殷開勇

摘 要：數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)。高中數(shù)學核心素養(yǎng)包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析等六個方面。本文闡述了在數(shù)學概念的教學中，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象和建構能力以及在公式定理的教學中，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力等兩個方面的策略。

關鍵詞：數(shù)學核心素養(yǎng);數(shù)學抽象能力;邏輯推理能力

中圖分類號：G633.6 ? ? ? ? ?文獻標識碼：A

文章編號：1992-7711（2019）21-017-2

數(shù)學核心素養(yǎng)的內(nèi)涵包含了數(shù)學核心知識、核心能力與核心品質。主要由數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析這六個方面所組成。數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的最高體現(xiàn)，是學生在長期的學習過程中不斷積累養(yǎng)成的。筆者現(xiàn)談談如何培養(yǎng)學生數(shù)學抽象和建構能力和數(shù)學邏輯推理能力。

一、在數(shù)學概念的教學中，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象和建構能力

數(shù)學抽象是數(shù)學的基本思想，反映了數(shù)學的本質特征，貫穿在數(shù)學的產(chǎn)生、發(fā)展、應用的過程中。在數(shù)學教學活動中，教師應注重對學生抽象能力的培養(yǎng)，使學生養(yǎng)成一般性思考問題的習慣，更好地理解數(shù)學的概念、命題、結構和系統(tǒng)，提升學生的數(shù)學抽象能力及建構能力。

案例1 角的推廣——任意角的概念

問題1：在初中，我們已經(jīng)學過了銳角、直角、鈍角、平角等角度，而現(xiàn)實生活有些角度是不能用這些角度來表示的，大家能舉出一些例子嗎？

學生：體操中的轉體720°、時針周而復始地旋轉等。

教師：體操中的轉體還可以分為向前轉體，向后轉體，又該如何表示這類角度呢？

無論是現(xiàn)實生活中，還是研究需要，都需要將角度進行推廣。

問題2：怎樣對角的概念進行推廣呢？

通過學生自行動手作圖，教師動畫演示等，發(fā)現(xiàn)通過旋轉可以產(chǎn)生角，改變旋轉的方向可以改變角度的方向，超過360°的角度可以通過增加旋轉圈數(shù)來實現(xiàn)。進而確立“旋轉”可以形成角這個認知。

教師：旋轉方向可以是順時針方向，也可以是逆時針方向。那么，如何區(qū)分這兩種具有相反意義的旋轉量呢？

學生：可以采用類似于數(shù)可以分為正數(shù)和負數(shù)的方式來區(qū)分。

為了區(qū)分不同旋轉方向所形成的角，我們作如下規(guī)定：

按逆時針方向旋轉所形成的角叫做正角;

按順時針方向旋轉所形成的角叫做負角;

如果射線沒有做任何旋轉，那么也可以看成是一個角，叫做零角。

教師：角的概念推廣后，它就由我們熟悉的那幾個角度推廣到了任意角，它可以是正角、負角、零角。請大家自己動手作出α=390°，β=-120°。

（學生獨立作圖后互相交流、討論）

本章節(jié)的設計通過讓學生從生活中尋找與角度有關的現(xiàn)象，進而從中抽象出角度這個概念。通過規(guī)定旋轉的方向，就可以把角度擴展到正角、負角。后面學習了弧度制以后，角的度數(shù)就可以擴充到全體實數(shù)，角的概念也就推廣到了任意角。從生活到數(shù)學，從具體到抽象，學生親身經(jīng)歷了“任意角”這個概念的由來，對概念的產(chǎn)生和發(fā)展有著更直觀的認識，形成了一定的活動經(jīng)驗。

案例2 “任意角的三角函數(shù)”教學案例

情境引入：周末，小王到游樂園游玩，小王坐上半徑為r的摩天輪，摩天輪繞著其中心O按逆時針方向旋轉（旋轉角為θ）假設小王的起始位置在點A處。隨著摩天輪的轉動，小王的位置在不斷變動，如何刻畫小王在每一個瞬間的位置P呢？

（學生經(jīng)過幾分鐘思考、討論）

學生：可以以水平線為x軸，圓心O為坐標原點建立一個直角坐標系，點P可以用有序實數(shù)對（x，y）來表示。

設計意圖：隨著摩天輪的旋轉，讓學生通過直觀想象和數(shù)學抽象，可以把摩天輪抽象為一個圓，小王所在的位置抽象為圓上的一個點，這樣小王隨著摩天輪的旋轉就可以抽象為一個動點P在一個圓周上的運動。

教師：在摩天輪旋轉的過程中，哪些量在發(fā)生變化？

學生：r不變，θ，x，y發(fā)生了改變。

教師：在三個改變量中，哪一個量的改變占據(jù)著主導地位？

學生：x，y的變化是由θ的變化引起的。

教師：那么，隨著θ的變化，r，x，y之間到底有怎樣的聯(lián)系？這種情況下我們可以采用由特殊到一般的方法來觀察θ的變化是如何影響x，y的變化。比如當θ為一個銳角的時候？

學生：如圖，當θ為一個銳角時，角θ的終邊在第一象限。此時可以構建出一個直角三角形。由初中里直角三角形的邊角關系，可得：sinθ=PMOP=yr，cosθ=OMOP=xr，tanθ=PMOM=yx。

