陳浩文 莫弘
[摘? 要] “一題多解”正是幫助學(xué)生體會“通性通法”、學(xué)會總結(jié)提升的重要手段之一. 文章選擇有多種解法并且解法具有代表性的習(xí)題進行探討.
[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);解題教學(xué);一題多解
新課程的理念要求“突出學(xué)生的主體地位”,具體體現(xiàn)在:教學(xué)是否有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,是否有利于學(xué)生積極主動地參與教學(xué),是否有利于學(xué)生學(xué)習(xí)后能靈活地運用知識. 高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求加強動手實踐、自主探索、合作交流等學(xué)習(xí)方式,是一場學(xué)習(xí)上的改革. 數(shù)學(xué)教學(xué)是教師與學(xué)生之間相互交流、共同發(fā)展的過程,數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該從學(xué)生的實際出發(fā),通過創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問題情境,引導(dǎo)學(xué)生通過思考、探索、交流、實踐來獲得知識.
習(xí)題教學(xué),對知識的復(fù)習(xí)、方法的提煉、數(shù)學(xué)思想的形成等方面的效果有著重要影響,如何選擇問題及講授問題就顯得尤為重要,選擇有多種解法并且解法具有代表性的習(xí)題進行教學(xué),可以達到事半功倍的效果. 下面,以兩個案例為例進行說明.
案例(一):一道關(guān)于圓的問題
1. 例題展示
已知圓C:(x-1)2+(y-2)2=2,若等邊三角形PAB的一邊AB為圓C的一條弦,則PC的最大值為________.
【解法1】
如圖1:連接AC,BC,設(shè)∠CAB=θ,連接PC,與AB交于點D,因為AC=BC,△PAB是等邊三角形,所以D是AB的中點,所以PC⊥AB,所以圓C:(x-1)2+(y-2)2=2中,半徑為■,AD=■cosθ,CD=■sinθ.
所以在等邊三角形PAB中,PD=■AB=■cosθ,所以PC=CD+PD=■sinθ+■cosθ=2■·sinθ+■≤2■.
分析:考慮到問題是求最值,從角度的方面進行考慮,利用一個角將問題中涉及的線段表示出來,最后利用三角函數(shù)的有界性解決問題.這是對解三角形問題的復(fù)習(xí)和提升.
【解法2】
設(shè)AD=x,x∈(0,■],則PC=■x+■,記f(x)=■x+■,則f′(x)=■-■.
令f′(x)=0,得x=■∈(0,■].當(dāng)x∈0,■時,f′(x)≥0;當(dāng)x∈■,■時,f′(x)<0,所以f(x)max=f■=2■.
分析:解法二是利用函數(shù)的單調(diào)性來解決問題,用一條邊作為未知數(shù)將所求邊表示出來,最后通過導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性求出最值,這是解決最值問題的一般思想,也是函數(shù)思想在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用,具有一般性思維.
【解法3】
設(shè)AD=x,x∈(0,■],則PC=■x+■,記y=■x+■.
設(shè)x=■sinθ,θ∈0,■,則y=■sinθ+■cosθ=2■sinθ+■≤2■.
分析:解法三與解法二類似,都是利用函數(shù)思想將所求邊表示出來,在最后求最值時,根據(jù)函數(shù)解析式特點,利用三角代換的方法求函數(shù)的最值,體現(xiàn)了三角函數(shù)有界性的應(yīng)用.
【解法4】
設(shè)AD=x,x∈(0,■],則PC=■x+■,
則PC2=(■x+1×■)2≤[(■)2+12]·[x2+(■)2]=4×2=8.當(dāng)且僅當(dāng)■=■時取等號,PC≤2■,此時x=■.
分析:解法四同樣利用了函數(shù)思想,求最值時使用了柯西不等式,體現(xiàn)了不等式在最值問題中的應(yīng)用.
【解法5】
設(shè)AD=x,x∈(0,■],則PC=■x+■,記f(x)=■x+■,x∈(0,■].
令u=■x,v=■得:u2=3x2,v2=2-x2,u2+3v2=6,即■+■=1.
令z=u+v,v=-u+z,問題轉(zhuǎn)化為在條件■+■=1約束下,v=-u+z縱截距何時取最大值的問題.
當(dāng)直線v=-u+z與橢圓■+■=1相切時,z最大,此時z=2■.
分析:函數(shù)思想再一次被使用,區(qū)別就是用換元法將問題轉(zhuǎn)換為線性規(guī)劃問題,求出最值. 這種方法難度較大,但是體現(xiàn)了線性規(guī)劃是求最值問題的一種重要途徑,對形成解題通法有一定的啟發(fā)作用.
【解法6】
連接PC交AB于D,因為AB為圓的弦,△PAB為等邊三角形,所以PC平分∠APB,∠APC=■,在△APC中,由正弦定理得:■=■,PC=■=■=2■sin∠PAC≤2■.
分析:解法六和解法一類似,直接利用解三角形的思想,將邊化為角的形式,利用三角函數(shù)有界性求出最值.
2. 總結(jié)提升
這是一道中等難度的解三角形問題,一般來說,學(xué)生容易想到解法1和解法6,但是如果我們只滿足解決問題,那么就會失去建立解題通法、提升數(shù)學(xué)思想的機會,所以教學(xué)時有必要挖掘解題方法,展示一題多解.
從這個問題的解決過程中,可以看到,求最值問題的核心思想在于函數(shù)思想,將所求量用其他變量表示出來,利用函數(shù)的性質(zhì)求解.通過一題多解的教學(xué),學(xué)生可以更充分地了解數(shù)學(xué)思想方法,也可以對求最值問題的具體知識和手段進行較為全面的復(fù)習(xí),對各種知識方法進行比較,體會各種知識方法的異同,這對數(shù)學(xué)知識體系的構(gòu)建有很大的推動作用.
