張泉

摘?要：以數(shù)學實驗活動探究“反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)（2）”的教學設(shè)計為例，揭示了數(shù)學實驗活動的教學價值：幫助學生直觀地理解基本知識和技能、幫助學生體悟知識蘊含的數(shù)學思想、幫助學生積累數(shù)學學習的經(jīng)驗、幫助學生建立積極的學習情感、幫助師生形成正確教學觀念，并簡述了數(shù)學實驗對發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要意義.

關(guān)鍵詞：數(shù)學實驗;核心素養(yǎng);反比例函數(shù);數(shù)學教學

《全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011版）》（下稱課標）指出：“數(shù)學是人類文化的重要組成部分，數(shù)學素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng). 作為促進學生全面發(fā)展教育的重要組成部分，數(shù)學教育既要使學生掌握現(xiàn)代生活和學習中所需要的數(shù)學知識與技能，更要發(fā)揮數(shù)學在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用.”[1]可見，“數(shù)學素養(yǎng)”是每一個人生活必備的基本素養(yǎng)，也是每一個人成才成功的關(guān)鍵品質(zhì). 初中數(shù)學是一門基礎(chǔ)性課程，發(fā)展學生的“數(shù)學素養(yǎng)”是這門課程的核心任務(wù)，而開展數(shù)學實驗教學是發(fā)展數(shù)學素養(yǎng)的有效策略之一. 江蘇省無錫市惠山區(qū)數(shù)學教師基本功比賽以《反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)（2）》的教學設(shè)計、課件制作與微課教學為主題，一位一等獎獲得者從數(shù)學實驗融入教學的角度設(shè)計了這節(jié)課，頗獲好評.

1 基于數(shù)學實驗的教學設(shè)計

1.1實驗鋪墊——明確實驗對象

（1）通過上一節(jié)課的學習，我們知道，反比例函數(shù)的圖像的形狀是__________.

（2）對于一次函數(shù)y=kx+b（k>0，b>0），請你說說它的圖像所在的位置和增減性？

（3）類比一次函數(shù)的性質(zhì)，今天我們要研究反比例函數(shù)的性質(zhì)，研究內(nèi)容有哪些？

1.2實驗活動1——初探基本性質(zhì)

打開幾何畫板5.0軟件：

①選擇“自定義工具”，插入“迷你坐標系”;

②點擊“數(shù)據(jù)”，新建可變參數(shù)k=-4，將它的參數(shù)屬性設(shè)置為在-15到15之間連續(xù)變化;

③點擊“繪圖”，繪制新函數(shù)，將它的屬性設(shè)置為-8.2到8.2之間連續(xù)變化;

④右鍵參數(shù)k，生成參數(shù)的動畫.

師：請一位同學來點擊開始按鈕，其他同學思考以下問題：

（1）隨著k的變化，圖像的形狀有變化嗎？位置有變化嗎？

（2）根據(jù)k的取值范圍的不同，函數(shù)的增減性如何？

（3）歸納反比例函數(shù)（k ≠ 0）的性質(zhì)，并填表：

（4）你對數(shù)學實驗有何感受？

【設(shè)計意圖】這一環(huán)節(jié)的教學目標是認識反比例函數(shù)的性質(zhì)，最近發(fā)展區(qū)是上一節(jié)課學習的畫反比例函數(shù)的圖像，因而設(shè)計了先畫圖、再歸納、后驗證的教學思路. 驗證環(huán)節(jié)如何能讓知識無懈可擊，讓學生確信無疑？——數(shù)學實驗是很好的方式！通過教師的引導(dǎo)和追問，讓學生經(jīng)歷動手、動腦、交流、質(zhì)疑、分析、解決這樣一個過程，思維從淺層逐漸走向深刻，并積累了數(shù)學學習的經(jīng)驗，初次體驗全新學習方式的魅力.

