傅贏芳 喻平

摘要：CPFS是數學學習者的一種特殊的優(yōu)良認知結構。其中的概念域及概念系因刻畫了數學概念間的等價關系及抽象關系，而區(qū)別于命題網絡表征;概念域因與命題域的組織方式是相似的，而避免了同一概念從陳述性向程序性轉化時面臨的表征轉換問題?；贑PFS結構理論，在數學概念教學中，應引導學生識別同一概念不同定義之間以及不同概念之間的演繹推理關系，直觀化表示概念與命題的擴展過程，注意設置需借助概念域解決的問題串，引導學生選擇概念的不同定義解決相應的問題。

關鍵詞：CPFS結構 概念域 概念系 命題網絡表征 概念教學

在影響學習的諸多要素中，認知結構是決定成效的一個關鍵因素。在學習心理學中，不同的研究者對認知結構的構成分析各有側重。皮亞杰用圖式來刻畫學習者心理活動的框架或組織結構，圖式的發(fā)展經歷同化、順應和平衡三個過程;奧蘇貝爾則用可利用性、可辨別性及穩(wěn)定性來反映個體認知結構的優(yōu)良程度。這些都是從一般意義上討論個體的內在心理結構?？紤]到數學知識及其組織有其獨特性，本文基于CPFS結構理論，論述其對數學學習的影響以及對數學概念教學的啟示。

一、CPFS結構及其對數學學習的影響

（一）CPFS結構

CPFS結構是個體頭腦中內化的數學知識網絡，各知識點在網絡中處于一定的位置，知識點之間具有等值抽象關系、強抽象關系、弱抽象關系或廣義抽象關系?！癈PFS結構是概念域（concept field）、概念系（concept system）、命題域（proposition field）、命題系（proposition system）的統稱。”其中，概念域是指一個概念的所有等價定義的圖式。在這組等價定義中，有一個最基本的定義——往往是教科書中的定義，稱為該概念的典型定義。它的特點是最易于學生學習，同時又不失數學的嚴謹性。概念系是指個體頭腦中形成的不同概念間的網絡圖式，這些概念間具有某種強抽象、弱抽象或廣義抽象關系。

1.概念域與命題網絡表征。

相比于命題網絡表征的各種模型，概念域能更準確地貯存數學概念間的邏輯關系。對學習者而言，在概念獲得與表征階段，數學概念是被當作一種事實靜態(tài)地對待的，屬于陳述性知識。根據知識表征理論，其表征形式之一為命題網絡。對于復雜的命題網絡，Collins等人先后提出了層次網絡模型與激活擴散模型，這兩種模型分別以知識間的從屬關系和語義關系來聯結各個不同的概念以及概念的不同屬性。層次網絡模型明確了從語義記憶中檢索信息的方式。語義記憶由巨大的概念網絡組成;概念由單元和特征組成，并由一系列聯想節(jié)點相連。層次網絡模型主要揭示了陳述性知識間的縱向關系，而激活擴散模型則在層次網絡模型的基礎上，進一步刻畫了知識間的橫向關系。盡管后者能很好地描摹一般的陳述性知識的貯存形式，但是，數學中一種特殊且非常重要的等價關系卻并不能在這個模型中得到體現。比如，“等腰三角形有兩個角相等”（記為A1）、“等腰三角形有兩條邊相等”（記為A2）、“等腰三角形是軸對稱圖形”（記為A3）這三個特征，在命題網絡表征中，僅僅作為“等腰三角形”的三個并列的屬性來貯存。但是，從數學的角度來看，A1與A2是等價的，或者說，具有等值抽象關系，它們與A3屬性完全不同，A3是等腰三角形的必要非充分條件，因此，在貯存信息時，它與A1、A2應具有不同等的位置。概念域將A1、A2從這一系列屬性中區(qū)分出來，并形成數學學習者特有的表征形式，它彌補了用命題網絡形式表征數學概念的不足。

