應(yīng)方園

摘 要：在實踐中，眾多教師對“植樹問題”感到難教，多數(shù)學(xué)生感覺難學(xué)。主要問題有：學(xué)生對三種情況的理解不深刻，尤其是對什么相當(dāng)于“點”、什么相當(dāng)于“段”弄不清楚。學(xué)生不能根據(jù)植樹中的間隔情況對應(yīng)解決生活中其他的間隔問題。

關(guān)鍵詞：植樹問題；間隔排列；自主探究

一、我們的實踐

第一課時：用直觀圖理解“間隔排列”，學(xué)會用一一對應(yīng)的方法來分析兩個量之間的數(shù)量關(guān)系。

1.通過重復(fù)畫三角形和圓形，讓學(xué)生理解像一個三角形隔著一個圓形的排列就叫做間隔排列。

2.用情境圖進一步鞏固“間隔排列和一一對應(yīng)分析方法”，感悟出：首尾相同，兩種物體數(shù)量相差1；首尾不同，兩種物體數(shù)量相等。

第二課時：研究具體的植樹問題，得出棵數(shù)與間隔數(shù)是“間隔排列”的，并能用“一一對應(yīng)”的方法分析它們之間的數(shù)量關(guān)系。

提供一道“數(shù)字較小”的開放題：例1：學(xué)校計劃在一條長20米小路的一邊種樹，如果每隔5米種一棵樹，需幾棵樹呢？通過讓學(xué)生畫圖，提供直觀的研究素材，并提示思考方向，重點溝通“三種類型”的聯(lián)系。

二、怎一個難字了得

《植樹問題》是一個經(jīng)典的問題。在實踐中，眾多教師感到“植樹問題”難教，多數(shù)學(xué)生感覺難學(xué)。這是什么原因呢？

老師難教在哪里？

1.“學(xué)生一做作業(yè)就悶了！”

2.“植樹問題到底要教什么？”

學(xué)生難學(xué)在哪里？

1.學(xué)生對三種情況的理解不深刻，對于其他間隔問題不能進行數(shù)學(xué)化的抽象，尤其是對什么相當(dāng)于“點”、什么相當(dāng)于“段”弄不清楚。

2.學(xué)生不能根據(jù)植樹中的間隔情況對應(yīng)解決生活中其他的間隔問題。對于什么時候加1？什么時候減1？什么時候既不加又不減混淆不清。

3.學(xué)生只會機械使用三種方法進行計算，多數(shù)學(xué)生并不會數(shù)學(xué)分析，而是靠死板記憶，機械模仿。

三、我們上下而求索

1.版本A：用一一對應(yīng)思想解決植樹問題

環(huán)節(jié)一：自主探究

提供一道“數(shù)字較小”的開放題：元旦快到了，大家一起裝扮教室，在一條長20分米的黑板邊上，掛著燈籠和彩帶，每5分米長的彩帶掛1個燈籠?？梢話鞄讉€燈籠？

（1）讓學(xué)生畫圖，再列式計算，反饋：你是怎么掛的？明確什么和什么東西是一一間隔排列？是怎么排列的？再說說每個算式表示的含義。

（2）引導(dǎo)溝通三種掛法之間的聯(lián)系。①這幾種類型又有什么相同的地方？發(fā)現(xiàn)段數(shù)相同，可用“總長÷每段彩帶長度=彩帶段數(shù)”計算出段數(shù)。②這幾種方法有什么不同的地方呢？讓學(xué)生明白：掛的方法不同，兩端都掛，首尾都是燈籠、燈籠比彩帶多1。兩端都不掛，首尾都是彩帶，彩帶比燈籠多1。首尾不同，數(shù)量相等。

環(huán)節(jié)二：溝通本質(zhì)

思考：生活中還有哪些是一一間隔現(xiàn)象，什么可以看作樹，什么看作段？

環(huán)節(jié)三：應(yīng)用拓展

圍繞一組關(guān)于體驗高鐵時代的實際問題，讓學(xué)生思考三個問題：這些問題都有什么聯(lián)系？意在讓學(xué)生明白不管是車廂長度問題還是電線桿、時間問題都有著相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)-間隔排列。

2.版本B：用除法運算解決植樹問題

環(huán)節(jié)一：除法運算引入

出示題1：“20米，每5米分一段，共分幾段？”

孩子一下就列出了算式：20÷5=4（段）。

師：“為什么用除法來做？”

幫助他們復(fù)習(xí)用除法算式的最根本意義是平均分。

環(huán)節(jié)二：制造認(rèn)知沖突

出示題2：“20米路，每5米栽一棵樹，共栽幾棵樹？”

大部分孩子的方法是20÷5=4（棵），只有一小部分孩子有不同的想法，認(rèn)為還要再加1，是5棵，因為在0米時要種一棵。

環(huán)節(jié)三：聚焦問題本質(zhì)

追問：“這兩題一樣嗎？不一樣在哪里？”

學(xué)生通過對問題的思考，區(qū)分出平均分是一段一段分，而種樹是種在段與段之間兩端的點上。

追問：“點與段的差別在哪里？”“點多，還是段多？”“怎么多法？”

為了幫助學(xué)生理解這兩道題不同之處的實質(zhì)就必須抓住點與段的區(qū)別，學(xué)生只要弄清楚這兩個概念，那么就清楚了植樹問題是一個怎樣的問題。學(xué)生在老師的啟發(fā)下，學(xué)生漸漸明白：棵（點）=1+平均分，植樹是植在點上的。

環(huán)節(jié)四：促進學(xué)生內(nèi)化

問題1：如果把20米改成50米呢，改成100米，200米呢？你還能解決嗎？“不管換成多遠，方法都是一樣的?！?/p>

問題2：“除了植樹人把數(shù)種在點上，還有什么人把什么也放在平均分的點上？”

環(huán)節(jié)五：積極變式遷移

情境一：一頭不種。當(dāng)路的一端有一幢房子擋住了，五棵樹怎么種呢？教師與學(xué)生互動，怎么去解決碰到的問題，有學(xué)生說種在旁邊，拆房子，不種。最后的結(jié)論是，帶回一棵樹，即一頭不種-1。

情境二：兩頭不種。當(dāng)路的兩端都有房子時，則帶回兩棵樹，即兩頭不種-2。

教師追問：“除了種樹以外，什么情況下可以一頭不種，什么情況下可以兩頭不種？”通過再一次的舉例，引導(dǎo)學(xué)生知道學(xué)與用的區(qū)別，體會生活中像植樹問題用在點上的例子很多，內(nèi)化什么是樹，樹是種在點上。

參考文獻：

[1]吳正憲.聽吳正憲老師上課[M].華東師范大學(xué)出版社，2008.

[2]伊麗莎白·布魯瑞克斯.好老師因材施教的12個方法[M].中國青年出版社，2010.

編輯 孫玲娟