張享發(fā)　戴陳敏

【摘 要】本文闡明創(chuàng)課導學的課堂教學方法的內(nèi)涵，以“直線與雙曲線位置關(guān)系”為例，闡述創(chuàng)課導學的課堂教學方法的具體應(yīng)用，創(chuàng)設(shè)讓學生“再創(chuàng)造”的數(shù)學課堂，通過問題導向、實驗導學，把課堂的時間、空間、個性還給學生。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學課堂 創(chuàng)課導學 再創(chuàng)造 問題導向 實驗導學

【中圖分類號】G ?【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）04B-0109-03

荷蘭著名數(shù)學教育家弗賴登塔爾（1905—1990）認為：“數(shù)學教學方法的核心是學生的‘再創(chuàng)造?！彼J為在數(shù)學教學中，教師應(yīng)該提供適合作為知識載體的具體情境，使學生通過實踐探究，自己“再創(chuàng)造”出概念、法則、定理、公理等數(shù)學知識?！镀胀ǜ咧袛?shù)學課程標準（2017 年）》指出，現(xiàn)代信息技術(shù)要“致力于改變學生的學習方式，使學生樂意并有更多的精力投入到現(xiàn)實的、探索性的數(shù)學活動中去”。因此，在高中數(shù)學課堂教學中，如何創(chuàng)設(shè)適合學生“再創(chuàng)造”的教學環(huán)境，把課堂還給學生，讓學生真正成為課堂的主人，是擺在數(shù)學教師面前的新課題。

創(chuàng)課導學是基于廣西師范大學唐劍嵐博士數(shù)學實驗創(chuàng)課的觀點開展的課堂教學方法。依據(jù)高中數(shù)學創(chuàng)課導學的課堂教學方法，在日常的高中數(shù)學課堂教學中，借助信息技術(shù)、實物教具等實驗工具可以創(chuàng)設(shè)一個讓學生“再創(chuàng)造”的數(shù)學實驗環(huán)境，通過關(guān)鍵問題的導向，讓學生在動手“實驗”的過程中經(jīng)歷觀察、猜想、推理等科學方法，主動建構(gòu)數(shù)學模型，養(yǎng)成“用數(shù)學”的習慣，從而提升數(shù)學素養(yǎng)?，F(xiàn)以具體的教學案例對此進行闡述。

一、研究的主要問題

〖問題 1〗過點（0，1）可以作幾條直線與雙曲線 4x2-y2=4 有且只有一個公共點？

〖問題 2〗過點（0，1）的直線與雙曲線 4x2-y2=4 的交點有幾種情況？

〖問題 3〗若直線 l 過定點（，0），雙曲線：x2-2y2=2。（1）若直線 l 與雙曲線有且僅有一個公共點，求直線 l 的方程;（2）若直線 l 分別與雙曲線的兩支各有一個公共點，求直線 l 斜率的取值范圍。

二、重難點突破辦法

將教室虛擬為實驗室，借助圖形計算器、iPad、希沃電子白板等工具構(gòu)建實驗平臺，讓學生圍繞課堂核心問題，創(chuàng)設(shè)實驗。猜想交點的圖形特征，積累分析交點特征的實驗猜想經(jīng)驗。通過實驗平臺動手操作、合作探究、感悟思想、建構(gòu)知識。

三、教學模式

創(chuàng)課導學的基本模式是：問題—實驗—解惑。

四、教學過程

〖問題 1〗

[師]前面我們用什么方法判定直線與橢圓的位置關(guān)系？

[生]首先，幾何方法，通過圖象觀察交點個數(shù);其次，代數(shù)方法，聯(lián)立方程組分析根的個數(shù)。

[師]如何用幾何方法判斷過點（0，1）可以作幾條直線與雙曲線 4x2-y2=4 有且只有一個公共點？

〔學生活動〕大家都嘗試在紙上畫出過已知點的直線以及相應(yīng)的雙曲線的示意圖。由于多數(shù)同學所畫的雙曲線沒有突出雙曲線有兩條漸近線的圖形特征，因此通過示意圖很難直觀判斷交點情況。教師隨堂巡視，進行個別指導。

