林淑慧 賓紅華

摘?要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》中明確提出了六大數(shù)學(xué)核心，其中包括：數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、運(yùn)算能力、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析。其中運(yùn)算能力指的是“能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力”，運(yùn)算能力在高中數(shù)學(xué)中具有基礎(chǔ)性作用，我們必須重視學(xué)生的運(yùn)算能力的培養(yǎng)，本文以“用配方法求解一元二次方程”一課教學(xué)為例，旨在滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);運(yùn)算能力;配方法;一元二次方程

一、 數(shù)學(xué)史視角下的配方法

（一）從中國數(shù)學(xué)史看配方法

我國古代第一部數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中勾股章節(jié)的第二十題：“今有邑方不知大小，各中開門，出北門二十步有木，出南門十四步，折而西行一千七百七十五步見木，問邑方幾何。”“答曰：二百五十步”其實(shí)就是解數(shù)字二次方程的問題，該二次方程是一個(gè)正系數(shù)的一次項(xiàng)在二次項(xiàng)后面，在中國古代把這樣一次項(xiàng)稱為“從法”，該題相當(dāng)于通過求二次方程的正根而解決的，另外，在《九章算術(shù)》的少廣章中也提出了開平方法，開平方法是專門為開整平方而建立的，所以比較難運(yùn)用到求解一般的一元二次方程中，這些內(nèi)容很好地體現(xiàn)了我國古代數(shù)學(xué)家卓越的理論創(chuàng)造能力，使得中國數(shù)學(xué)在理論和應(yīng)用方面都取得了巨大的成就。

以現(xiàn)在的數(shù)學(xué)來看，從二次方程到開平方法并沒有對配方的過程進(jìn)行詳細(xì)的說明和解釋，后來由于各種時(shí)代原因，明朝以后，我國數(shù)學(xué)水平低于以往朝代，許多數(shù)學(xué)家甚至看不懂先主發(fā)明的數(shù)學(xué)方法，其中就包括天元術(shù)和開平方法，試想，如果從一元二次方程到開平方法之間多一個(gè)對于“配方法”的詳細(xì)說明，如果將一元二次方程和開平方法聯(lián)系起來，就能更好的理解開平方法，也使得整個(gè)數(shù)學(xué)體系更有邏輯性和結(jié)構(gòu)性。

究其根本，我國的方程思想是由盈不足術(shù)發(fā)展而來的，方程術(shù)則使得演算進(jìn)一步程序化，使得我國古代籌算制度水平得到很大提升，但是我國古代的方程多是提供了一種呈現(xiàn)方法，是將有關(guān)信息排成行列方陣的形式，進(jìn)而通過加減相消等手段解決，也就是說，我國古代的方程實(shí)際上只是多元線性方程組，還不能算是現(xiàn)代意義上的方程。也有學(xué)者認(rèn)為，中算的代數(shù)學(xué)理論體系與西方代數(shù)學(xué)體系差異很大，在概念和方法上沒有很多共同之處。綜上所述，中國數(shù)學(xué)史上并未真正提出配方法這個(gè)概念，而直到《幾何原本》的譯文傳入中國才有了配方法這個(gè)詞。

（二）從國外數(shù)學(xué)史看配方法

在符號和代數(shù)還沒有出現(xiàn)的時(shí)代，人們一般是通過直觀的幾何圖形來解決一元二次方程問題的，據(jù)歷史學(xué)家考察，人類歷史上最早出現(xiàn)的一元二次方程是x2=A，這可以直接通過開平方法求解，其實(shí)這屬于“已知正方形的面積，求邊長的問題”，公元前兩千年左右，在古巴比倫的泥板文書中就曾出現(xiàn)過一元二次方程及其解法，在古埃及的紙草文書中也有對二次方程的記載，方程出現(xiàn)后，解決了許許多多生活中的數(shù)學(xué)問題，四大文明古國對于方程及其解法的研究都有一定的成果，方程的分類以及方程的根的問題都引發(fā)了數(shù)學(xué)家們的好勝心，促使他們潛心研究，推動(dòng)了方程的發(fā)展。

配方法一詞最早出現(xiàn)在古希臘的數(shù)學(xué)家歐幾里得的著作《幾何原本》中，其對配方法進(jìn)行了幾何意義上的定義，在幾何學(xué)的觀點(diǎn)下，配方ax2+bx=c其中x的二次方表示的是邊長為x的正方形的面積，bx表示邊長為b和x的矩形的面積，所以將配方法看成是對矩形的操作，也就是在一個(gè)幾何圖形中要將正方形x2和兩個(gè)長方形bx合并成一個(gè)更大的正方形，那么這個(gè)正方形還會(huì)缺一個(gè)角，所以要把以上方程的兩端都加上（b/x）2，這樣正好是欠缺的角的面積，這就是“配方法”的名稱的由來?！稁缀卧尽分袑τ谂浞椒ǖ膸缀谓忉專芎玫貙缀蔚脑?、方法都運(yùn)用到代數(shù)學(xué)中，體現(xiàn)了數(shù)與形的美妙結(jié)合。

