張國治 趙佳睿

【摘?要】單元教學(xué)既是實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)多元化、教學(xué)方式多樣化、實施整合教學(xué)的有效策略，也是核心素養(yǎng)背景下的基本教學(xué)理念。整體關(guān)聯(lián)性是單元教學(xué)設(shè)計的核心要素。研究者以一道課本習(xí)題為例，依據(jù)普遍聯(lián)系的哲學(xué)原理，運用類比的方法，對“直線的法向量、點法式方程及其應(yīng)用”的高考復(fù)習(xí)課進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計，通過深度教學(xué)提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】單元教學(xué);深度教學(xué);深度學(xué)習(xí);聯(lián)系的觀點;教學(xué)反思

【作者簡介】張國治，高級教師，新青年數(shù)學(xué)教師工作室成員，全國模范教師，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究;趙佳睿，中國人民大學(xué)信息學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)在讀本科生。

【基金項目】新疆“十三五”規(guī)劃2019年度課題“高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中微專題教學(xué)法的實踐與研究”（XJKT-2020年086號）

在強(qiáng)調(diào)發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)，倡導(dǎo)教師整體把握課程能力的背景下， 課時教學(xué)設(shè)計已經(jīng)顯得捉襟見肘，單元教學(xué)設(shè)計成為突破問題的關(guān)鍵。單元教學(xué)設(shè)計立足于教材，將教材中具有內(nèi)在邏輯相關(guān)性的知識進(jìn)行整理、拆分、組合，形成完整的教學(xué)單元，有序規(guī)劃教學(xué)要素，提升教學(xué)效果[1]。高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)是對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的整體認(rèn)識，能促進(jìn)知識間的融會貫通。 因此，整體關(guān)聯(lián)性是單元教學(xué)設(shè)計的核心要素。那么，如何在單元教學(xué)中體現(xiàn)整體關(guān)聯(lián)性呢？筆者以人教A版高中數(shù)學(xué)必修2一道課本習(xí)題為例，依據(jù)普遍聯(lián)系的哲學(xué)原理，運用類比的方法，對以“直線的法向量、點法式方程及其應(yīng)用”為主題的高考復(fù)習(xí)課進(jìn)行整體關(guān)聯(lián)性的教學(xué)設(shè)計和教學(xué)反思。

一、教學(xué)設(shè)計

（一）教學(xué)引入

教師首先出示一道人教A版高中數(shù)學(xué)必修2第三章習(xí)題32 B組的習(xí)題，然后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行證明。

引例?設(shè)點P（x0，y0）在直線Ax+By+C=0上，求證這條直線的方程可以寫成A（x-x0）+B（y-y0）=0。

（證明過程略）

（二）新知形成

引例證明過程比較簡單，其潛在的價值很容易被大部分教師所忽略。正如波利亞說過，每道題都沒有完美的解法，總會遺留一些工作要做，在充分的探討總結(jié)后，總會有新的發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)這個解答，并且我們能在這個過程中深化對解答的理解。因此，在解題后，教師通過設(shè)置問題串引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行觀察分析、總結(jié)類比，讓學(xué)生能夠思考題目背后的數(shù)學(xué)思想方法，從而產(chǎn)生新的領(lǐng)悟和判斷，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

問題1：你如何給此方程命名？

該問題是建立在學(xué)生已有的知識經(jīng)驗（直線方程點斜式、斜截式、兩點式、截距式、一般式）的基礎(chǔ)上，為進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)直線方程還有另外一種更重要且非常有用的形式，為本節(jié)課整體關(guān)聯(lián)性的單元教學(xué)設(shè)計做鋪墊。教師從方程A（x-x0）+B（y-y0）=0結(jié)構(gòu)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生運用聯(lián)系的觀點聯(lián)想到兩向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，為啟發(fā)學(xué)生思考，教師可以繼續(xù)追問是哪兩個向量？它們具有怎樣的位置關(guān)系？從而得到該方程表示向量n=（A，B）與向量PM=（x-x0，y-y0）互相垂直，其中M（x，y）是直線Ax+By+C=0（以下簡稱直線l）上的動點。因為n⊥PM，故我們不妨稱n=（A，B）為直線l的一個法向量。不難得到若直線l過定點P（x0，y0）有一個法向量為n=（A，B）（A2+B2≠0），則直線l的方程為A（x-x0）+B（y-y0）=0，稱為直線l的點法式方程。接著，教師再進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生觀察直線方程的一般式Ax+By+C=0（A2+B2≠0）中，x，y前面的系數(shù)A，B的幾何意義為直線l一個法向量n的坐標(biāo)。通過以上問題的引導(dǎo)，讓學(xué)生的思維得到不斷發(fā)展，直線的法向量、點法式方程等概念也自然產(chǎn)生。

