【摘?要】為讓每一個學生在課堂獲得不同程度的提升，教師在課堂教學中要有分層教學的意識和智慧、分類指導的設計和舉措，以及多維評價的理念和行動，落實因材施教的教學原則，追求有梯度的課堂。

【關鍵詞】分層教學;因材施教;多維評價;有梯度的課堂

【作者簡介】戴啟猛，正高級教師，廣西特級教師，廣西八桂教育家搖籃工程學員，廣西師范大學教育學部特聘研究員，現(xiàn)任南寧市教育科學研究所所長。

到了初中階段，學生在數(shù)學學習中的個體差異逐漸顯現(xiàn)出來，且出現(xiàn)較大的差距，這就要求教師在課堂教學中要有分層教學的意識和智慧，分類指導的設計和舉措，多維評價的理念和行動，追求有梯度的課堂，以幫助每一個學生在課堂中獲得不同程度的提升，體會自己的獨特和精彩。

一、分層教學，分類指導，追求有梯度的課堂

分層教學是指教師根據(jù)學生現(xiàn)有的知識、能力水平和潛力傾向，把學生科學地分成水平相近的群體并區(qū)別對待，這些群體應在教師恰當?shù)姆謱硬呗院拖嗷プ饔弥械玫阶詈玫陌l(fā)展和提高。因此，分層教學又稱分組教學、能力分組，學生按照智力測驗分數(shù)和學業(yè)成績分成不同水平的班組，教師根據(jù)不同班組的實際水平進行教學。

在教學資源緊缺的地區(qū)，筆者認為分層教學不是西方發(fā)達國家已經(jīng)實施的分層走班模式，而是應在現(xiàn)有的教學行政班內，從各個層次學生的實際出發(fā)，通過確定不同層次的目標，進行不同層次的教學、輔導和檢測，使每個學生都得到充分的發(fā)展?；蚴窃诰唧w的教學中實施“分層互動”的教學模式。這種“分層”是一種隱性的分層，教師要通過調查和觀察，掌握班級內每個學生的學習狀況、知識水平、愛好特長及社會環(huán)境，將學生按照心理特點分組，形成一個個學習群體。利用小組合作學習和成員之間的互幫互學形式，充分調動師生和學生之間的積極性，為每個學生創(chuàng)造整體發(fā)展的機會。特別是對于學生間的人際互動，教師應利用學生層次的差異性與合作意識，形成有利于每個成員協(xié)調發(fā)展的集體力量。筆者以人教版數(shù)學九年級上冊“圓周角”教學為例，談談自己的一些做法和體會。

（一）從學生實際出發(fā)，確定不同層次的教學目標

通過課堂觀察和分析，筆者將教授班級的學生分成三種類型：一是學習基礎較好、思維敏捷的學生，他們對之前學習圓的有關性質及圓心角等知識掌握得比較扎實，對接下來圓周角概念以及分類證明的學習有比較強的信心;二是學習基礎一般的學生，他們需要跟著教師的教學思路進行學習，對分類證明圓周角定理、為什么要分類證明、怎么分類等問題的理解有一定難度;三是學習基礎較差的學生，他們不但對前面所學的知識掌握不牢，而且對于直線型有關角的概念的認識也比較模糊。初中數(shù)學“四度六步”教學法[1]的“溫故”（復習提問，溫故孕新）和“引新”（創(chuàng)設情境，引入課題）環(huán)節(jié)就是從學生實際出發(fā)，在實踐架構的層面為分層教學做好鋪墊，讓學生的認識更清晰、更完整，喚醒學生記憶潛能，提高學習興趣。

（二）照顧不同層次學生需求，精心設計教學內容

為了照顧不同層次學生的學習需求，首先，教師以“畫一個圓心角”引導學生回顧圓心角的特征，然后提出問題“如圖1，圓心角可以看成是哪些簡單的幾何圖形疊加在一起？”，引導學生根據(jù)角的要素進行描述，以訓練學生對圖形刻畫與文字描述兩種數(shù)學語言的相互轉換。接著，教師用幾何畫板引導學生思考“既然圓心角是角與圓的一種特殊疊加，那么在同一個圓中的兩個相等的圓心角（如圖2中的∠BOA與∠B′O′A′），將其中一個角繞圓心旋轉會出現(xiàn)什么情況？”，借此復習同圓或等圓中相等的弧、弦、圓心角的關系定理，從而為后續(xù)學習圓周角定義和認識圓周角中角與圓的聯(lián)系做好鋪墊。最后，教師向學生追問“如果我們單純地從疊加角度來研究圖形，你認為將角和圓這兩個基本圖形進行疊加后，除了角的頂點與圓心重合，還可以把角的頂點放在哪里？”，從而引導學生動手將圓與角疊加后可能出現(xiàn)的圖形（注意要有重疊）盡可能地畫出來。同時，創(chuàng)設情境“老師在課前也做了準備，畫出了圓與角疊加后可能出現(xiàn)的圖形（如圖3），現(xiàn)在請同學們比較一下，你畫的和老師畫的有沒有不一樣的地方？”，以此引發(fā)學生積極討論，并歸納出圖3-b的獨特之處，從而自然地引入課題，輕松把握圓周角的特征，進而讓學生理解圓周角的定義。