公元300年左右，古希臘的丟番圖在解一元二次方程時(shí)始終知去一個(gè)正根，公元628年，在古老的印度，婆羅摩笈多在其著作《婆羅摩修正體系》中給出了一元二次方程一個(gè)根的解法，雖然他意識到負(fù)根的存在，但卻拋棄了負(fù)根和零根。

直到820年，在阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·花拉子密留下傳世之作《代數(shù)學(xué)》中，他不僅求出一元二次方程的兩個(gè)根，還給出了幾何證明，這顯然是受到歐幾里得《幾何原本》中配方法的影響，他在處理二次方程的時(shí)候極其有創(chuàng)意，出于正系數(shù)的考慮，把二次方程均劃歸為ax2=bx+c、ax2=bx、ax2=c等形式，不僅如此，他還通過具體案例進(jìn)行示范，其中對配方法的使用尤為經(jīng)典，花拉子密所舉的每一個(gè)例子，都借用圖形對方程配方的過程、步驟進(jìn)行說明，直觀形象，清晰明了，花拉子密所寫的《代數(shù)學(xué)》本名為《AL-aJbrW-ALMuabalab》該書名翻譯為整理和對比，整理一詞表示把負(fù)項(xiàng)移到方程的另一邊;對比一詞則表示把方程兩邊的同類項(xiàng)消除;由此可見，這本書名中就已經(jīng)蘊(yùn)涵著配方法的步驟，而此后代數(shù)學(xué)逐漸發(fā)展起來，數(shù)學(xué)分析逐漸嚴(yán)格化和精細(xì)化。

從方程發(fā)展過程來看，配方法仿佛是幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)之間的紐帶，使幾何和代數(shù)相互聯(lián)系又有所區(qū)別，可以說配方法使得數(shù)學(xué)家們從幾何的思想中得到解法，進(jìn)而用代數(shù)的方法解決一元二次方程，解一元二次方程的基本方法中的公式法就是由配方法推導(dǎo)而成的，求根公式的出現(xiàn)極大地簡化了一元二次方程求解問題，使得人類在方程的研究上又前進(jìn)了一大步，配方法推動(dòng)了代數(shù)學(xué)從文字?jǐn)⑹鱿蚍柎鷶?shù)的發(fā)展。

（三）從數(shù)學(xué)教育史看配方法

一元二次方程是數(shù)字教學(xué)的重要組成部分，它不僅綜合了以前所學(xué)的多方面知識，同時(shí)為進(jìn)一步的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及綜合運(yùn)用打下了基礎(chǔ)，因此，在進(jìn)行一元二次方程教學(xué)時(shí)，一方面要通過學(xué)習(xí)，鞏固、加深對已學(xué)習(xí)的數(shù)與公式以及運(yùn)算的認(rèn)識，和對已學(xué)習(xí)過的一元一次方程及其解法的認(rèn)識，同時(shí)要為今后學(xué)習(xí)二次函數(shù)、一元二次不等式、二次曲線等數(shù)學(xué)知識打好基礎(chǔ)，發(fā)揮其承前啟后的重要作用，一元二次方程的解法教學(xué)是本章節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)，配方法是推導(dǎo)公式的一般工具，配方法的產(chǎn)生有利于人們對一元二次方程的理解，配方法除了推導(dǎo)一元二次方程的求根公式以外，在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)內(nèi)容時(shí)也有廣泛的應(yīng)用。

教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)利用配方法求解一元二次方程具有什么特征，什么時(shí)候該用配方法，什么條件下利用配方法最為簡便，配方法是對數(shù)學(xué)公式的一種變形，具有定向性，是一個(gè)從繁到簡的過程，要通過配方法找到未知項(xiàng)和已知項(xiàng)之間的某種聯(lián)系，合理運(yùn)用“拆”“添”“配”“湊”等技巧完成配方。

