王燕

[摘要]心理學家杰羅姆·布魯納曾經(jīng)提出一個觀點，如果學生掌握了最基本的數(shù)學思想方法，那么數(shù)學知識學起來將不再那么艱澀，晦澀難懂的抽象數(shù)學概念理解起來也更簡單，記憶也會更深刻，一旦記住便經(jīng)久難忘。因此，領會基本數(shù)學思想方法是實現(xiàn)知識遷移的先決條件，有了正確的數(shù)學思想作指導，遷移起來就能舉一反三、觸類旁通，使學生終生受用無窮。

[關鍵詞]植樹問題;化繁為簡;數(shù)學思想方法;可視化;操作

[中圖分類號]G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號]1007-9068（2020）32-0040-02

課程標準指出：“數(shù)學教學活動必須建立在學生的認知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎之上。教師應激發(fā)學生的學習積極性，向學生提供充分從事數(shù)學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學活動經(jīng)驗。”在數(shù)學教學中，將數(shù)學思想方法的滲透與應用作為衡量教學質量的一項重要指標，已成為數(shù)學教學評價的不成文規(guī)定。

一、初識化繁為簡的思想方法

“植樹問題”是一個經(jīng)典數(shù)學策略問題，被編排在人教版教材五年級上冊的“數(shù)學廣角”。課本第106頁出示例題：“同學們在全長100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽）。一共要栽多少棵樹？”教材示范解答時，先讓學生嘗試畫線段圖，但100米距離太長，間隔太多，畫圖操作很麻煩，可以考慮降低難度，先進行多次小數(shù)據(jù)重復試驗，探尋出規(guī)律——栽的棵數(shù)比間隔數(shù)多1，再推廣應用到100米的情況。這個過程運用了轉化的思想方法，將復雜的知識點化難為易，同時也暗含了不完全歸納法。教學時，教師要將這兩種思想方法明確地告知學生，讓學生認清自己在不自覺中運用了哪些思想方法，從而變潛意識為自主意志。

例如，研究栽行道樹問題中兩端都栽的情況，深入感受化繁為簡的數(shù)學思想方法。

例1：市政部門綠化隊要在全長1000米的城市主干道一邊栽行道樹，每隔10米栽一棵。一共需要準備多少棵行道樹？（如圖1）

師：請你們幫市政部門預算所需樹苗的數(shù)量。

（學生獨立解題，發(fā)現(xiàn)了多種預算方案）

師：誰能說說自己的預算方案？

師：能不能用更通俗易懂的方法來解釋你的預算方案的設計原理？

師：擺一擺、畫一畫都不失為推演問題的好辦法。那應該根據(jù)哪個數(shù)據(jù)去擺、去畫呢？

生1：應該先選取一組較小的數(shù)據(jù)來展開研究。

生2：多選幾組數(shù)據(jù)，看看栽的棵數(shù)與間隔數(shù)存在什么對應關系，總結出規(guī)律后，問題就迎刃而解了。

（小組討論）

師：哪個小組來陳述一下自己的預算方案？

師：第一小組采用的是擺一擺的方法，你贊同他們的方案嗎？

師：有沒有選用的數(shù)據(jù)比第一組還小，也研究出了相同的結果的？想一想，為什么間隔數(shù)要加17

師：誰可以說一說這個預算方案的設計原理？

師：回顧剛才解決問題的總體思路，我們大致經(jīng)歷了一個怎樣的過程？

師：同學們，把復雜的問題簡單化，從較小的數(shù)據(jù)著手進行試驗，用擺一擺、畫一畫的方法來揭示數(shù)量關系和邏輯關聯(lián)，再應用這種規(guī)律和法則去解決復雜的問題，這些就是知識以外的寶貴東西——數(shù)學思想方法。

【反思】“數(shù)學廣角”作為人教版教材的一大特色單元，其設立的初衷和宗旨就是向學生傳遞一些重要的數(shù)學思想方法，把抽象的數(shù)學思想方法巧妙地埋設在學生感興趣的、容易接受的實際問題中，學生通過試驗、觀察、分析、邏輯推理等數(shù)學活動慢慢吸收，在活動中感悟，思維能力和思想觀念齊步前進，解決問題的決策部署能力逐步形成。教學設計中，教師把數(shù)學思想方法由暗轉明，在學生經(jīng)歷了解決問題的思維訓練，對其中蘊藏的思想方法懵懵懂懂時，正面、開誠布公地點明和介紹化繁為簡的數(shù)學思想方法，鼓勵學生將這一思想方法內化吸收，作為自己的思想法寶。

