筆者認為:除少數(shù)學生不知相應數(shù)學知識外,大多是不能站在思想的高度來思考和引領方法,或思想不明確而不知用何方法解決問題.若作為數(shù)學教師能在教學時,引領學生把這些問題提煉歸類出一般性方法、結論,或者形成相對固定的解題方法,來應對考題,則必將會給學生的學習帶來更大的提升.

在數(shù)學教學中,筆者認為一線教師不僅要關注教材中知識點和典型例題,同時不要忽視了教材中例題和習題作用.它們是教與學的延伸與發(fā)散,是教師教之根本,是學生學之源泉,教師不能一味的僅僅在教輔資料或者網(wǎng)上選題,而不注重教材甚至拋棄教材.這樣處理的效果或許在短期內(nèi)能提高學生成績,但長期如此對學生發(fā)展是極為不利.首先,學生長期在題海中感受數(shù)學學習,只會削弱學生學習數(shù)學的興趣;其次,它會淡化學生的基礎知識與基本技能,導致學生對創(chuàng)造性和創(chuàng)新性能力的培養(yǎng)脫節(jié);同時,教材例題與習題是數(shù)學教材的重要組成部分,是專家精挑細選出來的,具有一定的典范性,通常情況下,它比作業(yè)本、教輔資料等其他習題更為典型、精致.因此,教師除了要注重教材上有關知識與定理的生成過程,同時還需要深入理解教材例題與習題的設計意圖,并對它們進行自然、合理地挖掘開發(fā),從而提升課堂教學的品質,這應成為我們一線數(shù)學教師的不懈追求.