安徽省合肥市一六八中學(xué)(230601) 武前煒

初中平面幾何對(duì)于特殊三角形——等腰三角形、直角三角形的考查尤其多,往往需要重新構(gòu)造幾何圖形之間的關(guān)系或者利用幾何變換構(gòu)造全等或者相似三角形,這就需要同學(xué)們根據(jù)圖形特點(diǎn)適時(shí)添加輔助線.在實(shí)際的教學(xué)中,學(xué)生對(duì)于稍微復(fù)雜的幾何圖形,知道要添加輔助線,卻又不知道從哪里加,如何添加更合理.本文以一類貫穿初中幾何始終的問(wèn)題談簡(jiǎn)潔處理策略.

1 原題呈現(xiàn)

題目:如圖1,已知:P是正方形ABCD外一點(diǎn),PA=3,PB=4,求線段PC的最大值.

圖1

圖2

本題解法眾多,以下從圖形結(jié)構(gòu)入手談這一類輔助線添加入口.D點(diǎn)與本題關(guān)聯(lián)不大,所以圖形可簡(jiǎn)化為圖2.

圖中有A,C,B,P四個(gè)點(diǎn),其中A,B,C三點(diǎn)形狀確定-——等腰直角三角形,P為單獨(dú)一個(gè)點(diǎn),為了形象敘述起名為——流浪點(diǎn),A,B,C三點(diǎn)始終形狀確定為等腰直角三角形——溫暖的家,輔助線的來(lái)源就是給流浪點(diǎn)(P)造一個(gè)同樣溫暖的家(等腰直角三角形),于是在B處為直角頂點(diǎn)造等腰直角ΔBPP′,如圖3、圖4.

從而圖3可得ΔPBC∽=ΔP′BA(SAS)?PC=P′A,PP′=而AP+PP′≥P′A,即P′A≤3+當(dāng)且僅當(dāng)A,P,P′共線時(shí)取得最大值,從而PC最大值為3+同理圖4中可得ΔPBA∽=ΔP′BC(SAS)?PA=P′C,PP′=而PP′+P′C≥PC,即PC≤當(dāng)且僅當(dāng)C,P,P′共線時(shí)取得最大值,從而PC最大值為

圖3

圖4

解題回顧:本解法從靜態(tài)角度看是構(gòu)造了一個(gè)等腰直角三角形,得到三角形全等,如圖3中ΔPBC∽=ΔP′BA,如圖4中ΔPBA∽=ΔP′BC;從動(dòng)態(tài)角度看是將一個(gè)三角形作旋轉(zhuǎn)變換,如圖3中ΔPBC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ΔP′BA,如圖4中ΔPBA繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ΔP′BC.初中階段常見(jiàn)幾何變換有平移變換、軸對(duì)稱變換、旋轉(zhuǎn)變換,這些屬于全等變換;位似變換屬于相似變換.解法輔助線的添加從構(gòu)形角度——流浪點(diǎn)造一個(gè)同樣溫暖的家,即一般圖中有等邊三角形就造一個(gè)等邊三角形,有等腰直角三角形就造一個(gè)等腰直角三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)圖形構(gòu)造,先觀察圖形,再畫(huà)出圖形.

當(dāng)然本題也可以從A點(diǎn)或P點(diǎn)造一個(gè)溫暖的家,如圖5,以A點(diǎn)為例,將P點(diǎn)構(gòu)造以A為45°角的溫暖的家——等腰直角PB′A;

圖5

圖6

從靜態(tài)角度看構(gòu)造了以AP為斜邊的等腰直角三角形;從動(dòng)態(tài)角度看是將原圖中ΔPAC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°并縮小至ΔB′AB(如圖6):

上述解法可以看出,從補(bǔ)形的角度添加輔助線——流浪點(diǎn)安一個(gè)同樣的家,以幾何變換角度合理解釋和分析——全等或相似,解決了學(xué)生的疑慮——怎么想到做輔助線?為什么做輔助線?正如俗語(yǔ)說(shuō)的:“站的高度高,看得才會(huì)遠(yuǎn)!”.