案例(二):一道關(guān)于雙曲線離心率的問題
1. 例題展示
設(shè)直線x-3y+m=0(m≠0)與雙曲線■-■=1?搖(a>0?搖,?搖b>0)的兩條漸近線交于點A,B,若點P(m,0)滿足PA=PB,則該雙曲線的離心率是________.
【解法1】
漸近線方程為y=±■x,分別與x-3y+m=0聯(lián)立,解得A■,■,B■,■,則AB的中點Q■,■. 如圖2,因PA=PB,所以PQ⊥AB,kAB=■,所以kPQ=-3=■=■,解得2a2=8b2,所以e=■=■.
分析:解法1屬于直接法,利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì),可知AB⊥PQ,由斜率關(guān)系求出a,b的關(guān)系.
【解法2】
雙曲線的漸近線方程為y=±■x,漸近線與直線x-3y+m=0的交點的橫坐標(biāo)分別為■和■. 設(shè)AB的中點為Q,則點Q的橫坐標(biāo)為■. 又PQ的方程為3x+y-3m=0.
由方程組x-3y+m=0,3x+y-3m=0,可得點Q的橫坐標(biāo)為■m,則■=■m,解得a2=4b2,所以e=■.
【解法3】
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點Q(x0,y0),漸近線方程為■-■=0,即b2x2-a2y2=0,聯(lián)立x-3y+m=0,b2x2-a2y2=0,得(9b2-a2)y2-6b2my+b2m2=0,則y0=■=■,x0=3y0-m=■,
則AB的中點Q■,■,同解法1.
分析:解法3整體代換,將兩條漸近線看成二次曲線,并利用韋達定理直接求出點Q坐標(biāo).
【解法4】
設(shè)A(x1,y1)?搖,B(x2,y2),AB的中點Q(x0,y0),漸近線方程為■-■=0,即b2x2-a2y2=0,則b2x■-a2y■=0,b2x■-a2y■=0,兩式相減得kAB·kOQ=■. 又kAB=■,所以■=■. 又PQ的方程為3x+y-3m=0,聯(lián)立x-3y+m=0,3x+y-3m=0,得Q■,■,所以■=■=■=■,所以a2=4b2,所以e=■.
分析:解法4利用點差法,求出a,b的齊次關(guān)系式,再轉(zhuǎn)化為所求的離心率.
【解法5】
令a=1,則漸近線方程為y=±bx,分別與x-3y+m=0聯(lián)立,解得A■,■,B■,■,則AB的中點Q■,■. 因為kAB=■,所以kPQ=-3=■=■,解得2=8b2,所以c=■,所以e=■.
分析:解法5用特殊值法,令a=1,問題的本質(zhì)并沒有變化,運算會簡單得多.
【解法6】
設(shè)A(x1,y1)?搖,?搖B(x2,y2),AB的中點Q(x0,y0),聯(lián)立x-3y+m=0,3x+y-3m=0,得Q■,■,所以■=■=■.
因為漸近線方程為y=±■x,則y1=-■x1,y2=■x2,兩式相減得y1-y2=-■(x1+x2),
兩式相加得x1-x2=-■(y1+y2),所以有kAB=■=■=■. 又■=■=■,即■=■,所以a2=4b2,所以e=■.
分析:解法6設(shè)而不求,求出a,b的關(guān)系,再轉(zhuǎn)化為所求的離心率.
2. 總結(jié)提升
這是一道典型的求圓錐曲線離心率的問題,主線思想在于“求離心率”就是要“找到a,b,c的等量關(guān)系”,而尋求等量關(guān)系的具體手段多種多樣,習(xí)題教學(xué)就是應(yīng)該突出主線,體現(xiàn)不同手段的差異性,幫助學(xué)生提煉數(shù)學(xué)思想方法,避免“見子打子”的教學(xué)和練習(xí),真正達到提高效率的目的.
章建躍老師在《注重通性通法才是好數(shù)學(xué)教學(xué)》一文中提到:在“通性通法”中,“通性”就是概念所反映的數(shù)學(xué)基本性質(zhì);“通法”就是概念所蘊含的思想方法. 解題教學(xué)中,只有注重基礎(chǔ)知識及其蘊含的數(shù)學(xué)思想方法,才是追求數(shù)學(xué)教學(xué)的“長期利益”. 這就要求我們努力提高對所教內(nèi)容的理解水平,增強辨別和判斷能力,對哪些重要哪些次要,哪些是根本哪些是細枝末節(jié)要心中有數(shù),并在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系基礎(chǔ)、洞察本質(zhì)的火眼金睛,這樣才能落實數(shù)學(xué)課程的育人功能,使學(xué)生真正從“長期利益”中得到好處.
“一題多解”正是幫助學(xué)生體會“通性通法”、學(xué)會總結(jié)提升的重要手段之一. 關(guān)于解題,有一句話是這樣說的:量不在多,典型就行,題不在難,有變則靈.讓學(xué)生明確不能只尋求其解,還須以解題作為手段,去掌握知識和學(xué)會運用知識. 一題多解也是高考數(shù)學(xué)解答題的突出特征. 我們在平時的教學(xué)中,可以抓住問題中每一個可以作為“最近發(fā)展區(qū)”的點,引導(dǎo)學(xué)生從多方面考慮已知條件的不同數(shù)學(xué)表達,開拓思想,提高核心素養(yǎng).