概念域的提出具有充分的理論與實踐基礎。概念域的核心關系——等價關系的識別與提取，一方面，源于研究者對學習者概念學習的觀察與分析。在教學實踐中，學習者學習了概念之后，在具體應用時會出現類型各異的錯誤，或是沒有把握概念內涵，無法辨認概念的反例，或是不能理解概念的變式。另一方面，也基于數學概念自身的特點。同一個數學概念可以從不同側面或角度去刻畫，從而可以構成彼此等價的一組描述。比如，平行四邊形概念的等價定義有：①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形;②一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;③兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;等等。由于數學概念的發(fā)展性，等價定義還可以在不同的結構中進行刻畫。比如，圓的定義，在平面幾何中的形式為“平面上到定點的距離等于定長的點的集合”，在解析幾何中的形式為“形如x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）的方程所確定的曲線”。

2.概念域與表征轉換。

根據安德森的知識分類學，當學習者運用概念解決問題時，數學概念成為一種程序性知識。其表征形式為產生式系統，即由一系列產生式“如果……那么……”重疊而成。這與知識的命題網絡表征結構完全不同。因而，當一個概念由前期的陳述性轉為后期的程序性時，就涉及完全不同的兩種表征形式之間的轉換問題，給學習造成了一定的困難。這在數學概念學習的過程中表現尤為突出。同一個概念，學習的前后階段，其知識性質發(fā)生了變化。比如，對于平行四邊形的定義“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”，在概念形成過程中，學生通過觀察、概括一系列例子，歸納得到平行四邊形具有的性質，并形成一種命題表征形式;但在知覺水平與思維水平的應用過程中，學生需要借助該概念進行圖形判斷或命題判斷，此時，需要激活的是一種動態(tài)貯存形式——“如果兩組對邊分別平行，則這個四邊形是平行四邊形”。這就要求學生將前一種命題表征形式轉換為后面的產生式。這種轉換的需求和難度隨著學習的深入，也在不斷增加。比如，圖1是將平行四邊形作為陳述性知識貯存的命題網絡片段;下頁圖2是將平行四邊形作為程序性知識貯存的產生式系統片段。兩者在結構上迥異，導致學生在解決問題時，激活與提取的速度產生差異。

在概念域中，概念的不同側面或角度的表述是以等價關系來貯存的，其結構形式與命題域中的結構形式是對等的。因此，當一個概念隨著學習階段的變化，從陳述性轉為程序性時，并不會帶來表征轉換的認知負荷。也就是說，相對于命題網絡與產生式系統之間的轉換而言，概念域與命題域之間由于邏輯上的同等，均為等價關系，可以很好地從陳述性知識形態(tài)轉化為程序性知識形態(tài)。

3.概念系與命題網絡表征。

數學概念還有一種特殊性，即在定義新概念時會用到已經習得的舊概念。為了能很好地將新舊概念間的這種關系刻畫出來，喻平借助徐利治先生關于抽象關系的定義，進一步完善了不同概念間關系的組織與刻畫。抽象關系包括強抽象關系、弱抽象關系以及廣義抽象關系。如果從一個數學概念A中選取某一特征加以抽象，從而獲得比概念A更廣的概念B，使概念A成為概念B的特例，就稱A到B的抽象為弱抽象;如果通過引入新的特征來強化原概念A，從而獲得新概念B，那么概念B是概念A的特例，則稱A到B的抽象為強抽象;如果在定義概念B時用到了概念A，則稱A到B的抽象為廣義抽象。由此，概念間的關系可以通過這三種抽象關系來概括。抽象關系擴張了層次網絡模型中的從屬關系或激活擴散模型中的語義關系。從屬關系實際上對應于強抽象或弱抽象關系，但不能囊括廣義抽象關系。

進一步地，是以數學化的方式來比擬這種結構。假設用Ri表示強抽象、弱抽象或廣義抽象中的任意一種關系，用C1，C2，…，Ci，…，Cn表示存在抽象關系的一組概念，則C1R1C2R2C3…Rn-1Cn構成了一條概念鏈。如果兩條概念鏈的交集非空，則稱這兩條概念鏈相交。如果m條概念鏈中至少有一條與其余的都相交，則稱這m條概念鏈所組成的概念網絡圖式為概念系。因此，由抽象關系聯結構成的概念網絡更加立體、綜合，從而更有助于學習者對相關概念的激活與提取。