學生先在紙上徒手畫圖，發(fā)現(xiàn)無法準確判斷交點情況后，再借助圖形計算器或 iPad 進行探究求證。通過直線斜率的變化觀察直線與雙曲線的交點個數(shù)情況，找出符合條件的直線。充分交流后形成如下結(jié)論：

1.過點（0，1）的直線主要由斜率 k 決定。

2.當直線斜率 k 與雙曲線的漸近線不平行時，分別與左支、右支曲線各有 1 條直線滿足條件（通過圖形計算器、iPad，改變直線的斜率，觀察驗證）。

3.當直線斜率 k 與雙曲線的漸近線平行時，分別與左支、右支曲線各有 1 條直線滿足條件（通過圖形計算器、iPad，改變直線的斜率，觀察驗證）。

4.示意圖如圖 1 所示。

[師]利用代數(shù)方法求解時，能否分別求出這四條直線的斜率？

〔學生活動〕嘗試聯(lián)立直線與雙曲線的方程組進行求解，利用二次項系數(shù)等于零以及判別式等于零，分別求出對應(yīng)斜率的個數(shù)，最后相互驗證幾何方法、代數(shù)方法所得出的結(jié)論。

歸納總結(jié)：（1）過定點的直線，主要由斜率來確定位置，通過斜率的變化能形成直線束;（2）判斷交點個數(shù)，先要明確直線斜率與雙曲線漸近線的位置關(guān)系;（3）聯(lián)立方程組既可以判斷交點個數(shù)，又可以明確交點的坐標。

〖問題 2〗

[師]通過剛才的實驗，直線與雙曲線有哪幾種交點的情況？

[生]有三種情況，無交點，1 個交點，2 個交點。

[師]這三種情況下交點的分布有哪幾類？

[生]沒有交點，左支一個，右支一個，左支兩個，右支兩個，左右各一個。

實驗探究：過點（0，1）的直線與雙曲線 4x2-y2=4 的交點有幾種情況？請利用圖形計算器或 iPad 進行分析總結(jié)：隨著直線斜率的變化，直線與雙曲線的交點的變化情況。記錄并填入下表，并用圖形計算器演示對應(yīng)的各種圖象。

〔學生活動〕利用圖形計算器或 iPad，通過改變直線的斜率，觀察交點的變化，并進行記錄。除了以上的只有一個交點的情況外，有兩個交點的情形分別是圖 3，圖 4，圖 5，沒有交點的情況如圖 2。

按照斜率從小到大的次序歸納 k 的取值范圍與交點個數(shù)的情況，如下：

過定點（，0）的直線 l 與雙曲線 x2-2y2=2 的各種交點的情況，可通過旋轉(zhuǎn)直線 l 來實現(xiàn)（如圖 6 所示）。

歸納總結(jié)：根據(jù)圖形計算器圖象中交點的變化情況，可以發(fā)現(xiàn)交點個數(shù)按逆時針旋轉(zhuǎn)的變化，其規(guī)律為：沒有交點——右支 1 個—— 右支 2 個—— 右支 1 個—— 左右各 1 個—— 左支 1 個—— 左支 2 個—— 左支 1 個—— 沒有交點。旋轉(zhuǎn)的時候，主要是直線斜率在變化。

〖問題 3〗

學生利用之前的探究成果獨立解題，然后小組交流，檢驗學習成效。

[第（1）問]

方法一：幾何法。通過雙曲線方程可以得出定點（，0）正好是雙曲線的右頂點，通過作圖（如圖 7 所示）可以看出，直線與雙曲線相切或者與漸近線平行時都是只有一個交點，容易確定直線方程。