本節(jié)課通過復習圓心角定義，從角的構成要素和疊加圖形的視角關注圓與角的聯(lián)系，類比遷移生成圓周角的概念。在接下來的圓周角定理學習中，教師引導學生關注圓與圓周角疊加時，角兩邊與圓的兩個交點將確定一段弧，而該弧與圓周角存在對應關系。類比同圓或等圓中相等的弧、弦、圓心角的關系定理，自然感受圓周角與其所對應弧之間的密切聯(lián)系，然后再通過猜想、證明、應用等，加深對圓周角概念及其性質的理解。

因此，筆者在“溫故”（復習提問，溫故孕新）和“引新”（創(chuàng)設情境，引入課題）環(huán)節(jié)的教學設計，往往是換個角度、換個方式呈現(xiàn)前一課學習的主要內容，設計指向與新知有關聯(lián)的知識情境，為新知學習做鋪墊。教師要有分層教學的意識、因材施教的理念，實現(xiàn)教學內容的梯度設計、教學問題的分層思考，讓每一個學生都能在課堂中體會自己不一樣的精彩。

二、靈活追問，變式深化，追求有梯度的課堂

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出，教師應成為學生學習活動的組織者、引導者、合作者，為學生的發(fā)展提供良好的環(huán)境和條件。教師的組織作用主要體現(xiàn)在兩個方面：第一，教師應準確把握教學內容的數(shù)學實質和學生的實際情況，確定合理的教學目標，設計合適的教學方案;第二，在教學活動中，教師要選擇適當?shù)慕虒W方式，因勢利導、適時調控，努力營造師生互動、生生互動的課堂氛圍，形成有效的學習活動。教師的引導作用主要體現(xiàn)在通過恰當?shù)膯栴}，或者準確、清晰、富有啟發(fā)性的講授，引導學生積極思考，激發(fā)學生的好奇心;通過恰當?shù)臍w納和示范，使學生理解知識、掌握技能、積累經(jīng)驗、感悟思想;關注學生的差異，用不同層次的問題或教學手段，引導每一個學生都能積極參與學習活動，提高教學活動的針對性和有效性。這就要求教師在課堂教學中，精心設計教學活動和問題，通過靈活追問、變式深化，逐步趨向對數(shù)學知識本質的理解。

（一）由表及里，靈活追問

古人云：“善問者，如攻堅木，先其易者，后其節(jié)目。”課堂追問藝術亦是如此，首先從簡單開始，然后逐步深入滲透。教師在教學中要反復實踐、不斷完善，靈活運用追問方式，選擇和抓住有利時機，以追問形式激發(fā)學生學習興趣，引導學生深入思考，挖掘學生的思維潛能，讓課堂妙趣橫生、趣味無窮[2]。課堂追問是一種有效的教學組織形式，它是聯(lián)系教師、學生和教材的紐帶，是激發(fā)學生學習興趣、啟發(fā)學生深入思考、引導學生解決問題、檢驗學生學習效果的有效手段。具體做法如下。[3]

1有的放矢，以追問激發(fā)思維的廣度

新課程標準提倡師生互動，要求學生主動參與課堂，在課堂中培養(yǎng)學生自主學習意識和探究能力。追問就是教師激發(fā)學生學習興趣，吸引學生積極參與的重要途徑。然而，追問必須要注重質量。有的教師為了營造課堂氣氛，調動學生積極性，追問連續(xù)不斷，但追問的內容質量并不高。因此，課堂追問要避免熱熱鬧鬧流于表面，而應追求真正實效。即教師的追問不在多，而在精;不在形式，而在質量。筆者以人教版數(shù)學八年級上冊“三角形的內角”教學為例，在引導學生如何證明“三角形內角和等于180°”時，進行如下追問的教學設計。