活動二：已知反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點A（2，-4）.請你求出k的值，并判斷點B（-2，4）、C（-3，5）在這個函數(shù)的圖像上嗎？

師：點A和點B在坐標系中有什么幾何特征？你能猜想反比例函數(shù)的圖像有什么幾何特征嗎？基于剛才的實驗經(jīng)驗，如何用幾何畫板軟件驗證現(xiàn)在這個猜想呢？

1.3數(shù)學實驗2——再探對稱性質(zhì)

①在迷你坐標系中，設(shè)置可變參數(shù)k，暫取k=-8，繪制反比例函數(shù)的圖像;

②在的圖像上取一動點P，度量點P的坐標，點擊“變換”，將O標記為中心，將點P繞點O旋轉(zhuǎn)180°后標記為點P’，度量P’的坐標，并計算點P’的橫、縱坐標的乘積;

③分別點擊點“P”和“編輯”，選擇“操作類按鈕-動畫”，生成點P的動畫;

④分別點擊點“P’”和“顯示”，選擇“追蹤繪制的點”，追蹤點P’的軌跡.

（1）點擊“動畫點”按鈕，你發(fā)現(xiàn)點P’的軌跡有什么特點？

（2）二者“重合”僅僅是視覺效果，還是二者必然在一起？為什么？

（3）通過上述實驗，我們發(fā)現(xiàn)的圖像是中心對稱的，如何驗證對于任意的非零k，的圖像都是中心對稱的？

【設(shè)計意圖】這一環(huán)節(jié)旨在探究反比例函數(shù)圖像的中心對稱性，由課本上的例題進行變式和追問，引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、構(gòu)思方法、解決問題. 設(shè)計這一個環(huán)節(jié)，是為了延續(xù)上一個環(huán)節(jié)，不僅是知識上的承接，更是為了加強積累“通過數(shù)學實驗探究解決數(shù)學問題”這一活動經(jīng)驗，也為了繼續(xù)深入拓展做鋪墊.

活動三：回到剛在的圖像上，現(xiàn)在再來做一個實驗，大家看看還能得到什么結(jié)論.

1.4數(shù)學實驗3——深層性質(zhì)拓展

①過點P作x軸和y軸的垂線，垂直分別為M、N，可以得到一個四邊形PMON，設(shè)置為黃色;

②度量PM、PN的長度，計算PM·PN的值;

③點擊“動畫點”按鈕.

（1）你發(fā)現(xiàn)了什么？

（2）你能說說這個結(jié)論成立的理由嗎？

（3）一般地，反比例函數(shù)（k ≠ 0）圖像上的任意一點P，過點P作兩條坐標軸的垂線段所圍成的矩形面積是多少呢？

師：通過做實驗，我們又發(fā)現(xiàn)了一個重要結(jié)論——矩形面積等于|k|，我們把這一結(jié)論叫做反比例函數(shù)的面積不變性.

【設(shè)計意圖】檢驗學生運用活動經(jīng)驗開展探索研究的技能，拓展新知，讓優(yōu)秀生“吃飽”，培養(yǎng)學生的應(yīng)用意識，再次帶領(lǐng)學生感受數(shù)學實驗的價值.

1.5實驗小結(jié)

（1）經(jīng)歷了本節(jié)課的學習，你對于數(shù)學實驗有何感受？

（2）你學到了反比例函數(shù)的哪些性質(zhì)？你猜反比例函數(shù)的圖像還會有其他性質(zhì)嗎？如何用數(shù)學實驗繼續(xù)開展研究？

【設(shè)計意圖】在小結(jié)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學生建構(gòu)知識脈絡(luò)，并把自己內(nèi)心對數(shù)學實驗的感受表達出來，利用同理心原理升華全體學生對于數(shù)學實驗的認同感，并鼓勵學生對于雙曲線的軸對稱性做自主研究，培養(yǎng)探究意識.