在教學(xué)中，教師要著重思考三個問題：怎么發(fā)生，怎么發(fā)展，怎么形成。一道數(shù)學(xué)題的成功解出并不是終點，而是還要進(jìn)行有效的延伸和自我提問。教師需引導(dǎo)學(xué)生不斷地探索問題背后的數(shù)學(xué)思想，讓他們養(yǎng)成對問題進(jìn)行觀察分析、歸納類比、抽象概括的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，讓他們能夠衡量解法優(yōu)劣，嘗試結(jié)論推廣，反思題目的命制意圖。

（三）知識應(yīng)用

向量是數(shù)形結(jié)合的良好載體，是聯(lián)系代數(shù)和幾何的橋梁。教師要善于運用這些聯(lián)通關(guān)系，使學(xué)生認(rèn)識到向量在整個數(shù)學(xué)知識體系中的重要作用。特別地，利用直線的法向量，往往可自然有效地解決如直線的位置關(guān)系、點到直線的距離、點關(guān)于直線的對稱、圓的切線等問題。在教學(xué)中，教師可以通過設(shè)計以下問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識應(yīng)用。

問題2：利用直線點法式方程如何求直線的其他方程？

教師引導(dǎo)學(xué)生用直線的點法式方程推導(dǎo)出其他已學(xué)的直線方程，說明其具有普適性。

問題3：利用直線法向量如何判定直線的位置關(guān)系？

要判定兩直線的位置關(guān)系，常見的解題策略是利用直線的斜率進(jìn)行判定，但無法避免繁雜的討論。 教師設(shè)計問題3，利用直線法向量判定直線的位置關(guān)系，不僅解題過程簡潔明了，而且還可以將此方法類比遷移到后續(xù)立體幾何中平面與平面位置關(guān)系的判定，凸顯數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系。

問題4：利用直線法向量如何求點到直線的距離？

教師首先讓學(xué)生思考如何求點到直線的距離。在教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生一般的解題方法是過該點作直線的垂線，寫出垂線方程后與直線方程聯(lián)立，再求解方程組得到垂足的坐標(biāo)，最后利用兩點間距離公式求垂線段的長度，即為所求點到直線的距離。這種解法較為直觀，但是運算煩瑣，并且還要分類討論直線方程的系數(shù)A，B是否為零。課本為了避免煩瑣的計算，先構(gòu)造直角三角形，再利用等面積法間接求出點到直線的距離，但仍不可避免地需要對A，B是否為零進(jìn)行討論。

若利用直線的法向量，解法更簡潔明了。如圖1，設(shè)點P（x0，y0），n=（A，B）是直線l的一個法向量，則PQ//n，即PQ=λn，故d=PQ=λn=λn。設(shè)M（x1，y1）是直線l上的任意一點，則n⊥MQ，即0=n·MQ=n·（MP+PQ）=n·MP+λn2，得λ=-n·MPn2，故d=λn=n·MPn。而n·MP=（A，B）·（x0-x1，y0-y1）=A（x0-x1）+B（y0-y1）=Ax0+By0-Ax1-By1，又點M在直線l上，故Ax1+By1+C=0，即-Ax1-By1=C，因為n·MP=Ax0+By0+C，所以d=Ax0+By0+CA2+B2。

求點到直線的距離是學(xué)生的解題難點，教師引導(dǎo)學(xué)生利用法向量和沙爾定理巧妙走出誤區(qū)，得到λ=-n·MPn2，使點到直線的距離水到渠成地求解出來。為進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生的遷移思維，教師將問題4進(jìn)行推廣。

