黃玉芳

摘 要：在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，不能脫離內(nèi)容談數(shù)學(xué)思想方法，不能過(guò)于散亂，要以?xún)?nèi)容教學(xué)為主，滲透思想。在初中階段，數(shù)形結(jié)合思想是一個(gè)很重要的思想，學(xué)生要充分經(jīng)歷應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法，特別是借助幾何直觀解決問(wèn)題的過(guò)程，并在這個(gè)過(guò)程中學(xué)會(huì)應(yīng)用函數(shù)圖象解決函數(shù)表達(dá)式不等式以及相關(guān)的周長(zhǎng)和面積等問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：變式;幾何直觀;數(shù)形結(jié)合

用變式問(wèn)題來(lái)教學(xué)或?qū)嵺`是中國(guó)課堂教學(xué)的一個(gè)“本土”特征。教師要注重以變式教學(xué)作為支撐、以雙基為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)教學(xué)模式。教學(xué)的過(guò)程中，存在著各種各樣的問(wèn)題，對(duì)于一道題目，教師可以設(shè)置一系列的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的思考，從不同角度、不同方面和不同方式進(jìn)行變式，注重知識(shí)的前后聯(lián)系，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力，培養(yǎng)學(xué)生的化歸意識(shí)。下面是筆者對(duì)一節(jié)復(fù)習(xí)課的嘗試，復(fù)習(xí)內(nèi)容為“一次函數(shù)與幾何圖形的綜合應(yīng)用”，在可能的條件下，對(duì)于“數(shù)”的問(wèn)題，讓學(xué)生借助于“形”去研究，并且不斷地設(shè)置新問(wèn)題進(jìn)行變式教學(xué)，挖掘這一知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)特征。

分析：如果學(xué)生能將不等式左邊看成一次函數(shù)，直接根據(jù)圖象求得x的取值范圍，實(shí)際上學(xué)生已經(jīng)應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合的思想，說(shuō)明學(xué)生已經(jīng)能夠透過(guò)現(xiàn)象看到本質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸相交于點(diǎn)A，則不等式kx+b>0的解集對(duì)應(yīng)的是圖象在x軸上方部分的自變量的取值范圍，而不等式kx+b<0的解集對(duì)應(yīng)的是圖象在x軸下方部分的自變量的取值范圍。

分析：此題可以用常規(guī)的方法，根據(jù)已知條件，分別求出兩個(gè)一次函數(shù)的解析式，列出一元一次不等式，然后解出x的取值范圍，也可以結(jié)合圖象，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想直接求出x的取值范圍，兩種方法都可以解決該問(wèn)題，可以讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)“數(shù)”“形”的本質(zhì)。

分析：此題與變式2類(lèi)似，一種方法可以根據(jù)圖象求出不等式組x的解集，另一種方法可以根據(jù)已知條件，分別求出兩個(gè)一次函數(shù)的解析式，列出不等式組，然后解出不等式組的解集，該變式同樣是兩種方法都可以解決該問(wèn)題，再一次讓學(xué)生分別體會(huì)“數(shù)”“形”的本質(zhì)。

變式4：求變式2中的△PAC的面積。

分析：求△PAC的面積，實(shí)際上就是找出三角形PAC的底和高，此時(shí)以AC為底，高為點(diǎn)P到x軸的距離。根據(jù)點(diǎn)A與點(diǎn)C的坐標(biāo)就可以求出AC的長(zhǎng)。

變式5：變式2中，在PA上是否存在一點(diǎn)J，使得△JAC的面積為10。

分析：求△PBC的面積，常規(guī)做法就是找出三角形PBC的底和高，觀察圖形發(fā)現(xiàn)變式5與變式4不同，變式5無(wú)法直接求出△PBC的面積。此時(shí)可用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化問(wèn)題來(lái)求出△PBC的面積。

同樣的，用補(bǔ)的方法也可以過(guò)點(diǎn)P作PE垂直于y軸，垂足為E，此時(shí)用S梯形OCPE-S△OBC-S△PBE也可以求得△PBC的面積。

解法二：過(guò)點(diǎn)C做x軸的垂線(xiàn)交AP于點(diǎn)F，此時(shí)可求得點(diǎn)F（2，5），這時(shí)CF將△PBC分割成△BCF和△CPF。

同樣的，用割的方法也可以過(guò)點(diǎn)B作y軸的垂線(xiàn)BG交PC于點(diǎn)G，此時(shí)BG將△PBC分割成△BGP和△BGC。用類(lèi)似的方法就可以求出△PBC的面積了。

此題不能直接求出三角形的面積，需要運(yùn)用割補(bǔ)法將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為我們熟悉的圖形進(jìn)行求解?；粗獮橐阎?，結(jié)合學(xué)生以前所學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行求解。

變式7：在y軸上是否存在一點(diǎn)H，使得PH+CH最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)H的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析：變式7其實(shí)就是典型的將軍飲馬求最值的問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)就是“軸對(duì)稱(chēng)”和“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用。

解法2，也可作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，類(lèi)似的方法求出點(diǎn)H。

變式8：在y軸上是否存在一點(diǎn)I，使得△PIC周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)I的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析：變式8與變式7實(shí)質(zhì)是一樣的，只是問(wèn)法不同，都是典型的將軍飲馬問(wèn)題，就是“軸對(duì)稱(chēng)”和“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用。因?yàn)镻C長(zhǎng)是定值，要求△PIC周長(zhǎng)最小，實(shí)質(zhì)上就是求PI+CI的值最小。

解法如變式6。

本節(jié)課從一個(gè)基本圖形開(kāi)始，不斷地進(jìn)行變式，圍繞著學(xué)生所學(xué)過(guò)的基本知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合應(yīng)用，難度層層加深，讓學(xué)生從多角度對(duì)一次函數(shù)與幾何綜合的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行深刻的理解。以“問(wèn)題”作為驅(qū)動(dòng)，“數(shù)形結(jié)合”引領(lǐng)問(wèn)題解決。培養(yǎng)了學(xué)生由淺入深、層層遞進(jìn)的思維過(guò)程和幾何直觀能力。

編輯 王亞青