實際上，網絡中知識點之間的抽象關系蘊含著某種思維方法，因而網絡中知識點之間的聯結包含著數學方法，即“連線集”也是一個方法系統。以概念域來講，它是由某一概念的一組等價定義構成的。等價與抽象關系不同，后者可以根據概念本身的結構——屬加種差來識別，而等價關系的確立卻是建立在邏輯推理的基礎之上的。因此，從這個意義上來說，概念域中實際上包含著邏輯推理的方法。命題域、命題系的建構過程則更加體現了這一特點。

（二）CPFS結構對數學學習的影響

個體的CPFS結構與數學學習成就有密切關系。第一，個體的CPFS結構有助于數學理解。李渺從CPFS結構的前后變化闡述了它與數學理解之間的關系。第二，個體的CPFS結構有助于問題表征。喻平以高中3個年級的學生為被試，探討個體的CPFS結構與問題表征之間的關系，發(fā)現個體的CPFS結構與問題表征之間有密切關系：具備良好CPFS結構的學生更能正確、合理地表征問題，從而更能有效地解決問題。第三，個體的CPFS結構與解題自我監(jiān)控能力相關。另一項研究測查了學生的解題自我監(jiān)控能力與CPFS結構，發(fā)現解題自我監(jiān)控能力和CPFS結構有密切關系;CPFS結構和解題自我監(jiān)控能力獨立地影響數學成績，CPFS結構相比于解題自我監(jiān)控能力，對數學成績的影響更大。第四，個體的CPFS結構顯著影響解題中的遠遷移。在解題遷移的研究中，發(fā)現數學解題中的遠遷移與個體形成的CPFS結構密切相關，優(yōu)良的CPFS結構有助于遠遷移的產生。在該項研究中，研究者主要針對CPFS結構中的命題域及命題系進行了測量。第五，個體的CPFS結構與探究問題能力顯著相關。喻平等人以江蘇省常州市某高中一年級的學生為被試，分別測查了個體的CPFS結構及探究問題能力，發(fā)現兩者顯著相關，CPFS結構對探究問題的成績有顯著影響。研究進一步指出了外部調控與CPFS結構對探究問題的交互作用：在有外部調控的情況下，優(yōu)良CPFS結構組和不良CPFS結構組的被試在探究中、低難度問題的成績上有顯著差異，在探究高難度問題的成績上沒有顯著差異。

二、基于CPFS結構的數學概念教學

在概念學習中，學生如果不能全方位、多背景地深入理解概念，沒有在頭腦中形成概念體系，那么，一旦換一個側面或角度闡述同一個概念，他們就會不知所云。實際上，概念的一個定義只是從一個側面去刻畫概念，具有一定的片面性，而要做到深入把握概念的內涵，就應當從不同的角度去認識，掌握這個概念的一組等價定義?；诖?，喻平提出了一系列在概念學習中完善學生CPFS結構的教學策略：（1）注重從多個側面、多個角度揭示概念的內涵，包括從多種背景、多重層次、多維結構揭示概念的內涵;（2）形成概念體系;（3）加強概念的應用。在概念域的形成方面，應揭示與某一概念等價的多種不同的存在形式。在概念系的形成方面，應從三個方面概括：其一，建立概念網絡，可以用概念圖的方法;其二，明示概念之間的關系;其三，揭示蘊含在概念體系中的數學思想方法。在概念的應用方面，既包含了知覺水平上的應用，也包含了思維水平上的應用。

從上述分析來看，無論概念域還是概念系，都不是在新學概念時能立刻達成的，其達成需要經歷多次有意識地回顧與整理的過程。在回溯過程中，尤其要注意以下幾點：

（一）識別概念間的演繹推理關系

概念域和概念系的發(fā)展不止囊括了語義關系或從屬關系，還有一種重要的關系隱含在其中，即演繹推理關系。在概念域中起重要作用的等價關系，是同一概念不同定義間的演繹推理關系;概念系中類似于從相似三角形到全等三角形的定義，也是一種演繹推理關系。因此，教師在教學中，不僅要重視不同定義間的演繹推理關系，也要重視不同概念間的演繹推理關系。

比如，“全等三角形”與“相似三角形”的關系。

在現行初中數學教材中，全等三角形的定義是“能夠完全重合的兩個三角形”。此后，從兩個三角形對應邊的相等關系或對應角的相等關系來進一步刻畫。因此，這部分內容學習結束后，可以形成一個“全等三角形”的概念域。