推廣：空間點P到平面α的距離d=n·MPn，其中n是平面α的一個法向量，M是平面α內(nèi)的任意一點。

由此可見，利用法向量使得點到直線的距離問題得到有效解決。事實上，我們也可以利用法向量解決對稱問題。

問題5：利用直線法向量如何求點關(guān)于直線的對稱點？

在教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生求點P（x0，y0）關(guān)于直線l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的對稱點P′的問題，常見的思路是利用l是線段PP′的垂直平分線，構(gòu)造關(guān)于點P′坐標(biāo)的方程組獲解。但是這個方法不易推廣，且運算量大，容易出錯。教師引導(dǎo)學(xué)生探究問題5的解法，利用直線的法向量，得到P′x0-2A（Ax0+By0+C）A2+B2，y0-2B（Ax0+By0+C）A2+B2。[2]

以此類比推理，可得到曲線C：f（x，y）=0關(guān)于直線l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）對稱的曲線為C′：fx-2A（Ax+By+C）A2+B2，y-2B（Ax+By+C）A2+B2=0。

點關(guān)于直線對稱問題是教學(xué)的重點和難點，一般利用垂直和平分構(gòu)造方程解題，但缺點是不易推廣。若整體把握，利用法向量可便捷地解決對稱問題。以上教學(xué)設(shè)計既體現(xiàn)回歸課本的作用，也凸顯了單元教學(xué)的整體性，以法向量將距離和對稱問題一線串通，達(dá)到深度學(xué)習(xí)的效果。

由于圓的圓心和切點連線與該切點處的切線互相垂直，因此教師在教學(xué)中要善于引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到用法向量求圓的切線，進(jìn)而解決一般二次曲線的切線問題，問題設(shè)置如下。

問題6：如何求圓的切線方程？

在該題的求解中，學(xué)生聯(lián)想到垂直關(guān)系，利用直線的點法式方程容易得到圓O：x2+y2=r2（r>0）上點P（x0，y0）處的切線l的方程是x0x+y0y=r2。如圖2，依題意，得OP⊥l，故OP=（x0，y0）是切線l的一個法向量，學(xué)生可由直線點法式得到l：x0（x-x0）+y0（y-y0）=0，即x0x+y0y=x02+y02。又因為點P（x0，y0）在圓O上，即x02+y02=r2，所以l：x0x+y0y=r2。

接著，教師繼續(xù)向?qū)W生追問圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程結(jié)論，通過深入探究，得到下列結(jié)論。

1圓C：（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0）上點P（x0，y0）處的切線方程l：（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2。

2圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）上點P（x0，y0）處的切線方程l：x0x+y0y+Dx+x02+Ey+y02+F=0。

通過以上分析，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生得到更一般的結(jié)論。

對于二次曲線C：f（x，y）=0上點P（x0，y0）處的切線方程的替換規(guī)律是x2→x0x，y2→y0y，x→x+x02，y→y+y02，xy→y0x+x0y2。

（四）問題深化

生活中處處有類比，數(shù)學(xué)也不例外，類比在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和解題方面有著舉足輕重的作用[3]。深度教學(xué)、深度學(xué)習(xí)、單元教學(xué)倡導(dǎo)知識的結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化，故整體設(shè)計是提高課堂教學(xué)效益的重要途徑。教師可以將平面向量類比遷移到空間立體幾何，例如將直線的法向量、直線的點法式方程等概念類比推廣到空間平面，問題設(shè)置如下。

問題7：如何求平面的方程？

問題8：如何判斷兩平面的位置關(guān)系？

問題9：如何求點到平面的距離？

問題10：如何求點關(guān)于平面的對稱點？[4]

問題11：如何求球的切面方程？

教師通過設(shè)置以上問題串，讓學(xué)生類比得出平面的法向量、平面的點法式方程等概念和知識，并引導(dǎo)學(xué)生運用類比方法將法向量的應(yīng)用由平面向空間推廣。這樣的教學(xué)將中學(xué)的立體幾何與高等數(shù)學(xué)的空間解析幾何無縫對接，讓課堂既有深度也有廣度。