方法二：代數(shù)法。當直線斜率不存在時，直線 l 為 ?符合題意;當直線斜率存在時，設(shè)直線方程為 ，聯(lián)立直線與雙曲線的方程組，利用判別式等于零，即可求出直線的方程。

[第（2）問]同學們鞏固解題方法，加深對兩種方法的理解與認識。

歸納總結(jié)：通過對比發(fā)現(xiàn)，幾何法講究數(shù)形結(jié)合，通過作圖，觀察圖形變化的特點，能快速解決交點問題。代數(shù)方法則通過聯(lián)立方程組，通過二次項系數(shù)為零或者二次方程的根來確定方程組的根，進而確定交點的坐標及交點個數(shù)，兩種方法，各有優(yōu)劣。

五、教后總結(jié)

本案例是基于高中數(shù)學創(chuàng)課導學的課堂教學實踐，較為成功地展示創(chuàng)課導學“問題導向，實驗導學”的課堂教學理念。本案例依托現(xiàn)代信息技術(shù)，借助圖形計算器、iPad、希沃電子白板等工具構(gòu)建實驗平臺，圍繞課堂核心問題，創(chuàng)設(shè)讓學生“再創(chuàng)造”的數(shù)學課堂，通過開展實驗探究，把數(shù)學課堂還給學生。主要體現(xiàn)在以下三個方面：

（一）把課堂的時間還給學生。高中數(shù)學創(chuàng)課導學以幫助學生解惑、提升學生數(shù)學素養(yǎng)為根本任務(wù)。在本案例中，“創(chuàng)課”從設(shè)置系列背景問題開始，借助實驗工具，通過實驗、演示、推導，不斷讓學生動手實踐。學生在實踐過程中動腦、動心、動情、動手，并在探究過程中掌握類比、觀察、猜想等學習方法。在導學過程中，始終將學生置于研究者、探索者的位置。學習探索需要過程，有過程就需要時間。在學生進行主動探索、合作探究中，我們既要確保學生學習的時間，又要把學習的主動權(quán)還給學生，從而使學生的數(shù)學知識得到增加，數(shù)學能力得到提高。

（二）把課堂的空間還給學生。高中數(shù)學創(chuàng)課導學以“問題導向，實驗導學”為設(shè)計理念，重視科學思想和數(shù)學方法的引導。在本案例的課堂教學過程中，讓學生經(jīng)歷遇到實際問題、創(chuàng)設(shè)情境、實驗探究、小組合作、歸納結(jié)論等過程，使學生靈活運用觀察、分析、歸納等科學方法。學生圍繞“問題”“實驗”探究的過程是一個主動參與課堂學習的過程，有實踐、有交流、有質(zhì)疑、有展示、有體驗，在規(guī)律形成的總結(jié)中發(fā)展了學生的思維空間，在實驗成果的匯報中鍛煉了學生的表現(xiàn)空間。

（三）把課堂的個性還給學生。高中數(shù)學創(chuàng)課導學注重培養(yǎng)學生的個性化思維。創(chuàng)課導學的課堂教學過程提倡的是充分調(diào)動學生的學習積極性，發(fā)揮學生的自主能動性。在本案例的教學中，圍繞核心問題，開展實驗探究。學生動手操作，并經(jīng)歷獨立思考、獨特感悟、自由聯(lián)想、自由表達的過程。實驗探究的過程，既是交流合作的過程，又是知識生成的過程。在這個過程中，會有問題分析的異中求同，也會有問題解決的成功體驗，學生的個性化思維得到發(fā)展，使學生在實驗中感悟思想，在體驗中建構(gòu)知識。

【參考文獻】

[l]唐劍嵐，黃一娉，黃夢遠.基于5E學習環(huán)和HP工具的數(shù)學實驗創(chuàng)課設(shè)計：以《函數(shù)圖象變換》的教學為例[J].數(shù)學周報，2016（9）.

[2]弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學[M].上海：上海教育出版社，1995.

（責編 盧建龍）