相似三角形的典型定義為“各角分別對應相等、各邊對應成比例的兩個三角形”。此后，同樣是從兩個三角形對應邊的比例關系或對應角的相等關系來進一步刻畫，從而形成一個“相似三角形”的概念域。

當學習者主動或經由教師的引導意識到，全等三角形與相似三角形都是在刻畫兩個三角形的關系時，自然就會產生一種比較。因而，進一步意識到，全等實際上是相似的一種特殊情形，即相似比為1。由此，可從相似三角形的角度來形成全等三角形新的定義。

再如，“等腰三角形”的認識。

等腰三角形的典型定義是“有兩條邊相等的三角形”，這是小學階段學生就已經習得的內容。在初中階段，學生首先習得“等腰對等角”的幾何性質，進一步通過證明，以定理形式得到“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”，從而擴展了定義的側面。同時，學生還習得了等腰三角形的“三線合一”性質。至此，教師即可引導學生思考：能否由“三線合一”來定義等腰三角形？這是一個演繹推理關系的識別過程。根據全等三角形的“ASA”判定可知，可以由“三線合一”來定義等腰三角形，從而進一步擴展了原有的概念域。同樣，在學習線段的垂直平分線時，也可進一步擴展等腰三角形的等價定義形式。這實際上弱化了原來的“三線合一”定義，即只要“高線與中線合一”，就是等腰三角形。由此，可以進一步證明得到“高線與角平分線合一”“中線與角平分線合一”的三角形也是等腰三角形。

（二）直觀化表示概念與命題的擴展過程

隨著學習的深入與拓展，學生頭腦中的概念也會經歷一個不斷擴充、逐漸變得復雜的過程。因此，教師在教學時，應注意從簡單的結構單元開始，并直觀化表示出來。

1.在概念形成階段，用直觀圖式描述概念間的抽象關系。

在新授課中，教師往往處理的是概念的典型定義。如果是以概念形成的方式來獲得概念，即由從特殊到一般的過程獲得概念，那么概念與其現實背景或原型構成弱抽象關系;如果是以概念同化的方式來獲得概念，即由從一般到特殊的過程獲得概念，則概念與其上位概念構成強抽象關系。不管是以何種方式獲得概念，在這一階段都可以用直觀的圖式表達概念系的片段信息（分別如圖3、圖4）。

2.在概念發(fā)展階段，用等價關系刻畫概念間的內在聯系。

在概念的練習或后續(xù)內容的教學中，會發(fā)現諸多與原有典型定義等價的表述。此時，教師需要讓學生明確意識到這種等價性，可以與學生一起完成邏輯推理的過程，并最終用圖示的方式表示出來。

比如“全等三角形”概念擴展的直觀圖，如圖5—圖11所示。

當數學學習從一個分支學科躍入另一個分支學科時，由于所討論對象一致而工具不一，導致在不同結構中對同一概念形成了不同的定義形式。這就需要教師有這種敏感性，并能將其顯性化地揭示出來。

（三）設置需借助概念域解決的問題串

如果說前面第二階段是幫助學生形成概念域，那么，相應習題的練習則是進一步鞏固與完善概念域。

比如，“絕對值”概念學習完成后，學生會形成如下層次1與層次2構建的概念域。

層次1（幾何角度）：數a的絕對值是指數軸上表示數a的點與原點的距離。

可以設置如下兩類形式的問題：（1）在數軸上距離原點2個單位長度的點表示什么數？即運用層次1的概念來解答;（2）一個數的絕對值是4，這個數是多少？則是基于層次2的概念來解答。

當教材缺乏某個層次的問題時，就更需要教師基于CPFS結構理論進行有意識的反思，并據此設置問題串。

（四）選擇概念的不同定義解決相應的問題

理論上，如果一個概念的一組等價定義中的某一個定義能夠解決一個問題，那么這組等價定義中的任一個定義都能解決這個問題。但是，用不同定義解決同一問題的難度可能是不同的。因此，解題者需要認真分析問題，激活概念域，選擇最佳定義解決問題。比如問題：

*本刊曾在2016年第2期呈現CPFS結構的相關研究成果，并在2019年第6期、第9期和2020年第1期呈現數學學習心理學及其教學啟示的系列研究成果。

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