（五）應(yīng)用舉例

解題即建立聯(lián)系，而豐富有條理的知識儲備是解題的關(guān)鍵。教師可結(jié)合課本例題和高考試題對本主題知識的綜合應(yīng)用進(jìn)行深化和拓展。

例1 （人教A版高中數(shù)學(xué)必修2第四章42?例2）?已知過點M（-3，-3）的直線l被圓x2+y2+4y-21=0所截得的弦長為45，求直線l的方程 。

課本中沒有討論過點M的直線的斜率是否存在，而是直接設(shè)直線l的方程為y+3=k（x+3），并注明“適當(dāng)?shù)乩脠D形的幾何性質(zhì)，有助于簡化計算?！边@易給學(xué)生一種錯覺：畫圖后可判定斜率必存在而不用討論斜率存在性。倘若將所截得的弦長改為8，按課本解法就會出現(xiàn)漏解的情形，因為直線點斜式方程的前提是斜率必須存在。但若設(shè)點法式方程，上述問題便可迎刃而解。

例2（2007年高考重慶卷文科數(shù)學(xué)）?已知以F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0）為焦點的橢圓與直線x+3y+4=0有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為（??）

A32??B26??C27??D42

該題常規(guī)的解法是用待定系數(shù)法求解。設(shè)橢圓方程為x2a2+y2a2-4=1，與直線x+3y+4=0聯(lián)立解方程，依判別式Δ=0可獲解，但這樣算運算量較大，學(xué)生容易出現(xiàn)計算錯誤。若利用本文法向量的“換”的思路求橢圓的切線方程，或利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)，便有如下簡單的解題思路。

思路1：設(shè)橢圓與直線的交點為P（x0，y0），橢圓方程為x2a2+y2a2-4=1，則橢圓在點P（x0，y0）處的切線方程為xx0a2+yy0a2-4=1。與直線-x4+-3y4=1比較，得x0=-a24，y0=-3（a2-4）4，代入直線x+3y+4=0，得2a=27，故答案選C。

思路2：設(shè)橢圓與直線的交點為P，F(xiàn)1關(guān)于直線x+3y+4=0對稱的點為Q，則由橢圓光學(xué)性質(zhì)可知F2，P，Q三點共線，易得F1（-2，0）關(guān)于直線x+3y+4=0的對稱點Q（-3，-3），故橢圓的長軸長2a=QF2=（2+3）2+（0-3）2=27。答案選C。

例3（2018年高考全國Ⅱ卷文科數(shù)學(xué)）?如圖3，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點。

（1）證明：PO⊥平面ABC;

（2）點M在棱BC上，且MC=2MB，求點C到平面POM的距離。

本題考查了線面垂直的判定和點到平面的距離。第（1）問可通過線面垂直的判定定理進(jìn)行證明。第（2）問可建立空間直角坐標(biāo)系，引導(dǎo)學(xué)生類比點到直線的距離得到平面的方程及點到平面的距離，從而輕松獲解。

以上三道例題從課本例題到高考題、從平面到空間、從靜態(tài)到動態(tài)的視角，凸顯了單元教學(xué)設(shè)計的整體性、生本性。在設(shè)計例題時，教師不要只局限于直線與圓的固有單元，而要對具有某種內(nèi)在關(guān)聯(lián)性的內(nèi)容進(jìn)行分析、重組、整合并逐步形成“大單元”。由課本一道習(xí)題延伸出的法向量的概念、直線的點法式方程、二次曲線的切線方程、統(tǒng)一的距離公式等，使得二維平面和三維立體中多種繁雜的問題迎刃而解。 同時，教師通過挖掘一道課本例題的潛在價值，創(chuàng)新法向量的概念，更新了解題工具，以法向量一線串珠，為概念學(xué)習(xí)提供了較好的教學(xué)案例。

二、教學(xué)反思

本課的教學(xué)設(shè)計以法向量為主線索，從法向量的本質(zhì)出發(fā)，從知識間的邏輯關(guān)系梳理主題的脈絡(luò)，對今后的單元教學(xué)具有重要的啟示。

