摘? 要：2019年中考廣東卷第24題集幾何證明與幾何計(jì)算于一體，源于教材、梯度合理、知識(shí)綜合、表述簡(jiǎn)潔，有效考查了學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，對(duì)一線(xiàn)教師的課堂教學(xué)具有很好的導(dǎo)向作用.

關(guān)鍵詞：源于教材;幾何直觀;核心素養(yǎng)

一、試題呈現(xiàn)

題目 （2019年廣東卷）如圖1，在[△ABC]中，[AB=AC，] [⊙O]是[△ABC]的外接圓，過(guò)點(diǎn)C作[∠BCD=][∠ACB]交[⊙O]于點(diǎn)D，連接AD交BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DC至點(diǎn)F，使[CF=AC，] 連接AF.

（1）求證：[ED=EC;]

（2）求證：AF是[⊙O]的切線(xiàn);

（3）如圖2，若點(diǎn)G是[△ACD]的內(nèi)心，[BC ? BE=25，]求BG的長(zhǎng).

二、試題特色

1. 巧妙對(duì)接地氣，源于教材改編

此題考查了等腰三角形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、圓的切線(xiàn)的判定和性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn). 解答的關(guān)鍵是正確添加輔助線(xiàn)，完成幾何圖形的構(gòu)建.

解決第（2）小題，需連接OA，OB，OC，構(gòu)造出箏形，由箏形的性質(zhì)（一條對(duì)角線(xiàn)平分對(duì)角，并且垂直平分另一條對(duì)角線(xiàn)）可知[BC⊥OA.] 而箏形源自人教版《義務(wù)教育教科書(shū) · 數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱(chēng)“教材”）八年級(jí)上冊(cè)第十二章“全等三角形”數(shù)學(xué)活動(dòng)中的活動(dòng)2“用全等三角形研究箏形”.

第（3）小題源自教材九年級(jí)上冊(cè)第二十四章“圓”復(fù)習(xí)題24中的第13題：如圖3，點(diǎn)E是[△ABC]的內(nèi)心，AE的延長(zhǎng)線(xiàn)和[△ABC]的外接圓相交于點(diǎn)D，求證：[DE=DB.] [A][B][C][D][E][圖3]

此題的第（3）小題是將教材習(xí)題中的幾何證明改成了幾何計(jì)算，在解決問(wèn)題的過(guò)程中用到的知識(shí)和方法大致相同，但需要學(xué)生發(fā)現(xiàn)[BA=BG]并證明，使得第（3）小題的思維含量進(jìn)一步提升. 這種“源于教材，又高于教材”的命題原則，不僅體現(xiàn)了命題者對(duì)教材的尊重，也讓學(xué)生在緊張的考試中，因見(jiàn)到如此“接地氣”的試題，而使緊張的情緒有所緩解，并能引領(lǐng)教師在復(fù)習(xí)教學(xué)中回歸教材，認(rèn)真研究和挖掘教材中例題和習(xí)題的深層次價(jià)值，啟示學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)中以教材為本、重視教材、吃透教材，深刻領(lǐng)悟教材中例題和習(xí)題所蘊(yùn)涵的思想與價(jià)值.

2. 指向核心素養(yǎng)，思維拾級(jí)而上

題目表述簡(jiǎn)潔，三道小題層次分明、梯度明顯，思維水平拾級(jí)而上.

第（1）小題起點(diǎn)較低，立意基礎(chǔ)，學(xué)生容易解決，解答思路自然. 主要考查圓周角定理、等角對(duì)等邊等基礎(chǔ)知識(shí)，以及等量轉(zhuǎn)化思想. 具體證明過(guò)程如下.

證明：因?yàn)閇AB=AC，]

所以[AB=AC.]

所以[∠ACB=∠D.]

又因?yàn)閇∠BCD=∠ACB，]

所以[∠BCD=∠D.]

所以[ED=EC.]

第（2）小題難度適度提升. 通過(guò)多條輔助線(xiàn)的添加，完成箏形的構(gòu)建. 此題考查圓的切線(xiàn)判定、平行四邊形的判定等核心知識(shí)，體現(xiàn)能力立意.

證明一條直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，通常有兩種方法：（1）作垂線(xiàn)、證半徑;（2）連半徑、證垂直. 其中，證垂直較常見(jiàn)的方法是平行線(xiàn)法（即證明[AF∥BC]和[OA⊥BC]）.

學(xué)生可借助幾何直觀，發(fā)現(xiàn)四邊形[ABCF]為平行四邊形或[AF∥BC，] 找到正確的思考路徑，逐步推導(dǎo). 證明過(guò)程如下.

證明：因?yàn)閇∠BAD=∠BCD，∠BCD=∠D，]

所以[∠BAD=][∠D.]

