閆輝 朱海燕

[摘 ?要] 高中數學運算能力是高中數學核心內容之一. 文章以“直線與橢圓位置關系”的教學為例，分別從多種解題運算思路、深入淺出的運算方法以及針對高考設計元算程序等方面為提升學生的運算能力提供了具體策略.

[關鍵詞] 高中數學;運算能力;核心素養(yǎng)

數學運算是數學最重要的核心素養(yǎng)之一，是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養(yǎng). 主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果. 數學運算是解決數學問題的基本手段，在高考試題中，圓錐曲線問題是運算的典型題型. 尤其是直線與橢圓位置關系問題是江蘇高考的重點和難點，其考查重點就在于檢驗學生邏輯推理能力和運算求解能力. 筆者在連云港市青藍工程展示活動中上了一節(jié)微專題“直線與橢圓的位置關系”，本文以這節(jié)展示課為例談談數學運算的提升策略問題.

結合“一題多解”掌握運算法則，探究運算思路

課例1：如圖1，已知橢圓 +y2=1，過焦點F且斜率為 的直線交橢圓于A，B兩點，則線段AB的長為多少？

師：請問同學們有哪些求解線段長度的方法？

（由于課例1設置難度較低，學生們的反應比較熱烈）

生：有兩種方法，方法1是用兩點間的距離公式，設A（x1，y1），B（x2，y2），則AB= ;方法2是用弦長公式，由兩點間的距離公式轉化而來，設直線AB的方程為y=kx+b，則AB= = x2-x1= ?，將y= （x-1）代入橢圓方程 +y2=1，解之得x1+x2= ，x1·x2= ，故AB= .

師：以上用的方法具有一般性，但是同學們看看這個題目的直線自身還具有什么特點？

生：直線AB過焦點F.

師：題目的特點往往是題目的切入點，如何運用這個特點解題呢？

生：我想可以用焦半徑公式：FA=a-ex1，FB=a-ex2. 因為F，A，B三點共線，所以AB=2a-e（x1+x2）= ，這樣就簡化了運算.

師：很好，同學們很聰明，除此之外，作為理科班同學，我們能否在此基礎上進一步拓展解題的思路呢？比如在直線的方程還可以怎么表示？請同學們討論一下.

（學生一時陷入沉默，不久就有學生開始小聲討論，終于有一位學生想到了參數方程，大聲說出了自己的想法）

生：因為直線過定點，并且要求弦長，可以用直線的參數方程來求！設x=1+tcos ，y=1+tsin ，把其代入橢圓方程 +y2=1，求出t1，t2，得到AB=t1-t2= .

師：經過同學們的討論，我們得到了求解弦長的一般方法和依據直線本身特點的特殊方法，在解決問題時要根據具體問題具體分析，以便更有效地解決問題.

設計意圖：從簡單具體的實例中，學生更容易探究運算思路，在題目中設計了直線過焦點，使得題目既有特殊性又有一般性，由此產生解題思路的變化. 在邏輯推理核心素養(yǎng)的形成過程中，學生能理解數學知識之間的聯(lián)系，建構知識框架.

利用由淺入深題目合理選擇運算方法

課例2：如圖2，已知橢圓 +y2=1，過右焦點F的直線交橢圓于A，B兩點，試求線段AB的長度有哪些方法？

師：請同學討論一下，上例中哪些方法在此例中可以繼續(xù)使用？

生：好像都可以使用.

師：你能評價不同方法的優(yōu)缺點嗎？

生：方法1需要求出點的坐標，運算難度較大;方法2只需求出點的橫坐標，運算難度較低;方法3進一步利用了直線的特殊性，運算難度進一步降低;方法4用傾斜角表示弦長，方法也比較容易.

師：這位同學分析得非常精辟. 方法4用傾斜角表示弦長，雖然方法并不復雜，但是在高考實際運算中并不利于進一步求解. 當直線不經過焦點時，方法2弦長公式往往是計算弦長的首要選擇.下面請同學們動手做一下這道題.

生1上來板演：

當AB⊥x軸時，AB= .

當AB與x軸不垂直時，

設直線AB的方程為y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2）.

將AB的方程代入橢圓方程，

得（1+2k2）x2-4k2x+2（k2-1）=0，

則x1，2= ，

且AB= = = .