教師：很好！那么在上圖中，這幾個比值與P點在射線上的位置有關嗎？

學生：當改變P點的位置，由相識三角形的知識可知，這三個比值保持不變，所以和P點的位置是無關的，只和角θ的終邊位置有關。

教師：很好！這樣我們便可以得到銳角三角函數(shù)的定義了。由前面任意角的定義可知，射線OP不僅可以表示銳角θ的終邊，也可以表示所有第一象限角的終邊，這樣一來，我們便可以把銳角三角函數(shù)的定義推廣到所有第一象限角的三角函數(shù)了。

教師：當θ的終邊落在第二象限時，r，x，y與θ有什么關系呢？當θ的終邊落在其它兩個象限呢？

學生：當θ的終邊落在其它象限時，猜想yr，xr，yx也都只與θ的大小有關，而與點P在角θ的終邊上的位置無關。即恒有sinθ=yr，cosθ=xr，tanθ=yx。

對于學生的猜想，可以借助幾何畫板予以驗證，最終總結得出任意角θ的三角函數(shù)。

設計意圖：引領學生從最熟悉的銳角出發(fā)，借助初中里所學的直角三角形中的邊角關系，實現(xiàn)“邊長比”到“坐標比”的轉化，進而得到三個三角函數(shù)的表達式。培養(yǎng)學生的建構意識和轉化思想。由于有銳角三角函數(shù)作為鋪墊，再通過幾何畫板的演示，學生可以比較順利地進行任意角的三角函數(shù)的建構活動，將銳角三角函數(shù)推廣到任意角的情形，培養(yǎng)學生的抽象、建構、分析能力。

二、在公式定理的教學中，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力

數(shù)學邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個命題的思維過程。主要包括兩類，一類是從小范圍成立的命題推斷更大范圍內(nèi)成立的命題的推理，主要有歸納、類比;一類是從大范圍成立的命題推斷小范圍內(nèi)也成立的推理，主要有演繹推理。邏輯推理是數(shù)學思維的主要形式，是發(fā)現(xiàn)、提出數(shù)學命題以及論證命題正確與否的重要手段，也是構建數(shù)學體系的重要方式。

案例3 輔助角公式的推導

在三角函數(shù)的教學中，輔助角公式是一個極其重要的公式。在課堂教學中，可通過如下問題的解決，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力。

教師：利用兩角和與差的正余弦公式化簡

①12sinx+32cosx。

學生：可以把12，32分別改寫成cosπ3和sinπ3，所以12sinx+32cosx=cosπ3sinx+sinπ3cosx=sin（x+π3）。

教師：我們利用兩角和公式的逆運算，把同一個角的兩個不同名三角函數(shù)轉化成了同一個三角函數(shù)。

試化簡②sinx+3cosx。

學生：觀察到②式整體是①式的兩倍，

所以sinx+3cosx=2（12sinx+32cosx）=2sin（x+π3）。

教師：很好！再試試這兩個式子：③3sinx+3cosx;④5sinx+12cosx。

學生：③式可以采用類似②式的處理方法：3sinx+3cosx=3（3sinx+cosx）=3·2（32sinx+12cosx）=23sin（x+π6）。

④式和前面的不一樣，不能與特殊角度聯(lián)系起來。

教師：我們不妨猜測一下，如果④這個式子也能進行類似化簡的話，會是怎樣的一個表達式？

學生：應該也是類似的式子：5sinx+12cosx=Asin（x+θ）。

教師：我們就假設5sinx+12cosx=Asin（x+θ）吧，將等式右邊展開。

學生：Asin（x+θ）=Asinxcosθ+Acosxsinθ=5sinx+12cosx，

所以Acosθ=5，Asinθ=12，（Acosθ）2+（Asinθ）2=A2=52+122=169，所以A=13，cosθ=513，sinθ=1213。θ可以看作一個不是特殊角的銳角。

教師：很好！那形如Asinα+Bcosα這類式子是否都能進行類似的化簡呢？

學生：令Asinα+Bcosα=Csin（α+θ），將等式右邊展開運算可得C=A2+B2，cosθ=AA2+B2，sinθ=BA2+B2。

所以，Asinα+Bcosα=A2+B2sin（α+θ），其中cosθ=AA2+B2，sinθ=BA2+B2。

教師：我們推導出來的這個結論就是三角函數(shù)里一個非常重要的公式——輔助角公式。在這個推導過程中，學生經(jīng)歷了“由特殊到一般”的思維方式。在數(shù)學教學活動中，注重邏輯推理能力的培養(yǎng)，有利于學生理解一般結論的來龍去脈、形成舉一反三的能力，有利于培養(yǎng)學生的思維習慣和交流能力，有利于學生提高探究事物本源的能力。

三、反思與感悟

高中數(shù)學的核心素養(yǎng)既相互獨立，又互相交融，形成一個有機整體。對于學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，絕不是一蹴而就的事情。在課堂教學中，教師應根據(jù)教學內(nèi)容，有意識地培養(yǎng)學生的多種核心素養(yǎng)。

[參考文獻]

[1]孫宏安.談直觀想象[J].中學數(shù)學教學參考，2017（11）.

[2]李剛，楊志文.例談學生數(shù)學核心素養(yǎng)的提升，2018（05）.

（作者單位：蘇州市吳江區(qū)平望中學，江蘇 蘇州215000）