王振恒

【摘要】“分數(shù)除法”一直是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重難點。許多學(xué)生只是單純記住分數(shù)除法的計算方法，卻對其背后的算理并不理解，甚至不少數(shù)學(xué)教師對于分數(shù)除法教學(xué)中，對“為什么要把分數(shù)除法轉(zhuǎn)化為乘法計算”也無法給予合理的解釋。它的算法有遵循的規(guī)則，但是其理論很難融合。通過連接與分數(shù)有關(guān)的概念并使用直觀圖形表示，教師可以促進學(xué)生對算理的理解。

【關(guān)鍵詞】分數(shù)除法;多元表征;算理

在大量研究中，大多數(shù)學(xué)生僅記得分數(shù)除法的算法，卻并未真正搞懂其所依托的算理。因此，當涉及分數(shù)除法時，學(xué)生通常是一團糟。人教版教材中已經(jīng)出示多種證明的方式，但由于編排順序、例題跨度、教學(xué)方法缺乏統(tǒng)一性等諸多客觀原因，使得教師在實際教學(xué)中難以有效實現(xiàn)編者的教學(xué)意圖。因此筆者結(jié)合人教版分數(shù)除法教學(xué)內(nèi)容，探討如何有效利用教材，提升學(xué)生分數(shù)除法學(xué)習(xí)的有效性。

一、完善相關(guān)例題，形成層次性

從整體來看，分數(shù)除法計算法則的得出過程缺乏系統(tǒng)性。首先，計算的教學(xué)只安排了兩個例題，而蘇教版卻安排了四個例題。對比之下，教材中例題所對應(yīng)的類型雖然全面，但例題間各類型的跨度較大。其次，例2同時包含了整數(shù)除以分數(shù)、分數(shù)除以分數(shù)的算法，內(nèi)容量過大，導(dǎo)致學(xué)生無法深刻理解分數(shù)除法與分數(shù)乘法的轉(zhuǎn)換過程。分數(shù)除以分數(shù)的教學(xué)中，又直接出示了異分母分數(shù)的計算，并且教學(xué)過程中既沒有圖示，也沒有必要的算理性的說明，大多數(shù)學(xué)生只能囫圇吞棗地套用法則。

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，不僅僅需要記住規(guī)則定律，更需要通過不同的途徑對同一個問題進行探討和研究，知其然而知其所以然，在不斷發(fā)現(xiàn)、不斷總結(jié)的過程中，思想才能升華。因此教師應(yīng)當合理安排教學(xué)素材，適時做好鋪墊與拓展。教材中是把分數(shù)除以整數(shù)作為起點，在整數(shù)除以分數(shù)、分數(shù)除以分數(shù)的教學(xué)時卻比較簡略。因此，在接下來的教學(xué)建議以下表為例，做部分補充與鋪墊（表格中加粗部分的內(nèi)容，就是需要教師添加的教學(xué)素材）。

按照上表這樣的順序，能夠更有層次地學(xué)習(xí)分數(shù)除法中的各種類型，以便學(xué)生更好地理解各類型之間的聯(lián)系。

二、數(shù)形表征結(jié)合，理解計算法則

教材中多次采用了數(shù)形結(jié)合的方式，如何深入探究，挖掘其背后的價值？如何真正讓圖形發(fā)揮其應(yīng)有的作用？在數(shù)形結(jié)合的教學(xué)中，我們絕不能淺嘗輒止，要統(tǒng)一表征形式，以便學(xué)生更好地理解數(shù)與形的聯(lián)系點，從而借助圖形的直觀性，真正理解分數(shù)除法與分數(shù)乘法的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

例1中的分數(shù)除以整數(shù)，都采用了條形圖的形式進行表示，這樣就能夠在形式上與之前的分數(shù)乘法產(chǎn)生聯(lián)系。但例2整數(shù)除以分數(shù)時，并未沿用這種形式，而是引入了線段圖的方式，并且又是以行程問題的情境出示的，其難度對于基礎(chǔ)一般的學(xué)生而言，無疑是非常大的。誠如數(shù)學(xué)家保羅·洛克哈特所言，這樣的情境對于分數(shù)除法的新授課弊大于益。筆者認為，用簡單的平均分問題代替，會讓學(xué)生的關(guān)注點更集中。而在分數(shù)除以分數(shù)中，教材并未探究圖形的表示方法，而這恰恰是學(xué)生知識技能的難點，需要教師適時地幫助突破。