2 方法運(yùn)用

例1:如圖7,在四邊形ABCD中,AC,BD是對(duì)角線,ΔABC是等邊三角形,∠ADC=30°,AD=3,BD=5,則CD的長(zhǎng)為_(kāi)___.

圖7

第一步:審形——四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D,其中ΔABC是等邊三角形(溫暖的家)形狀確定,所以D為——流浪點(diǎn);

第二步:補(bǔ)形——給流浪點(diǎn)(D)造一個(gè)同樣溫暖的家(等邊三角形),以CD邊為例作輔助線造等邊ΔCDE,如圖8:

圖8

實(shí)質(zhì)上是將原圖中ΔBCD繞C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至ΔACE;可得:BD=AE=或者ΔACD繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°度至ΔBCE,可得:如圖9所示:

圖9

例2:如圖10,在ΔABC中,∠ABC=60°,AB=BC=8,以AC為腰,點(diǎn)A為頂點(diǎn)作等腰直角ΔACD,且∠DAC=120°,則BD的長(zhǎng)為_(kāi)___.

圖10

第一步:審形——四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D,其中ΔACD是等腰三角形(溫暖的家)形狀確定,所以B為——流浪點(diǎn);

第二步:補(bǔ)形——給流浪點(diǎn)(B)造一個(gè)同樣溫暖的家(等腰三角形),以AB邊為例作輔助線造等腰ABE,如圖11:

圖11

圖11第一個(gè)圖,實(shí)質(zhì)是將ΔABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至ΔAED,從而可得∠BED=∠BEA+∠AED=30°+60°=90°,

即:BD=圖11第二個(gè)圖,實(shí)質(zhì)是將ΔBAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至ΔEAC(如圖12),從而∠EBC=∠EBA+∠ABC=30°+60°=90°,

圖12

解題反思:學(xué)生考試的困惑是“想不到!”,老師的困惑是“講過(guò)了,還不會(huì)!”,課堂教學(xué)的藝術(shù)性應(yīng)該考慮不能只單單把知識(shí)方法直接強(qiáng)加給學(xué)生,即不能讓學(xué)生只知道要這樣做,更應(yīng)重視知識(shí)方法的生成和獲取的過(guò)程,引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)反思,特別是中考備考階段,學(xué)生正處于基礎(chǔ)階段復(fù)習(xí),這一階段知識(shí)整合、綜合分析、解決問(wèn)題能力都還不強(qiáng),需要老師合理引導(dǎo),以典型問(wèn)題為背景,從審題、審圖、審形到發(fā)現(xiàn)、構(gòu)造幾何模型,讓學(xué)生身臨其境,撥開(kāi)迷霧,抓住結(jié)構(gòu),形成不同類型的問(wèn)題能迅速找到問(wèn)題的切入口,做到解題方法合情——易想到;合理——解釋的清楚.

本文所提出的觀點(diǎn)——給流浪點(diǎn)安一個(gè)同樣溫暖的家!對(duì)于圖形中有四個(gè)點(diǎn),其中三個(gè)點(diǎn)的形狀(溫暖的家)確定,將另一個(gè)點(diǎn)(流浪點(diǎn))構(gòu)造出同樣的形狀,能有效解決這一類問(wèn)題.構(gòu)造解法的“自然”,其實(shí)就是你看到一個(gè)題目,腦海里一下子想到解決策略,并順利實(shí)施下去,這是所有教師的教學(xué)目標(biāo)——學(xué)生上課聽(tīng)得懂、解題用得上、考試做的會(huì);也是學(xué)生想達(dá)到的境地,就是學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)吧,當(dāng)然學(xué)生思維方式不同,最近發(fā)展區(qū)也有差異,適合的就是最好的.模型不能替代解題,核心是讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析,撥開(kāi)迷霧、抓住本質(zhì),將所學(xué)知識(shí)串在一起、融會(huì)貫通!