郭淼紅

[摘 ?要] 教師在宏觀上把握教材并根據(jù)學(xué)生的基礎(chǔ)情況、智力水平、學(xué)習(xí)需要對(duì)選擇的問(wèn)題進(jìn)行多方面的思考與設(shè)計(jì)，將其作用、探究結(jié)果、效果、與其他知識(shí)點(diǎn)和思想方法的聯(lián)系、追問(wèn)的時(shí)機(jī)、語(yǔ)言的表達(dá)等進(jìn)行斟酌、預(yù)設(shè)和實(shí)施，將每個(gè)學(xué)生的目光與注意力聚焦在問(wèn)題的“凝結(jié)核”上并獲得思維的發(fā)展.

[關(guān)鍵詞] 問(wèn)題;探究;預(yù)設(shè);生成;凝結(jié)核

案例回顧

教師展示問(wèn)題：

（1）已知鈍角三角形的三邊分別是a=k，b=k+2，c=k+4，則k的取值范圍如何？

（2）已知銳角三角形的三邊分別是a=2，b=3，c=x，則k的取值范圍如何？

解：（1）三角形兩邊之和大于第三邊，且由題意可知c>b>a，因此可得k+（k+2）>k+4，解得k>2.

又有△ABC是鈍角三角形，因此C是鈍角，由余弦定理可得cosC<0，解得2

則k的取值范圍為（2，6）.

（2）法1：當(dāng)x≤3時(shí)，b是最大邊，則最大角B是銳角，由余弦定理cosB>0，解得x> ，則

當(dāng)x>3時(shí)，c是最大邊，則最大角C是銳角，由余弦定理，解得x< ，故3

綜上所述，x的取值范圍是（ ， ）.

法2：由題意可得該三角形的三個(gè)角均為銳角，則有22+32>x2，22+x2>32，x2+32>22，解得

則x的取值范圍為（ ， ）.

學(xué)生：在鈍角三角形情況下，解決問(wèn)題時(shí)考慮了“兩邊之和大于第三邊”這一條件，但在銳角三角形情況下對(duì)這一條件為什么沒(méi)有考慮呢？若模仿（1）中的解題方法解決第（2）小問(wèn)，結(jié)果是一樣的，過(guò)程如下：當(dāng)x≤3時(shí)，則2+x>3，即x>1，此時(shí)b是最大邊，最大角B是銳角，由余弦定理cosB>0，解得x> ，故

當(dāng)x>3時(shí)，則2+3>x，即x<5，此時(shí)c是最大邊，最大角C是銳角，由余弦定理cosC>0，解得x< ，則3

綜上所述，x的取值范圍是（ ， ）.

您一直跟我們強(qiáng)調(diào)，在解決圖形問(wèn)題時(shí)首先要保證圖形是否存在，此處是忘記檢驗(yàn)了嗎？還是在銳角三角形情況下是不要檢驗(yàn)的呢？此處不去掉cosC≠1又是為何呢？

教師：鈍角三角形情況下解題需要檢驗(yàn)是一種常識(shí)，而銳角三角形和直角三角形情況下并不需要，大家在常見(jiàn)題型及其解法要點(diǎn)上要多進(jìn)行積累并學(xué)會(huì)熟練套用解法，以后在解題時(shí)根據(jù)題型與解法進(jìn)行套用求解就行了，因此，大家平時(shí)要將公式記熟并多加練習(xí)，鉆牛角尖似的無(wú)端多想是沒(méi)有多少好處的……

學(xué)生安靜且表現(xiàn)出失望.

事實(shí)上，這位學(xué)生提出的質(zhì)疑是多么可貴且值得探究?。?/p>

調(diào)查研究與反思

筆者針對(duì)知識(shí)探索的相關(guān)問(wèn)題在本班學(xué)生中進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，每個(gè)學(xué)生，尤其是優(yōu)等生在問(wèn)題來(lái)龍去脈上的探究愿望表現(xiàn)得都很明顯，對(duì)套用常規(guī)解法進(jìn)行解題的這一做法并不贊同，偶有學(xué)生對(duì)這一觀點(diǎn)較為支持，也是很少的一部分成績(jī)中等的學(xué)生，絕大部分的學(xué)生對(duì)于灌輸式教學(xué)沒(méi)有好感，認(rèn)為這種教學(xué)方式中的師生互動(dòng)太少且忽略了學(xué)生的質(zhì)疑[1].

古希臘哲學(xué)家亞里士多德早就提出過(guò)思維自驚奇和疑問(wèn)開始的著名論點(diǎn)，學(xué)生只有在懷疑中才能獲得思考并形成問(wèn)題，學(xué)生只有在提出問(wèn)題、探究問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中才能獲得新的問(wèn)題與數(shù)學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)和技巧.因此，教師應(yīng)積極引導(dǎo)、鼓勵(lì)學(xué)生提出問(wèn)題并對(duì)提問(wèn)者表示贊賞，使學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的過(guò)程中逐步提升自己的提問(wèn)能力與探究能力.

問(wèn)題探究

筆者根據(jù)以上學(xué)生的疑問(wèn)在任教班級(jí)進(jìn)行了問(wèn)題探索的引導(dǎo)與組織.