二、 配方法的教學(xué)價(jià)值

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》中第三學(xué)段（7～9年級）的教學(xué)內(nèi)容，數(shù)與代數(shù)模塊明確提出：能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型，經(jīng)歷估計(jì)方程解的過程理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程，會(huì)用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)根和兩個(gè)實(shí)根是否相等，了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系等教學(xué)內(nèi)容，可見，一元二次方程以及解一元二次方程的方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有舉足輕重的地位，方程是各種科學(xué)技術(shù)研究中最重要的一種數(shù)學(xué)思想方法，不僅是一元一次方程知識的深化和延伸，而且為后期學(xué)習(xí)二次函數(shù)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，“能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程”這點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容是從數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)就提出并一直延續(xù)使用的內(nèi)容要求。

在一元二次方程該章節(jié)的教學(xué)中，重點(diǎn)內(nèi)容的解一元二次方程的具體解法和解一元二次方程的基本思路，求解一元二次方程有四種基本方法分別是：直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法，本章節(jié)的教學(xué)，一般先通過一些能夠直接開平方的簡單的一元二次方程，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識一元二次方程以及直接平方法，其次，引入較為復(fù)雜的一元二次方程，將其與已經(jīng)變?yōu)橥耆椒绞降囊辉畏匠踢M(jìn)行對比分析，是學(xué)生掌握配方法的基本原理并能夠利用配方法求解一元二次方程，接著，在學(xué)習(xí)了配方法的基礎(chǔ)上，利用配方法推導(dǎo)一元二次方程的求根公式，從而得到公式法，最后，討論因式分解法及其應(yīng)用。

方程的教育目標(biāo)在于培養(yǎng)廣泛的方程意識，所謂的方程意識是指在一些看起來與方程毫無關(guān)系的實(shí)際問題中，能夠主動(dòng)地運(yùn)用所學(xué)的方程知識去解決現(xiàn)實(shí)中的實(shí)際問題，這是一種行為主動(dòng)性，更是數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，方程觀的培養(yǎng)是一個(gè)長久的過程，不僅僅只是本章節(jié)的教學(xué)目標(biāo)，其實(shí)在中學(xué)階段的數(shù)學(xué)中，確定性的求解問題都能夠利用方程去解決。

配方法在整個(gè)初中數(shù)學(xué)教育體系中具有重要的作用，配方法是為求解一元二次方程而引入的一種方法，并廣泛應(yīng)用在解決一元二次方程問題中，在后期學(xué)習(xí)二次函數(shù)是也經(jīng)常用到，配方法作為最核心、最基礎(chǔ)的解一元二次方程的方法，不僅是解一元二次方程的通用方法而且可操作性很強(qiáng)。配方法是一種很重要的數(shù)學(xué)變形，它可以改變原有代數(shù)式的結(jié)構(gòu)，它不像直接開平方法對一元二次方程的公式有著較高要求，也不像十字相乘法要求各項(xiàng)有特定的系數(shù)，公式法也是由配方法推導(dǎo)衍生而成的，可以說，公式法的實(shí)質(zhì)其實(shí)是配方法，相比于公式法，配方法更具有數(shù)學(xué)的韻味。配方法的運(yùn)用最為廣泛，它常常還運(yùn)用到代數(shù)式的化簡求值以及恒等變形中。配方法是普適的，在后期二次方程求解和二次方程研究中，會(huì)多次用到，對后期學(xué)習(xí)是一種很好的鋪墊。

三、 具體教學(xué)策略探討

（一）立足基礎(chǔ)知識，構(gòu)建知識體系

初中數(shù)學(xué)的教學(xué)首先要立足于數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，在深度解析教材的前提下，可以對教材內(nèi)容加以適當(dāng)?shù)耐卣?，教師不僅要把握教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)性，而且要注重加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的教學(xué)，教學(xué)中舊知與新知相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)進(jìn)行主觀改造成數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而學(xué)會(huì)在生活中運(yùn)用數(shù)學(xué)知識去解決實(shí)際問題。

問題1：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過估算法求一元二次方程的近似解，那如何精確的求解呢？大家還記得完全平方公式嗎？誰能上臺寫一寫[形如a2+2ab+b2的叫作完全平方式，且a2+2ab+b2=（a±b）2]。

問題2：在下列各題的橫線上填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使等式成立。

設(shè)置兩個(gè)問題復(fù)習(xí)之前已經(jīng)學(xué)到過的完全平方公式，因?yàn)榕浞椒ㄕ墙⒃陂_平方法的基礎(chǔ)之上的，要建立新知識與舊知識間的聯(lián)系，依據(jù)同化理論，以此作為增長點(diǎn)而促進(jìn)新知識的學(xué)習(xí)，能夠使學(xué)生更容易理解配方法的概念，在原有的知識基礎(chǔ)之上，構(gòu)建整體內(nèi)容的知識體系