（一）單元教學(xué)要以課本為本

高考備考，回歸課本是明智之舉，也是行之有效的基本策略[5]。章建躍博士說：“脫離課本的教學(xué)不是好的教學(xué)。課本、課本一科之本，好的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以課本為主”。本文從一道課本習(xí)題出發(fā)，追本溯源，整體把握，凸顯了法向量的魅力。 教育家奧加涅相曾說：“必須重視很多習(xí)題潛藏著進(jìn)一步擴(kuò)展其數(shù)學(xué)功能、發(fā)展功能和教育功能的可行性?！闭n本上一些看似平淡無奇的例（習(xí)）題，卻蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法和潛在價值。單元教學(xué)通過對數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)，將數(shù)學(xué)知識有機(jī)結(jié)合，加深教師對教材的理解和掌握，從而使教師能夠充分、創(chuàng)新地運用教材。

（二）單元教學(xué)注重主題式教學(xué)設(shè)計和實施

新課程強(qiáng)調(diào)把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，注重單元教學(xué)。在教學(xué)中，教師要從一節(jié)一節(jié)的課中跳出來，進(jìn)行主題式教學(xué)（深度學(xué)習(xí)）設(shè)計和實施。 教學(xué)的重難點不是局限于對某一知識的講授，而是對主題內(nèi)容的整體把控和規(guī)劃。這種規(guī)劃不僅使每個階段的教學(xué)目標(biāo)更明晰，也使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，思想方法的一脈相承，從而完成情感的有效滲透。就如張奠宙先生所說的，數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的核心是如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)特有的教育形態(tài)，使學(xué)生體會數(shù)學(xué)的諸多價值和魅力。數(shù)學(xué)主題教學(xué)設(shè)計從宏觀角度出發(fā)，從整體上對數(shù)學(xué)教學(xué)中的各種要素進(jìn)行綜合考量，使教學(xué)效果最優(yōu)化。

（三）單元設(shè)計應(yīng)落實在深度教學(xué)中

深度教學(xué)應(yīng)對學(xué)生的思維方法進(jìn)行分析指導(dǎo)，從而提升學(xué)生數(shù)學(xué)知識和技能的教學(xué)效果。在教學(xué)中，教師應(yīng)將具體的解題方法上升到一般的思維策略，培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，使他們真正成為學(xué)習(xí)的主人。此外，深度教學(xué)還有四個重要的環(huán)節(jié)：①聯(lián)系;②問題引領(lǐng);③交流和互動;④學(xué)會學(xué)習(xí)。[6]本教學(xué)設(shè)計基于問題引領(lǐng)，運用聯(lián)系的觀點，以問題串層層遞進(jìn)，始終貫穿整個課堂始末，重視核心問題的提煉與再加工。對于學(xué)生不同的解題思路和方法，教師要善于比較與優(yōu)化，做好整體設(shè)計的開放性與細(xì)節(jié)處理的精致化，通過深度教學(xué)不斷提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。

主題單元教學(xué)既是實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)多元化、教學(xué)方式多樣化，以及實施整合教學(xué)的有效策略，也是核心素養(yǎng)背景下的基本教學(xué)理念。在教學(xué)中，教師要整體把握數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，有意識地培養(yǎng)單元意識和單元備課的習(xí)慣，自覺地把教學(xué)內(nèi)容放到單元中去全盤思考，在不斷修正中自我提升[7]。

參考文獻(xiàn)：

[1]呂世虎，吳振英，楊婷，等.單元教學(xué)設(shè)計及其對促進(jìn)數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的作用[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2016（5）：16-21.

[2]張國治.點關(guān)于直線對稱點的簡捷求法[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2012（10）：25-27.

[3]劉云章，趙雄輝.數(shù)學(xué)解題思維策略：波利亞著作選講[M].長沙：湖南教育出版社，1992.

[4]張國治.平面曲線的中心對稱與軸對稱問題[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2013（2）：31-32.

[5]張國治，程似錦，于雯青，等.探源溯流：走進(jìn)數(shù)學(xué)“尋根”之旅[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2017（2）：13-17.

[6]鄭毓信.“數(shù)學(xué)深度教學(xué)”的理論與實踐[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2019（5）：24-31.

[7]史寧中，王尚志.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）解讀[M].北京：高等教育出版社，2018.

（責(zé)任編輯：陸順演）