所以[AB∥DF.]

又因?yàn)閇CF=AC，AC=AB，]

所以[AB=CF.]

所以四邊形[ABCF]為平行四邊形.

所以[AF∥BC.]

如圖4，連接[OA，OB，OC，] 得[OB=OC.]

因?yàn)閇AB=AC，]

所以O(shè)A是線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn).

所以[OA⊥BC.] 所以[AF⊥OA.]

因?yàn)镺A為[⊙O]的半徑，

所以AF是[⊙O]的切線(xiàn).

第（3）小題屬于幾何計(jì)算題. 顯然，當(dāng)幾何證明題具備了條件和結(jié)論，可以運(yùn)用“兩頭湊”的思想方法來(lái)指導(dǎo)證明思路，而幾何計(jì)算題只給出條件，讓學(xué)生去推理計(jì)算，使得題目的思維含量進(jìn)一步提升，突出了對(duì)數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、幾何直觀、邏輯推理、模型思想、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查.

首先，緣于數(shù)感，由[BC ? BE=25，] 猜想某條邊長(zhǎng)的平方為25.

其次，基于數(shù)學(xué)建模，挖掘出[△ABE]和[△CBA]符合共邊共角的“母子型”相似模型. 因?yàn)閇∠BAE=∠BCA，][∠ABE=][∠CBA，] 所以[△ABE∽△CBA.] 所以[BC ? BE=][AB2.] 易得[AB2=25]. 所以[AB=5.]

再次，緣于直觀，猜想[BG=BA，] 再細(xì)心求證. 如圖5，連接AG，因?yàn)辄c(diǎn)G是[△ACD]的內(nèi)心，所以[∠EAG=∠CAG.] 所以[∠BAD+∠EAG=∠CAG+∠BCA，] 即[∠BAG=∠BGA.] 所以[BG=BA=5.]

符號(hào)意識(shí)、幾何直觀、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)一直貫穿其中. 解題時(shí)，先是利用合情推理、幾何直觀，逐步推導(dǎo)梳理有用的結(jié)論，找到正確的思考路徑，再用演繹推理來(lái)完成解答過(guò)程. 在這個(gè)過(guò)程中，使學(xué)生積累了解決問(wèn)題的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，檢驗(yàn)了學(xué)生是否有依據(jù)、有條理、有合乎邏輯的思維，不僅培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，也落實(shí)了對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.

3. 重視數(shù)學(xué)概念，關(guān)注數(shù)學(xué)理解

很多學(xué)生不能準(zhǔn)確地對(duì)第（3）小題進(jìn)行解答，其中就有對(duì)數(shù)學(xué)概念理解不到位的原因，甚至有很多學(xué)生分不清三角形的內(nèi)心和外心. 關(guān)于圓的概念，教材指出：圓心為O、半徑為r的圓可以看成是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合. 學(xué)生在讀題和審題時(shí)如果能夠深刻理解圓的概念的本質(zhì)屬性，就可以想到[OB=OC，] 再進(jìn)一步聯(lián)想到軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，構(gòu)建箏形，就很容易發(fā)現(xiàn)[OA⊥BC.] 第（3）小題涉及了圓、相似三角形、三角形內(nèi)心等重要數(shù)學(xué)概念，促使學(xué)生在審題和解題過(guò)程中，不斷理解和完善相關(guān)概念，不斷整合和系統(tǒng)化數(shù)學(xué)知識(shí)體系，從而正確而深入地理解數(shù)學(xué)概念. 因此，關(guān)于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)尤為重要. 在日常教學(xué)中，教師只有熟悉教材、回歸教材、講透概念，才能以不變應(yīng)萬(wàn)變，幫助學(xué)生打下堅(jiān)實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)，進(jìn)而輕松應(yīng)對(duì)各種知識(shí)遷移性題目.

三、教學(xué)導(dǎo)向

1. 回歸教材，把握價(jià)值取向

數(shù)學(xué)學(xué)科教育的價(jià)值主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的核心知識(shí)和核心知識(shí)中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法上.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）是教師把握課堂教學(xué)價(jià)值的依據(jù). 解決此題的過(guò)程中用到了平行四邊形、三角形、圓、弧、圓周角、內(nèi)心、切線(xiàn)等相關(guān)概念，圓周角定理、圓的軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)、切線(xiàn)的判定、平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)等，從《標(biāo)準(zhǔn)》的要求來(lái)看，以上內(nèi)容都屬于核心知識(shí).