師：請同學們認真對照圖形想一想本題已知什么，求證什么。

生：已知△ABC，求證∠A+∠B+∠C=180°。

師：請大家分別在圖上用簡單的符號標一標、畫一畫，看看有哪些信息在圖上找不到。

生：有，180°角。

師：∠A、∠B、∠C都在圖上，但是180°角在圖上找不到。那么由180°你們會聯(lián)想到什么呢？

生：平角。

師：圖上有平角嗎？如果有，那我們就可以把問題轉化為證明∠A+∠B+∠C等于這個平角。

生：沒有。

師：對，圖上沒有平角。怎么辦？

師：是否可以構造一個平角？請同學們先討論一下，然后各學習小組推薦一名同學匯報。

（教師激發(fā)學生積極參與討論，然后組織學生相互交流，如圖4的四個圖形都是學生的想法）

生1：作BC的延長線CD，如圖4-a。

生2：過點A作直線DE，如圖4-b。

師：可以作一條特殊的線嗎？

生3：可以，過點A作BC的平行線DE，如圖4-c。

生4：在BC上任取一點D，如圖4-d。

師：很好。同學們一下子想出了四種構造平角的方法。但是在這四個圖形中，哪一個圖形對我們尋找三角形的三個內角與平角的關系最有利？我們可以選擇哪一個圖形來證明？

教師引導學生利用圖4-c進行證明后，又提出一個問題：從剛才證明“三角形內角和等于180°”來看，很顯然，同學們聯(lián)想到“180°是一個平角”是證明的關鍵。請問看到“180°”除了會聯(lián)想到是一個平角，還會想到什么？于是教師引導學生通過“互為補角”把問題轉化為證明角相等，在讓學生發(fā)現(xiàn)和感悟新的證明方法的同時，再次掀起課堂研究新高潮。數(shù)學教育家斯托利亞爾在《數(shù)學教育學》一書中指出：“數(shù)學教學是數(shù)學（思維）活動的教學?！彼诹信e數(shù)學教學目的時把發(fā)展學生的思維能力放在第一位。思維是數(shù)學教學的核心問題，人們獲取或發(fā)展數(shù)學知識都是思維的結果。所以，教師通過由表及里，靈活追問的方式，逐步趨向數(shù)學知識的本質，不僅深受學生喜愛，而且是追求有梯度的課堂的有效策略。

2巧妙假設，以追問挖掘思維的深度

教學中追問的方式不拘一格，需要教師深入研讀教材，找準追問點，以有效的追問挖掘學生思維的深度。如在數(shù)學教學中，教師應引導學生通過對問題設問的情境、設問的角度和設問的方法等顯性信息，以及命題的意圖、解題的方法等隱性信息的追問，幫助學生從中挖掘題干的重要信息，從而快速、準確地解答試題。假設式追問就是常用的一種追問方法，如果在教學中能合理地使用，可以起到事半功倍的效果。

人教版數(shù)學八年級下冊有這樣一道習題：如圖5，E、F、G、H分別是正方形ABCD各邊的中點，四邊形EFGH是什么四邊形？為什么？根據(jù)學生對四邊形的認知水平，不妨對本題進行改編并采取假設式追問“如圖5，E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊的中點，欲使四邊形EFGH是菱形，請問四邊形ABCD應是什么四邊形？為什么？欲使四邊形EFGH是矩形呢？”通過這樣的改造和追問，借助分析與歸納、類比與聯(lián)想，猜想與驗證等使本來較抽象的結構能獲得相對直觀的形象解釋，能從一道習題的求解中獲得整章知識內在聯(lián)系的系統(tǒng)建構，將一些看似無處著手的問題轉化成具有規(guī)律的數(shù)學模型。

（二）變式深化，攀“梯”登“頂”

根據(jù)原上海市青浦縣數(shù)學教改實驗小組的研究成果表明，數(shù)學問題一般分解為三個基本成分：1初始狀態(tài)——問題的條件;2解決的過程——根據(jù)一定的知識和經(jīng)驗，變換問題的條件，向結論過渡;3最終狀態(tài)——問題的結論。[4]如果一道題的條件和結論都很明確，其解題過程也是學生所熟知的，那么我們將其稱為標準題。如果對標準題的三個基本成分（即問題的條件、解決的過程和問題的結論，分別用字母A、B和C表示）作改造和變化，使三個基本成分中缺少一個或兩個，而且這些成分學生不知道或不明確（即未知的成分），這樣的題目稱之為變式題。標準題、變式題與不同的教學水平相對應（見表1），其中x、y、z分別代表題目的三個未知成分。