師：這位同學用弦長公式解得了這題答案，其他方法請同學們課后嘗試.

設計意圖：在數學運算核心素養(yǎng)的形成過程中，學生能夠進一步發(fā)展數學運算能力;能夠通過運算促進數學思維發(fā)展;在課例2中，直線由課例1中的定直線變?yōu)榱死@著焦點旋轉的動直線，那么在課例1掌握的運算方法是否可以遷移應用值得學生思考，在運算方法的合理選擇上也出現了困難，在這個波折過程中，學生獲得了運算心得.

針對高考題型設計運算程序，求得運算結果

課例3：（2015年江蘇高考試卷第18題改）已知橢圓 +y2=1，過右焦點F的直線交橢圓于A，B兩點，線段AB的垂直平分線分別交左準線和AB于點P，C，若PC=2AB，求直線AB的方程.

師：與問題2相比，高考題多了哪些環(huán)節(jié)？

生：多了兩個環(huán)節(jié)，一是需要求線段PC的長，二是需要計算方程PC=2AB.

師：請同學們討論一下PC的長度如何求解.

生：兩點間的距離公式，求出AB的中點C的坐標，根據AB與PC的垂直關系，寫出PC的直線方程，由此求出P點的坐標，最后用兩點間的距離公式求出PC的長度.

師：這個運算方法雖然可行，但是運算過程比較復雜，請問能否使用弦長公式求解？

生：恐怕不能，因為弦長公式是直線與圓錐曲線相交弦的長度.

師：那好，我們來看看在弦長公式推理中用沒用到圓錐曲線方程：

AB= = ·x2-x1= ?.

生：沒有用到，可以使用.

師：如果運用弦長公式，我們只需要求哪個坐標就可以了？

生：C點的橫坐標和P點的橫坐標，利用前面的結論和韋達定理，比較容易求出，方法簡便多了.

師：很好，請同學完成最后的運算.

生2上來板演：

當AB⊥x軸時，AB= ，又CP=3，不合題意.

當AB與x軸不垂直時，

設直線AB的方程為y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2）.

將AB的方程代入橢圓方程，

得（1+2k2）x2-4k2x+2（k2-1）=0，

則x1，2= ，點C的坐標為 ， .

若k=0，則線段AB的垂直平分線為y軸，與左準線平行，不合題意，從而k≠0.

點P的橫坐標為-2，

從而PC= ?+2.

因為PC=2AB，

所以 = ，解得k=±1.

此時直線AB的方程為y=x-1或y= -x+1.

設計意圖：化歸轉化是高中階段最重要四種思想方法之一，化歸轉化是將一個問題由難化易、由繁化簡、由復雜化簡單的過程. 與課例2相比較，課例3中出現了PC線段長度求解問題，學生在運算選擇上傾向于兩點間的距離公式，這就涉及求PC的直線方程問題，無疑增加了運算的難度.這個選擇是因為學生不清楚弦長公式的一般性，還是把弦長公式當作是相交弦情況下才能使用的結論. 通過這個課例，學生修正了運算程序. 最后通過復雜的運算求得PC=2AB的結果.

課堂小結

師：通過對本節(jié)課的學習，你有哪些收獲呢？

經過討論，師生共同總結如下：

（1）弦長公式是直線上任意兩點間距離一般性結論;

（2）弦長的求解方法，除了兩點間距離公式、弦長公式之外，還因為過焦點的特殊性，有焦半徑公式和參數方程法;

（3）高考命題在運算方法和運算程序上的選擇上需要精打細算，不能盲目求解，算中有巧，巧中有據.

本節(jié)課設計目標：本節(jié)課從特殊的試題出發(fā)，針對定直線總結出解決求解弦長的不同方法，既有對一般方法的掌握也有對焦點弦特殊性的運用，豐富了學生解題的視角，提升了運算的能力. 接著把定直線問題轉化為動直線問題，進一步揭示了運算方法選擇的合理性，逐步提升學生對數學運算的理解. 最后結合江蘇省高考題升華了學生對弦長公式的理解，學生思維上經歷了由特殊直線到一般直線，由靜到動，由特殊弦長到一般弦長的運算，通過比較、歸納和總結增強了對運算策略的理解和提升.