童永芳

摘? 要：以2019年中考浙江杭州卷第23題為例，通過分析解題思路，賞析有代表性的幾種解法，深度剖析試題中給出的條件，挖掘結(jié)論中隱藏的本質(zhì)，以達(dá)到鍛煉學(xué)生的思維、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)的目的，發(fā)揮中考試題教育教學(xué)的價(jià)值.

關(guān)鍵詞：中考試題;解法賞析;深度剖析;自主探究

2019年中考浙江杭州卷第23題以圓為背景，利用圓的軸對(duì)稱性，結(jié)合垂徑定理、圓心角、圓周角及弧之間的關(guān)系來探究系數(shù)之間的關(guān)系. 本文通過分析此題的解題思路，深度剖析試題的條件，與讀者分享層層遞進(jìn)、深度探究的過程.

一、試題呈現(xiàn)

題目 （2019年浙江·杭州卷）如圖1，已知銳角三角形ABC內(nèi)接于⊙O，OD⊥BC于點(diǎn)D，連接OA.

（1）若∠BAC = 60°，

① 證明： [OD=12OA].

② 當(dāng)OA = 1時(shí)，求△ABC面積的最大值.

（2）點(diǎn)E在OA上，OD = OE，連接DE，設(shè)∠ABC = m∠OED，∠ACB = n∠OED（m，n是正數(shù)）. 若∠ABC<∠ACB，求證：m - n + 2 = 0.

二、思路分析

第（1）小題中，由圓周角為60°能得到對(duì)應(yīng)的圓心角為120°，在半徑、半弦和弦心距組成的三角形中能得到OD與半徑及弦BC的關(guān)系. 在△ABC中，知道邊BC的長(zhǎng)，只要邊BC上的高取到最大值時(shí)，就可以求出△ABC面積的最大值.

第（2）小題中，將銳角三角形ABC中的∠ABC和∠ACB分別用∠OED的倍數(shù)關(guān)系m，n來表示，在給定OD = OE和∠ABC<∠ACB的條件下探索m，n的關(guān)系，用圖形的性質(zhì)去探索代數(shù)之間的關(guān)系. 顯然，只需要弄清楚圖形中角的位置及大小關(guān)系，然后建立等量關(guān)系，就能得到代數(shù)之間的關(guān)系.

由于第（1）小題的思路及解法比較簡(jiǎn)單，故本文只探討第（2）小題的解法.

三、解法賞析

視角1：利用代數(shù)思想，找等量關(guān)系，建立方程解題.

解法1：如圖2，連接OB，OC.

設(shè)∠OED = ∠ODE = α，∠COD = ∠BOD = β，

由∠AOC + ∠AOB + 2∠BOD = 360°，∠OED + ∠ODE + ∠EOD = 180°，

建立方程組[m+nα+β=180°，2m+1?α+β=180°.]

整理，得m - n+2 = 0.

解法2：如圖3，連接OB，OC，延長(zhǎng)DO交AB于點(diǎn)G，作OF⊥AC，垂足為點(diǎn)F.

設(shè)∠OED = ∠ODE =[α]，

得∠AOF = mα，∠GOE = 2α，∠ACB = nα.

由∠ODC = ∠OFC = 90°，

得∠DOF + ∠ACB = 180°.

所以∠GOF = ∠ACB.

所以mα + 2α = nα.

整理，得m - n + 2 = 0.

解法3：如圖4，連接OB，OC，延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)G.

設(shè)∠OED = ∠ODE = α，

則∠ABC = mα，∠BAG = 90° - nα，∠GOD = 2α.

由∠OGD為△ABG的外角，

得∠OGD = ∠ABD + ∠BAG = mα + 90° - nα.

在Rt△OGD中，有∠OGD = 90° - ∠GOD.

所以mα + 90° - nα = 90° - 2α.

整理，得m - n + 2 = 0.

解法4：如圖5，連接OB，OC，延長(zhǎng)DO交AB于點(diǎn)G.

設(shè)∠OED = ∠ODE = α，

則∠ABC = mα，∠GAO = 90°-nα，∠AOG = 2α.

由∠AGD為△BDG的外角，

得∠AGD = ∠ABD + ∠BDG.

在△AGO中，[∠AGD=180°-∠AOG+∠GAO]，

所以[90°+mα=180°-2α+90°-nα].