第（2）小題對(duì)于[OA⊥AF]的證明有另一種參考答案為：如圖6，連接OA，因?yàn)閇AB=AC，] 所以[AB=AC.] 因?yàn)镺A為半徑，所以[OA⊥BC.] 再結(jié)合[AF∥BC，] 所以[OA⊥AF.] 并介紹說(shuō)這種方法運(yùn)用的是垂徑定理及其推論.

關(guān)于垂徑定理及其推論，教材是這樣處理的. 先給出垂徑定理（垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。俳o出推論（平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧）. 顯然，這并不是上述證明的依據(jù).

垂徑定理反映的是圓的軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，在證明圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形時(shí)順勢(shì)獲得了垂徑定理. 至于圓為什么是軸對(duì)稱(chēng)圖形？為什么任何一條直徑所在的直線(xiàn)都是圓的對(duì)稱(chēng)軸？教學(xué)時(shí)不能把“折一折”就當(dāng)作證明. 教師可以采用“在圓上任取一點(diǎn)，證明它關(guān)于直徑所在的直線(xiàn)（對(duì)稱(chēng)軸）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也在圓上”的方法進(jìn)行證明（詳見(jiàn)教材九年級(jí)上冊(cè)“24.1.2 垂直于弦的直徑”）. 教材中介紹的方法是證明一個(gè)圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形的常用方法，需要讓學(xué)生掌握.

是什么原因讓一部分教師錯(cuò)誤地認(rèn)為，這里采用的依據(jù)是垂徑定理及其推論呢？原來(lái)，可以將垂徑定理及其推論概括為：若一條直線(xiàn)，① 過(guò)圓心;② 垂直于弦;③ 平分弦;④ 平分弦所對(duì)的優(yōu)弧;⑤ 平分弦所對(duì)的劣弧. 滿(mǎn)足其中任意的兩項(xiàng)，則必滿(mǎn)足其余三項(xiàng). 垂徑定理即“① + ②[→]③④⑤”;推論即“① + ③[→]②④⑤”. 經(jīng)這樣處理，“① + ⑤[→] ②③④”就也是其中的一條推論. 然而，這些性質(zhì)被《標(biāo)準(zhǔn)》和教材刪減，其背后的原因值得細(xì)思. 在日常教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)和歸納教材例題和習(xí)題中的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生有效地利用數(shù)學(xué)思想方法解決相關(guān)問(wèn)題的能力. 通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生深入探究，享受數(shù)學(xué)之美，但是要避免出現(xiàn)解題方法和解題技巧的機(jī)械運(yùn)用，以及技能化、假過(guò)程的現(xiàn)象，更不能出現(xiàn)“脫離教材搞教學(xué)”的現(xiàn)象. 我們有充分的理由相信，基于《標(biāo)準(zhǔn)》的評(píng)價(jià)所倡導(dǎo)的對(duì)學(xué)生情感態(tài)度、方法能力、高階思維等方面的培養(yǎng)將會(huì)讓學(xué)生受益終身.

由此可見(jiàn)，“教什么”反映了教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容的理解. 只有先確定教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)價(jià)值，才能研究如何教學(xué). 因此，在日常教學(xué)中，教師應(yīng)基于《標(biāo)準(zhǔn)》、回歸教材，把握好教材的編寫(xiě)意圖和教學(xué)內(nèi)容的教育價(jià)值，這樣才能在減輕學(xué)生過(guò)重負(fù)擔(dān)的基礎(chǔ)上提升課堂效率.

2. 回歸理性，落實(shí)核心素養(yǎng)

《標(biāo)準(zhǔn)》指出，教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探索與合作交流，并關(guān)注對(duì)學(xué)生理性精神的培養(yǎng). 克萊因把數(shù)學(xué)看成是一種精神，一種理性精神. 齊民友說(shuō)，每個(gè)論點(diǎn)都必須有根據(jù)，都必須持之以理. 因此，教師在講授數(shù)學(xué)定理、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，既要讓學(xué)生知道直觀感知、合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、探索中的作用，也要讓學(xué)生感悟形式化演繹證明的力量，有意識(shí)地發(fā)展學(xué)生的理性思維能力，按照問(wèn)題發(fā)展的一般規(guī)律來(lái)尋求解題思路，生成解題通法. 從感性認(rèn)識(shí)回歸到理性認(rèn)識(shí)，不但能讓學(xué)生達(dá)到從“知道正確的層面”到“崇尚理性需要證明”思想上的飛躍，還能培養(yǎng)學(xué)生的理性思維習(xí)慣，提升學(xué)生的理性思維能力，進(jìn)而促使學(xué)生逐步養(yǎng)成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度.

參考文獻(xiàn)：

[1]齊民友. 數(shù)學(xué)與文化[M]. 長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，1991.

收稿日期：2020-07-18

作者簡(jiǎn)介：黃雙華（1983— ），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.