2 數(shù)學實驗的教學價值

數(shù)學實驗是通過動手動腦“做”數(shù)學的一種數(shù)學學習活動，是在教師引導(dǎo)下，學生運用有關(guān)工具，在數(shù)學思維活動的參與下進行的一種以人人參與的實際操作為特征的數(shù)學驗證或探究活動。數(shù)學實驗過程中，學生既需要“做”，又需要“看”，更需要“思”，還需要傾聽和表達，可以說，數(shù)學實驗是一項調(diào)動學生多感官參與的學習活動，許多神經(jīng)學家的研究顯示，參與的感官越多，建立連接的神經(jīng)越多，就意味著被保存下來的記憶更多. 數(shù)學實驗的教學價值具體表現(xiàn)為：

2.1數(shù)學實驗幫助學生直觀地理解數(shù)學知識與技能

數(shù)學實驗注重操作與實踐，變“聽數(shù)學”為“做數(shù)學”，變“看演示”為“動手做”，變“機械接受”為“主動探究”。數(shù)學實驗使得數(shù)學研究對象“可視化”，讓學生對抽象內(nèi)容獲得直觀的理解，體驗發(fā)現(xiàn)樂趣，喚醒主體意識，建構(gòu)知識結(jié)構(gòu). 例如實驗1，通過按鈕操作的設(shè)計，讓圖像的位置變化與反比例系數(shù)k的變化可視化，加深了學生對于“k的值決定圖像的位置”的認知，增強了直觀思維的連貫性和想象思維的合理性，讓學生更加確信自己的認知，這種效果是僅憑方格紙上畫圖或片段式觀察歸納所達不到的。

2.2數(shù)學實驗幫助學生體悟知識蘊含的數(shù)學思想

數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂和精髓. 日本數(shù)學家、教育家米三國藏曾說：“作為知識的數(shù)學，出校門不到兩年可能就被遺忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學精神、數(shù)學思想、研究方法和著眼點等，這些隨時隨地發(fā)生作用，使他們終身受益.”數(shù)學實驗，作為研究數(shù)學問題的一種工具，對滲透數(shù)學思想和方法起到了積極的作用. 設(shè)計中的三個實驗，無處不在滲透數(shù)學思想：每一條性質(zhì)都經(jīng)歷了特殊猜想—實驗驗證—一般推理的過程，體現(xiàn)了數(shù)學的歸納思想;每一次實驗，都經(jīng)歷了觀察思考—歸納猜想—操作驗證—推理證明的基本步驟，體現(xiàn)了數(shù)學的模型思想;每一個動畫，都基于運動中的變或不變，體現(xiàn)了函數(shù)的對應(yīng)思想;研究函數(shù)整體的性質(zhì)，聚焦于圖像上一個動點的特征，這體現(xiàn)了數(shù)學的化歸思想，等等.

2.3數(shù)學實驗幫助學生積累數(shù)學學習的經(jīng)驗

首先，在數(shù)學實驗活動中學生可以獲得來自感官、直覺的直接感受和參與體驗等經(jīng)驗. 例如幾何畫板等動手操作類實驗活動，既可以獲得行為操作的數(shù)學活動經(jīng)驗，也可以在活動中進行適當?shù)慕涣?、回味，從而加深對圖形特征的認識. 其次，在數(shù)學實驗活動中學生可以積累探究的經(jīng)驗. 探究是對已有問題的解決而展開的數(shù)學活動，既有外顯的操作活動，也有思維層面的操作活動，數(shù)學實驗包含了這兩部分. 另外，在數(shù)學實驗活動中學生還可以積累數(shù)學思維的經(jīng)驗. 數(shù)學思維活動，包括歸納、類比、推理、分析等活動，數(shù)學實驗特別強調(diào)操作之后的思維過程，這是得到有效實驗結(jié)論的前提.