整理，得m - n + 2 = 0.

事實(shí)上，只要抓住此題中給出的等量關(guān)系OD = OE，∠AOC = 2∠ABC，∠AOB = 2∠ACB，且OD⊥BC，用含m，n，α的代數(shù)式表示相關(guān)的量，再利用合適的等量關(guān)系建立方程就可以找出它們之間的關(guān)系.

視角2：利用角平分線、等腰三角形的基本性質(zhì)解題.

解法5：如圖6，連接OB，OC，延長(zhǎng)OD交⊙O于點(diǎn)F，連接AF.

因?yàn)镺D⊥BC，

所以點(diǎn)F平分[BC].

所以AF平分∠BAC.

所以∠OAC - ∠OAB = 2∠OAF.

由OE = OD，OA = OF，得DE∥AF.

所以∠OED = ∠OAF.

由OA = OC = OB，

得[∠AOB=180°-2∠OAB，∠AOC=180°-2∠OAC].

所以[∠AOB-∠AOC=2∠OAC-∠OAB].

由于∠ACB - ∠ABC[=12∠AOB-∠AOC]= ∠OAC - ∠OAB = 2∠OAF，

得[n-m=][∠ACB-∠ABC∠OED=][2∠OAF∠OAF=][2].

整理，得m-n+2 = 0.

與前面幾種解法相比較，解法5中沒有設(shè)未知數(shù)，只是利用幾何圖形中的性質(zhì)關(guān)系進(jìn)行解題. 雖然解題過程不是那么簡(jiǎn)單，但是揭示了題目變化中的不變量的本質(zhì)關(guān)系，其來源于兩個(gè)等腰三角形頂角之差等于底角之差的兩倍，解法十分微妙.

視角3：利用圓的基本性質(zhì)解題.

解法6：如圖7，延長(zhǎng)DO，交⊙O于點(diǎn)F，

設(shè)∠OED = ∠ODE = α，

則[∠AOF=2α].

因?yàn)閇BF=CF]，

所以[AB-AF=AC+AF]，

即2nα -2α = 2mα + 2α.

整理，得m - n+2 = 0.

綜上，在圓中探究系數(shù)之間的關(guān)系，可以從結(jié)論出發(fā)，轉(zhuǎn)化為探究∠ABC，∠ACB及∠OED之間的關(guān)系，然后利用圓的軸對(duì)稱性，結(jié)合垂徑定理、圓心角、圓周角及弧之間的關(guān)系來證明.

四、深度剖析

此題中除了結(jié)論值得探究，題目中給出的條件也值得我們進(jìn)行深度思考.

思考1：題目的已知條件中“∠ABC<∠ACB”的含義是什么？沒有這個(gè)條件會(huì)產(chǎn)生怎樣的結(jié)論？

顯然，根據(jù)條件∠ABC = m∠OED，∠ACB = n∠OED，可知∠ABC與∠ACB的大小決定著m與n的大小.“∠ABC < ∠ACB”表示m

思考2：題干中的條件“銳角三角形ABC”起著怎樣的作用？如果沒有這個(gè)條件又會(huì)怎樣？

如圖9，延長(zhǎng)CO，BO，分別交⊙O于點(diǎn)M，N，則∠MBC = ∠NCB = 90°. 當(dāng)點(diǎn)A在[CN]上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ACB為鈍角. 當(dāng)點(diǎn)A在[BM]上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ABC為鈍角. 當(dāng)點(diǎn)A在[BC]上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BAC為鈍角. 結(jié)合條件“∠ABC<∠ACB”，顯然，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A只能在[GN]之間. 那么，試題中如果沒有“銳角三角形ABC”這個(gè)條件，會(huì)產(chǎn)生怎樣的結(jié)果呢？

當(dāng)∠ACB為鈍角時(shí)，即點(diǎn)A在[CN]上，可以得到結(jié)論m - n+2 = 0.

當(dāng)∠ABC為鈍角時(shí)，即點(diǎn)A在[BM]上，可以得到結(jié)論n - m + 2 = 0. 符合思考1得出的結(jié)論.