在大量研究中，大多數(shù)學(xué)生僅記得分數(shù)除法的算法，卻并未真正搞懂其所依托的算理。因此，當涉及分數(shù)除法時，學(xué)生通常是一團糟。人教版教材中已經(jīng)出示多種證明的方式，但由于編排順序、例題跨度、教學(xué)方法缺乏統(tǒng)一性等諸多客觀原因，使得教師在實際教學(xué)中難以有效實現(xiàn)編者的教學(xué)意圖。因此筆者結(jié)合人教版分數(shù)除法教學(xué)內(nèi)容，探討如何有效利用教材，提升學(xué)生分數(shù)除法學(xué)習(xí)的有效性。

一、完善相關(guān)例題，形成層次性

從整體來看，分數(shù)除法計算法則的得出過程缺乏系統(tǒng)性。首先，計算的教學(xué)只安排了兩個例題，而蘇教版卻安排了四個例題。對比之下，教材中例題所對應(yīng)的類型雖然全面，但例題間各類型的跨度較大。其次，例2同時包含了整數(shù)除以分數(shù)、分數(shù)除以分數(shù)的算法，內(nèi)容量過大，導(dǎo)致學(xué)生無法深刻理解分數(shù)除法與分數(shù)乘法的轉(zhuǎn)換過程。分數(shù)除以分數(shù)的教學(xué)中，又直接出示了異分母分數(shù)的計算，并且教學(xué)過程中既沒有圖示，也沒有必要的算理性的說明，大多數(shù)學(xué)生只能囫圇吞棗地套用法則。

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，不僅僅需要記住規(guī)則定律，更需要通過不同的途徑對同一個問題進行探討和研究，知其然而知其所以然，在不斷發(fā)現(xiàn)、不斷總結(jié)的過程中，思想才能升華。因此教師應(yīng)當合理安排教學(xué)素材，適時做好鋪墊與拓展。教材中是把分數(shù)除以整數(shù)作為起點，在整數(shù)除以分數(shù)、分數(shù)除以分數(shù)的教學(xué)時卻比較簡略。因此，在接下來的教學(xué)建議以下表為例，做部分補充與鋪墊（表格中加粗部分的內(nèi)容，就是需要教師添加的教學(xué)素材）。

按照上表這樣的順序，能夠更有層次地學(xué)習(xí)分數(shù)除法中的各種類型，以便學(xué)生更好地理解各類型之間的聯(lián)系。

二、數(shù)形表征結(jié)合，理解計算法則

教材中多次采用了數(shù)形結(jié)合的方式，如何深入探究，挖掘其背后的價值？如何真正讓圖形發(fā)揮其應(yīng)有的作用？在數(shù)形結(jié)合的教學(xué)中，我們絕不能淺嘗輒止，要統(tǒng)一表征形式，以便學(xué)生更好地理解數(shù)與形的聯(lián)系點，從而借助圖形的直觀性，真正理解分數(shù)除法與分數(shù)乘法的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

例1中的分數(shù)除以整數(shù)，都采用了條形圖的形式進行表示，這樣就能夠在形式上與之前的分數(shù)乘法產(chǎn)生聯(lián)系。但例2整數(shù)除以分數(shù)時，并未沿用這種形式，而是引入了線段圖的方式，并且又是以行程問題的情境出示的，其難度對于基礎(chǔ)一般的學(xué)生而言，無疑是非常大的。誠如數(shù)學(xué)家保羅·洛克哈特所言，這樣的情境對于分數(shù)除法的新授課弊大于益。筆者認為，用簡單的平均分問題代替，會讓學(xué)生的關(guān)注點更集中。而在分數(shù)除以分數(shù)中，教材并未探究圖形的表示方法，而這恰恰是學(xué)生知識技能的難點，需要教師適時地幫助突破。

如何更好地解決這些難點，筆者認為可以弱化情境，由分數(shù)意義出發(fā)進行探究，并統(tǒng)一用條形圖進行表示。如上表中所提，先教學(xué)整數(shù)除以幾分之一，從例1的分數(shù)的意義“包含除”入手，4÷看作求4里面有幾個，則可以直觀求得8個。同時也可以從除法的意義入手，4÷看作一個數(shù)的（一半）是4，求這個數(shù)。

至此，通過多元化的表征形式，從算法到算理，構(gòu)成了一個完整的知識結(jié)構(gòu)。不僅如此，因為學(xué)生已經(jīng)有了之前的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，相信能夠更容易理解分數(shù)除法與四則運算的緊密聯(lián)系，同時通過通分法與顛倒相乘法的對比，明白數(shù)學(xué)中的許多運算法則其本質(zhì)都是人為的一種選擇。當下分數(shù)除法計算教學(xué)中，將分子分母顛倒相乘的計算法則，只是一種合適的數(shù)學(xué)選擇。

【參考文獻】

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[3]王琳. 海峽兩岸小學(xué)數(shù)學(xué)教科書的比較分析[D]. 天津師范大學(xué)，2012.

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