2.4數(shù)學實驗幫助學生建立積極的學習情感

課標對于數(shù)學課程提出了總體目標，其中情感態(tài)度方面的闡述是：“學生積極參與數(shù)學活動，對數(shù)學有好奇心和求知欲;體驗獲得成功的樂趣，鍛煉克服困難的意志，建立自信心;體會數(shù)學的特點，了解數(shù)學的價值;養(yǎng)成認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質(zhì)疑等學習習慣、形成實事求是的科學態(tài)度.”在課例的小結(jié)環(huán)節(jié)，學生們紛紛發(fā)言：“一直以來我都覺得數(shù)學遠離生活比較抽象，今天我發(fā)現(xiàn)數(shù)學竟然能動手操作，數(shù)學實驗還是蠻有意思的.”“原來想不通的問題，做完實驗后，好像就想通了.”“數(shù)學實驗雖然不能完美解決問題，但是卻是一種有意思的學習方法，我學到了更多知識的同時，還與同學討論，上課還發(fā)言了.”同學們的發(fā)言，顯示了數(shù)學實驗的魅力和價值：數(shù)學實驗作為一種工具，讓數(shù)學知識更加直觀易懂;作為一種活動，適合全體學生參與并培養(yǎng)興趣;作為一座橋梁，溝通了師生之間、生生之間的關(guān)系，拉近了數(shù)學與學生的距離.

2.5數(shù)學實驗幫助師生形成正確的教學觀念

傳統(tǒng)的數(shù)學課堂強調(diào)老師的示范指導(dǎo)和學生的鞏固訓練，老師是知識的權(quán)威傳授者，學生是知識的被動接受者. 而以數(shù)學實驗為載體的數(shù)學教學，數(shù)學知識不再以現(xiàn)成結(jié)論呈現(xiàn)，而是讓學生從自己已有的“數(shù)學經(jīng)驗”出發(fā)，通過動手、動腦去獲得新的數(shù)學經(jīng)驗，逐步建構(gòu)并完善、發(fā)展自己的數(shù)學認知結(jié)構(gòu). 數(shù)學實驗活動，不僅有學生的親身體驗，生生之間的交流合作，還有師生之間的交往互動，教師和學生在良好的關(guān)系與和諧的互動中共同獲得對數(shù)學育人更高地理解. 可以說，數(shù)學實驗是一種基于現(xiàn)代教學理念的教學方式，適合師生的終身發(fā)展.

3 數(shù)學實驗對發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的意義

重慶市教育科學研究院康世剛院長認為：“數(shù)學素養(yǎng)是指學生在已有數(shù)學經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，通過數(shù)學活動對數(shù)學的體驗、感悟和反思，并在真實情境中有意識地應(yīng)用數(shù)學知識與技能理性地處理問題的行為特征.”數(shù)學實驗對于培養(yǎng)動手能力、積累活動經(jīng)驗、增強數(shù)學體驗，有著先天的優(yōu)越性，不僅如此，數(shù)學實驗還能反哺思維能力的不足，增強學生對數(shù)學知識的體悟. 更值得品位的是，設(shè)計中的每個實驗，表面上是為了探究知識驗證猜想，深層地是在學生心里播下一棵科學精神的種子，實驗結(jié)論得出后，教師繼續(xù)引導(dǎo)學生深究結(jié)論的嚴謹性、普適性與應(yīng)用性，關(guān)注學生的推理能力和應(yīng)用意識的發(fā)展，這正符合數(shù)學素養(yǎng)的內(nèi)涵，可以說，數(shù)學實驗是發(fā)展學生數(shù)學素養(yǎng)的有效策略.

廣大數(shù)學教師應(yīng)大力開展數(shù)學實驗活動，創(chuàng)新數(shù)學教學形式，為發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng)不懈努力.

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012：2.

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[4] 康世剛，宋乃慶.論數(shù)學素養(yǎng)的內(nèi)涵及特征[J].數(shù)學通報，2015（3）：11.