如圖10，當(dāng)∠BAC為鈍角時(shí)，即點(diǎn)A在[BC]上，且在OD所在直線的右側(cè)，延長(zhǎng)DO，交⊙O于點(diǎn)F，連接AF，過點(diǎn)D作DI⊥AF，則可以推出點(diǎn)E在線段DI上，即證明DE⊥AF，所以∠OED + ∠OAF = 90°. 由此得到[n-m=][290°-∠OED∠OED]，即[n-m+2=180°∠OED]. 此時(shí)，原來的結(jié)論并不成立，n - m + 2的值關(guān)于∠OED成反比例關(guān)系. 同理，當(dāng)點(diǎn)A在[BC]上，且在OD在直線的左側(cè)時(shí)，可以得到結(jié)論m - n + 2 =[180°∠OED].

思考3：題目中的條件“OD = OE”，說明△OED是一個(gè)等腰三角形，且確定了兩腰. 若沒有確定兩腰，直接給出條件“△OED是一個(gè)等腰三角形”，顯然會(huì)產(chǎn)生另外兩種結(jié)論，其結(jié)論是否與原結(jié)論相通？

結(jié)合思考1和思考2可知，在沒有條件限制的情況下，點(diǎn)A可以在整個(gè)圓弧上運(yùn)動(dòng).

當(dāng)OD = OE時(shí)，將∠OED的度數(shù)轉(zhuǎn)換成弧度，以該弧度為自變量x，m - n + 2的值y為因變量. 當(dāng)點(diǎn)A在OD所在直線的右側(cè)時(shí)，函數(shù)圖象如圖11所示，一段為定值，一段為類似反比例函數(shù)圖象的一部分;當(dāng)點(diǎn)A在OD所在直線的左側(cè)時(shí)，函數(shù)圖象如圖12所示，一段為定值，一段為反比例函數(shù)圖象，符合思考2的結(jié)論.

當(dāng)DO = DE或EO = ED時(shí)，如圖13和圖14所示，同樣以∠OED的弧度數(shù)為自變量，m - n + 2的值為因變量作出函數(shù)圖象，其結(jié)果都是一段為定值，一段為反比例函數(shù)圖象的一部分，與OD = OE時(shí)的結(jié)果類似.

綜合以上分析，在OD = OE的前提下，∠ABC與∠ACB的大小決定著m，n的大小，故舍棄該條件，只需利用[m-n]來體現(xiàn)結(jié)論. 當(dāng)∠BAC為鈍角時(shí)，[m-n-][2]的值與∠OED的值成反比例關(guān)系，比例系數(shù)為180°;當(dāng)∠BAC為銳角時(shí)，[m-n-2=0]，是一個(gè)定值. 而若僅僅要滿足m - n + 2 = 0，點(diǎn)A可以在[GC]上，為了防止學(xué)生對(duì)題目的第（1）小題進(jìn)行不必要分類（思考∠ABC與∠ACB是不是鈍角），故此題在題干中添加“銳角三角形ABC”的條件，同時(shí)，在第（2）小題中添加“∠ABC<∠ACB”的條件. 自此，點(diǎn)A僅在[GN]上運(yùn)動(dòng). 若當(dāng)DO = DE或當(dāng)EO = ED時(shí)，m - n + 2的值是定值或與∠OED成反比例關(guān)系.

五、反思

探究性學(xué)習(xí)指學(xué)生在學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)或現(xiàn)實(shí)生活情境中選取某個(gè)問題作為突破點(diǎn)，通過質(zhì)疑發(fā)現(xiàn)問題，通過分析研討解決問題，通過表達(dá)與交流等活動(dòng)獲得知識(shí)、掌握方法. 探究以問題為導(dǎo)向，問題的提出源于仔細(xì)觀察、深度剖析.

問題從何而來？從什么角度去分析？本文的研究思路給學(xué)生做了示范. 題目中的結(jié)論和每個(gè)條件都是探究的突破口. 中考試題凝聚了命題者的心血，內(nèi)涵豐富. 在解題教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)典型的中考試題進(jìn)行深度探究，并對(duì)問題提出新的猜想，進(jìn)而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，激發(fā)學(xué)生熱愛探究的精神，培養(yǎng)學(xué)生勇于創(chuàng)新的意識(shí).

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會(huì).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》解讀[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[3]王紅梅. 基于模型思想的解法探究：從2017年杭州市中考數(shù)學(xué)第10題說起[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2017（11）：37-39.