學(xué)生1：我覺(jué)得該問(wèn)題與以下問(wèn)題等價(jià)：如果a，b，c三個(gè)正數(shù)滿足a≤b≤c，若a2+b2≥c2（a2+b2c？

教師：很好，最后所得結(jié)論怎樣？如何證明呢？

學(xué)生2：當(dāng)a2+b2≥c2時(shí)，一定滿足a+b>c，當(dāng)a2+b2c，這就是在銳角三角形和直角三角形情況下不需要驗(yàn)證a+b>c的原因，因?yàn)閍2+b2≥c2包含了a+b>c. 由條件中給出的平方關(guān)系聯(lián)想三角代換方法：由a2+b2≥c2（a2+b2k≥c（不能保證a+b>c），也就是以正數(shù)a，b，c為邊的三角形一定（不一定）存在.

學(xué)生3：從不等式視角分析，當(dāng)a2+b2≥c2，能夠?qū)С鯽+b>c. 因?yàn)椋╝+b）2=a2+b2+2ab≥c2+2ab>c2，即a+b>c，反之，當(dāng)a2+b2

教師：這是化歸思想的運(yùn)用，很好，知道它的幾何意義嗎？可有其他解法？

學(xué)生4：反證法也可用，假設(shè)a+b>c不成立，即a+b≤c，則 + ≤1，因此 ， ∈（0，1），則 2+ 2< + ≤1，即a2+b2

教師：這是一個(gè)堪稱完美的證明方法，還有嗎？

學(xué)生5：向量數(shù)量積的計(jì)算中，為了方便，往往先求a·b>0（此時(shí)〈a·b〉∈0， ），去掉cos〈a·b〉=1（此時(shí)〈a·b〉=0，a，b共線同向）. 若能構(gòu)成銳角三角形，則其角的取值范圍是0， ，對(duì)應(yīng)的余弦值為（0，1），銳角和（0，1）一一對(duì)應(yīng)，這是等價(jià)條件，反證也行.

教學(xué)思考

1. 轉(zhuǎn)變教學(xué)理念勢(shì)在必行

教師的教學(xué)應(yīng)著眼于學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展而實(shí)施，學(xué)生思維發(fā)展的日益迅猛應(yīng)得到教師的充分關(guān)注，不僅如此，教師還應(yīng)及時(shí)更新教學(xué)理念并不斷補(bǔ)充新的血液，只有這樣才能使自己的教學(xué)與學(xué)生的思想完全吻合. 教師應(yīng)不斷鼓勵(lì)、引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題質(zhì)疑并因此培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生在遇到問(wèn)題時(shí)多多思考“為什么”，要充分相信學(xué)生的能力并為學(xué)生的發(fā)展搭建平臺(tái)，使學(xué)生能夠擁有盡情探究和展示的舞臺(tái)并真正成為課堂的主角. 及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生中好的想法與做法并進(jìn)行肯定以提升學(xué)生積極學(xué)習(xí)的持久動(dòng)力.

2. 熟悉課程標(biāo)準(zhǔn)

課改至今，仍有不少教師將課程標(biāo)準(zhǔn)擱置一邊，沒(méi)有新課標(biāo)引領(lǐng)且完全憑借個(gè)人經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)往往是狂講猛灌、遍地撒網(wǎng)，追求知識(shí)點(diǎn)的覆蓋與題型的全面的片面教學(xué)往往無(wú)法很好地解決學(xué)生的疑惑. 比如，“復(fù)合函數(shù)”的概念在《必修1》中并未明確刻畫，教師在實(shí)際教學(xué)中若對(duì)函數(shù)的定義域、值域、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性等概念糾纏不休，教學(xué)進(jìn)度自會(huì)受到影響，教師教學(xué)疲累卻也無(wú)法令學(xué)生理解透徹，學(xué)生在課業(yè)負(fù)擔(dān)加重的同時(shí)也會(huì)產(chǎn)生畏懼情緒. 事實(shí)上，教師如果能夠提前對(duì)新課標(biāo)的模塊化結(jié)構(gòu)進(jìn)行理解與思考，深諳教材編寫中的“螺旋上升”理念，就能更好地把握問(wèn)題的重難點(diǎn)，節(jié)約更多時(shí)間的同時(shí)也會(huì)為學(xué)生創(chuàng)造更多的探究機(jī)會(huì)，學(xué)生也會(huì)因此對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)形成更好的理解.

3. 準(zhǔn)確把握問(wèn)題的“凝結(jié)核”

學(xué)生只有明白數(shù)學(xué)概念與公式的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，才會(huì)有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情和興趣，“掐頭去尾燒中間”的教學(xué)往往令學(xué)生獲得聽(tīng)得懂、看得懂、讀得懂的局面，但面對(duì)很多具體問(wèn)題卻仍舊做不出，這就是探究缺失且滿堂灌輸?shù)膼汗?，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力沒(méi)有真正形成，自然也不能獲得良好的學(xué)習(xí)效果. 因此，教師應(yīng)研究教學(xué)內(nèi)容并精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，將每個(gè)學(xué)生的目光與注意力聚焦在問(wèn)題的“凝結(jié)核”上并對(duì)其思維進(jìn)行發(fā)散鍛煉，使學(xué)生能夠認(rèn)清問(wèn)題本質(zhì)并理解其中所蘊(yùn)含的思想方法與精神，使學(xué)生能夠在問(wèn)題探究中不斷展現(xiàn)出思維的閃光點(diǎn).

參考文獻(xiàn)：

[1] ?溫建紅. 論數(shù)學(xué)課堂預(yù)設(shè)提問(wèn)的策略[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20（3）：4-6.