二、對比循環(huán)印證思想方法

人教版教材在第107頁展示了兩端都不栽的情況，在第108頁展示了封閉路線栽樹的情況（實際上就是一端栽一端不栽）。其實，在學生具備了化繁為簡的自主意識后，這兩種情況可以合并成一個課時來講授，而且例題中不要明確標注“兩端都栽”“兩端都不栽”“一端栽一端不栽”字樣，而讓學生根據(jù)問題情境自己判斷。例如，出示例1的兩種變式例2、例3，引導學生將解決例1時學到的轉化思想進行遷移——從簡單的數(shù)據(jù)開始試驗，總結規(guī)律。最后學生對比發(fā)現(xiàn)兩端栽樹的情況不同，導致間隔數(shù)與植樹棵數(shù)之間出現(xiàn)“加1”“減1”“不加不減”的區(qū)別。

例2：同學們要到烈士陵園參加植樹活動，在英雄紀念碑前1000米的便道一邊栽行道樹，每隔10米栽一棵。一共需要準備多少棵行道樹？（如圖2）

例3：縣環(huán)保局的職工要在護城河沿岸植樹，在自來水廠和釣魚賓館之間1000米的河岸線上栽梧桐樹，每隔10米栽一棵。一共需要購買多少棵梧桐樹？（如圖3）

師：嘗試解答以上兩道例題，并說出你的解題策略。

師：例2中，同學們一共需要準備多少棵行道樹？你們解決這個問題的總體思路是什么？

（學生展示）

師：大家贊同他們的設計思路嗎？還有什么補充或困惑嗎？

生1：這個時候間隔數(shù)為什么不加1？

師：例3中，環(huán)保局一共需要準備多少棵梧桐樹？解決這個問題時，你們是怎樣決策部署的？

（學生展示）

師：大家贊同他們的設計思路嗎？還有什么補充或困惑嗎？

生2：這個時候間隔數(shù)為什么要減1？

【反思】學生在初次接觸化繁為簡的思想方法后，教師尋找問題變式，創(chuàng)設新情境，由原來的兩端都栽變?yōu)橐欢嗽砸欢瞬辉?，或兩端都不栽，條件一變再變，細節(jié)一改再改，但始終都是植樹問題的實際情境?！巴瑢W們一共需要準備多少棵行道樹？”“環(huán)保局一共需要準備多少棵梧桐樹？”等問題，帶領學生經(jīng)歷在實際生活中發(fā)現(xiàn)問題、試圖解決問題、尋找理論支撐來解釋問題，并且做出有力的論證，進而再次經(jīng)歷運用獲得的思想方法解決新問題的過程。學生一直沿著發(fā)現(xiàn)問題、明確問題、提出假設、操作驗證的軌跡循環(huán)，深刻地感受到化繁為簡的思想方法可以指導實踐，并且非常有效。

三、將數(shù)學思想方法可操作化處理

1.討論：大家合力解決了三個植樹問題，為我們的城市綠化建設和環(huán)保事業(yè)作出貢獻，真了不起！回顧一下，在經(jīng)歷解決問題的過程中，你有什么意外的收獲要分享嗎？

2.總結：我們發(fā)現(xiàn)了在一條路線上栽樹，要細分為三種情況來展開討論，不同的情況對應的方法也不同，而且學會了把復雜問題簡單化處理，歸納出通用的規(guī)律，并利用這個規(guī)律去解決復雜問題。但如果時間久了，我們遺忘了這個“加1”還是“減1”的規(guī)則，該如何是好？（現(xiàn)場擺、畫）這就是同學們學到的新方法。

【反思】學生前后經(jīng)歷了三次解決同一類型的實際問題的詳細過程，在獲得數(shù)學知識以及必要的解題技巧的同時，學生對貫穿始終的數(shù)學思想方法有了更深切的體會，甚至產生一定程度的依賴。離開了數(shù)學思想方法，學生無法在復雜多變的問題情境中保持清醒的頭腦，也無法作出正確的決策。至此，學生對數(shù)學思想方法的認識從一個模糊的、下意識的狀態(tài)升華為一個自覺自主的狀態(tài)，并清楚自己應該用什么數(shù)學思想方法來解決這類問題。在化繁為簡的指導思想下，學生明白不需要死記硬背公式，因為植樹問題里間隔數(shù)和棵數(shù)之間只存在“加1”“減1”和“不加不減”三種情況，所以當遺忘公式時，可以通過簡單的數(shù)據(jù)即時推出公式。這是一個重大收獲，是化繁為簡的數(shù)學思想方法的可操作化的體現(xiàn)。教師引導學生回顧研究過程，總結所得，既做到對知識與技能的梳理，又是對數(shù)學思想方法的變現(xiàn)。

知識與技能是數(shù)學學習的基本功，而數(shù)學思想方法則是指導性的數(shù)學觀念。數(shù)學思想方法是蘊含在數(shù)學知識產生和發(fā)展全過程的核心素養(yǎng)，一方面，教師要有意識地在引學、導學的過程中讓學生去感觸和體會;另一方面，教師也可以借助學習素材，將數(shù)學思想方法徹底展露出來，幫助學生進行二次理解，從而提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。

（責編 李琪琦）