（二）培養(yǎng)學(xué)生合作探究、自主探究能力

在教學(xué)過程中要引導(dǎo)學(xué)生之間進(jìn)行合作和交流，多給學(xué)生討論和自主思考的時(shí)間，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究活動(dòng)。

如何對以下兩個(gè)方程進(jìn)行求解，這兩個(gè)方程有什么不同？請學(xué)生在小組內(nèi)進(jìn)行討論，并歸納出配方法解一元二次方程的一般步驟。

設(shè)置兩個(gè)不同的方程式求解問題，利用思維沖突激發(fā)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的興趣，促使其進(jìn)行思考。由學(xué)生進(jìn)行自主思考，解決一元二次方程，并通過小組討論，對配方法的一般解題步驟進(jìn)行歸納，在此過程中教師可以利用簡潔的提示詞進(jìn)行板書，如：“一移、二化、三配、四開”等，在將各種不同形式的公式和方程通過去分母、兩邊乘方、降次等數(shù)學(xué)方法轉(zhuǎn)化為一元二次方程來解的過程中，可以使學(xué)生受到一種事物可以轉(zhuǎn)化為另一種事物的辯證唯物主義教育，鍛煉學(xué)生的思維能力，增強(qiáng)學(xué)生的運(yùn)算能力，利用移項(xiàng)，對一元二次方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，突出體現(xiàn)了滲透轉(zhuǎn)化劃歸的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生帶著問題進(jìn)行討論，解決其中的疑難問題要學(xué)生討論共同完成，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識。

（三）注重過程教學(xué)，滲透思想方法

新課標(biāo)明確提出了學(xué)生要通過學(xué)習(xí)，要獲得必需的基本數(shù)學(xué)知識、基本數(shù)學(xué)技能、基本數(shù)學(xué)思想、基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，教師在教學(xué)過程中要注意滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，教師要在深度解析教材的情況下挖掘其中所蘊(yùn)含的核心素養(yǎng)，對教材進(jìn)行細(xì)致分析，將教材的作用和功能充分發(fā)揮出來。

運(yùn)用所總結(jié)出來的步驟解方程：3x2-6x+4=0

該方程求解，通過一移、二化、三配之后，所得方程右邊為負(fù)數(shù)，無法通過直接開平方求解，教師追問：等式兩邊在任何時(shí)候都直接開平方根嗎？請學(xué)生進(jìn)行小組討論，由小組代表進(jìn)行發(fā)言。

強(qiáng)調(diào)：必須判斷b2-4ac是否大于等于零，只有當(dāng)b2-4ac大于等于零時(shí)該方程有解，兩邊可以直接開平方求解，否則，該方程無解。

師生共同總結(jié)配方法的思路：當(dāng)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，方程的左邊配成一個(gè)完全平方式，再用平方根進(jìn)行求解的過程，我們把這種解法叫作配方法。

設(shè)置特殊的方程式，引導(dǎo)學(xué)生探索利用配方法求解一元二次方程的條件，過程中要注意強(qiáng)調(diào)直接開平方法成立的條件，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。此外，配方法可以體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的對稱美，在將一般的一元二次方程配方成完全平方公式的過程中，數(shù)學(xué)的對稱美思想體現(xiàn)得淋漓盡致。

（四）實(shí)際應(yīng)用中感悟數(shù)學(xué)價(jià)值

首先，結(jié)合生活中的實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生利用一元二次方程求最值的方法去解決，學(xué)生通過數(shù)學(xué)的角度去思考生活中的實(shí)際問題，能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，并且感受到數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，基于學(xué)生的實(shí)際生活情景設(shè)置數(shù)學(xué)問題，將數(shù)學(xué)與生活緊密聯(lián)系。其次，運(yùn)算能力的培養(yǎng)要讓學(xué)生重視運(yùn)算的最初定向，學(xué)生要能夠分析題目中所蘊(yùn)含的顯性以及隱形的條件，在把握好題目總體結(jié)構(gòu)特征的前提下，確定運(yùn)算的方向，要能夠考慮全面，并且學(xué)會(huì)運(yùn)用特殊方法加以解決或證明。最后，幫助學(xué)生理解配方法的本質(zhì)，加強(qiáng)算理，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)推理運(yùn)算能力，利用配方法解一元二次方程這節(jié)課是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的很好的契機(jī)，解一元二次方程的方法很多，配方法能更加便捷地解決問題從而有效提高解題效率，在教學(xué)時(shí)，要加強(qiáng)引導(dǎo)，讓學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)運(yùn)算技能轉(zhuǎn)化為運(yùn)算技巧。

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作者簡介：

林淑慧，賓紅華，福建省廈門市，集美大學(xué)。