一道題到底屬于哪一個級別，取決于教學的情況以及學習該題的學生。例如對某個班級的學生來說，這道題教師已講透徹，并且要求學生熟練掌握，那它應是標準題。對另一個班級的學生來說，這道題學生尚未接觸過，需要自己探究求解的思路，那它就是變式題。同一道題在不同的學習階段也不一樣，例如“解方程x2+x-6=0”這道題，在學生學習了求根公式之后，它是封閉性變式題（ABz型）;但在此之前求解，需要配方法或用兩個因式的積等于零的性質去求解，且求解的過程和結論事先都不明確，那就是一道開放性變式題（Ayz型）。著名的教育家和心理學家布盧姆在進行目標分類時曾經(jīng)意識到這一現(xiàn)象帶來的麻煩，他認為兩個學生解同樣的試題，一個學生以前未學過這類題目，必須應用一般原理推導結論。也就是說，達到同一分類目標，對經(jīng)驗背景不同的學生來說往往并不意味著付出了同樣的努力。由于布盧姆的分類理論僅以教學結果的外顯行為作為根據(jù)，未與教學過程中的行為及其水平聯(lián)系起來，因此無法解決這一矛盾。但筆者認為，對數(shù)學題做這樣的劃分，不僅能促成教與學水平的遞進，還能根據(jù)教學實際、把握梯度、指向知識本質設計一系列相關聯(lián)的變式習題，從而對不同學習水平的學生進行由淺入深、富有成效的訓練，發(fā)展學生的思維能力，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。

三、因材施教，多維評價，追求有梯度的課堂

因材施教是以承認人的心理的個別差異和學情為基礎的教學策略。從總體上說，就是激勵學生積極性，明確學習目標，掌握學習方法，使學生通過學習，在原有基礎上得到發(fā)展和提高。因材施教實際上就是根據(jù)學生的情況進行分層教學、分類指導，做到“幫困保底”“扶中提高”“培優(yōu)拔尖”。筆者認為，義務教育數(shù)學學科教學應樹立上不“封頂”，下要“保底”的教學理念。對待資優(yōu)生，教師應根據(jù)學生的興趣特長進行拓展、延伸、拔高，但對于學困生，教師要幫助他們掌握走向未來的必備數(shù)學學科基礎知識。一般來說，教學上的因材施教主要是以智力差異為基礎，教育上的個別對待主要是以性格差異為基礎。教師實行分層遞進教學，使因材施教得到有效的實施。在因材施教中，“幫困”可以做到“補差”，保證基本教學目標的實現(xiàn)，也就是“保底”;對于中等學生，使他們在原有的基礎上得到提高，課堂教學中，教師應設法給他們展示的機會，從而在同伴學習的成功體驗中逐步樹立學習的自信心;對待資優(yōu)生，教師應適時發(fā)揮他們“小老師”的作用，學習金字塔理論也指出，“教別人”或者“馬上應用”，是學生記憶效果最佳的教學方式。

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出，評價不僅要關注學生的學習結果，更要關注學生在學習過程中的發(fā)展和變化。應采用多樣化的評價方式，恰當呈現(xiàn)并合理利用評價結果，發(fā)揮評價的激勵作用，保護學生的自尊心和自信心。通過評價得到的信息，可以了解學生數(shù)學學習達到的水平和存在的問題，幫助教師進行總結與反思，調整和改進教學內容與教學過程。數(shù)學教學評價不但要關注學生的學習結果，比如建立課堂教學日日清、周周清、單元測、期末評測相結合的評價制度，還要關注學生在學習過程中的分析、思考、推理、判斷、假設等，從多維度及時評價，激發(fā)學生的無限潛能。教師也應通過評價給予學生自信心，使學生從一個成功走向另一個成功。

心理學家克魯切茨基曾說過，即便有最完善的教學方法，在數(shù)學能力上也總會有個別差異——一些學生更有能力，另一些學生則可能暫時能力不足。在這方面永遠不會平等。因此，數(shù)學教師應當在著力發(fā)展所有學生的數(shù)學能力，在培養(yǎng)他們對數(shù)學的興趣與愛好上，有針對性地、系統(tǒng)地做工作，全心愛護每一個學生，同時，也要適當注意數(shù)學上超常的學生，為他們布置特殊的作業(yè)，以便進一步發(fā)展他們的數(shù)學能力[5]。這也是筆者提出因材施教，多維評價，追求有梯度的課堂的價值所在。

參考文獻：

[1]戴啟猛.基于初中數(shù)學“四度六步”教學法的理論基礎與實踐架構[J].中小學課堂教學研究，2020（3）：22-26，39.

[2]戴啟猛.創(chuàng)造更加精彩的課堂：初中數(shù)學“四度六步教學法”的20年實踐與探索[J].廣西教育，2020（2）：15-19.

[3]奚小慧.有的放矢，注重梯度：淺談初中語文課堂追問藝術.文理導航[J]，2014（31）：16.

[4]青浦縣數(shù)學教改實驗小組.學會教學[M].北京：人民教育出版社，1991.

[5]克魯切茨基.中小學生數(shù)學能力心理學[M].趙裕春，李文湉，楊琦，等譯.北京：教育科學出版社，1984.

（責任編輯：陸順演）