楊春華

[摘 ?要] 平面幾何圖形作為高中數(shù)學(xué)考試的一個(gè)重要載體，在高考及各級(jí)各類(lèi)模擬考試中頻繁出現(xiàn)，它能有效考查學(xué)生的綜合能力.文章對(duì)一道?？荚囶}進(jìn)行解法研究，總結(jié)解法特征，歸納解題策略，感悟解法規(guī)律.

[關(guān)鍵詞] 平面幾何問(wèn)題;解題;規(guī)律;策略

平面幾何圖形作為高中數(shù)學(xué)考試的一個(gè)重要載體，在高考及各級(jí)各類(lèi)模擬考試中頻繁出現(xiàn)，它的題面一般僅與圖形有關(guān)，但考點(diǎn)豐富，設(shè)計(jì)精巧，問(wèn)題的設(shè)置往往獨(dú)具匠心，解法靈活，能有效考查學(xué)生對(duì)基本知識(shí)的掌握以及轉(zhuǎn)化和化歸的能力，給學(xué)生造成不小的挑戰(zhàn)，得分率往往很低.文章結(jié)合一道?？荚囶}，談?wù)勌幚磉@些問(wèn)題的幾個(gè)策略.

【題目】（2017臺(tái)州高三年級(jí)期末質(zhì)量評(píng)估16題）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，點(diǎn)P是其外接圓O上的任意一點(diǎn)，若a=2 ，b=c= ，則 2+ 2+ 2的最大值為_(kāi)_______.

解法研究

1. 坐標(biāo)化——適時(shí)地建系求解

建立直角坐標(biāo)系，將題中的條件坐標(biāo)化，用代數(shù)方法解決最值問(wèn)題是常用的方法.

解法1：建系角參法

以外接圓的圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)O且與BC平行方向?yàn)閤軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

則A0， ，B- ，- ，C ，- ，外接圓O的方程為x2+y2= .

設(shè)P cosα， sinα，則 2+ 2+ 2

= cosα + sinα- ?+ cosα+ ?+ sinα+ ?+ cosα- ?+ sinα+

= - sinα≤ .當(dāng)且僅當(dāng)sinα=-1時(shí)， 2+ 2+ 2取得最大值 .

評(píng)注：把幾何圖形放置在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)線(xiàn)段和有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，有了坐標(biāo)就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使得問(wèn)題得以順利解決.

2. 投影化——合理轉(zhuǎn)化向量求解

問(wèn)題中的三個(gè)向量的平方和經(jīng)過(guò)適當(dāng)轉(zhuǎn)化，變成某個(gè)動(dòng)態(tài)向量的投影問(wèn)題，結(jié)合圖形來(lái)解決最值問(wèn)題，此法形象直觀(guān)，便于理解.

解法2：由解法1可知△ABC外接圓的半徑R= .

取BC中點(diǎn)D，連接OA，OB，OC，OP，則A，O，D三點(diǎn)共線(xiàn)，且 + =2 .

在△ABC中可知，BC邊上的高AD=2，OA=R= ，所以O(shè)D=AD-OA= .

2+ 2+ 2=（ + ）2+（ + ）2+（ + ）2

=6R2- ?· cosα=6R2- ·R· cosα.

只要 在 方向上的投影最小值即可. 結(jié)合圖形，顯然當(dāng) 與 方向相反的時(shí)候，投影 cosα取得最小值-R. 所以 2+ 2+ 2最大值為 .

評(píng)注：平面向量中有關(guān)取值范圍的問(wèn)題通常有二種：一是“數(shù)化”，即將平面向量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)（通常是函數(shù)）問(wèn)題，從而借助函數(shù)來(lái)解決取值范圍和最值問(wèn)題;二是“形化”，即是利用平面向量的幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值和范圍問(wèn)題.

3. 簡(jiǎn)便化——善于應(yīng)用現(xiàn)有的結(jié)論

三角形中有許多重要的結(jié)論，熟練掌握它們對(duì)于快速解題有不可低估的作用.

解法3：應(yīng)用卡諾重心定理求解

應(yīng)用此定理可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為外接圓上一點(diǎn)到三角形重心的距離的最值問(wèn)題，考慮到△ABC是一個(gè)定三角形，重心是個(gè)定點(diǎn)，所以外接圓上的動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離的最大值是顯而易見(jiàn)的.？搖？搖

設(shè)△ABC的重心為G，連接PO，PG，則 + + =0.

2+ 2+ 2=（ + ）2+（ + ）2+（ + ）2

=3 2+ 2+ 2+ 2，因此只需要求PG的最大值.

再設(shè)△ABC的外心為O，BC的中點(diǎn)為D，設(shè)AD與△ABC的外接圓交于點(diǎn)P′，則PG≤PO+OG=OP′+OG=P′G，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P與P′重合時(shí)，P到A，B，C的距離的平方最大，所以，DP′=2R-AD= ，所以 2+ 2+ 2最大值為 2+ 2+ 2=2（BD2+DP′2）+（2R）2= .

解法4：應(yīng)用托勒密定理求解

托勒密定理具有鮮明的代數(shù)特征，是解決代數(shù)問(wèn)題的強(qiáng)有力的工具，也是數(shù)形結(jié)合的典范，通過(guò)此題可以領(lǐng)悟它們?cè)谄饰鼋滩?，解得高考試題等方面的價(jià)值.

（1）當(dāng)P在優(yōu)弧BC上時(shí)，由托勒密定理可知：BC·PA+AB·PC=BP·AC.

即2 PA+ PC= PB，所以12PA2=7（PB-PC）2，由余弦定理可知cos∠BAC= = ，所以cos∠BPC= . 在△BPC中，由余弦定理可知：

a2=PB2+PC2-2PB·PC·cos∠BPC，即PB2+PC2- ·PB·PC=12. 則PA2+PB2+PC2=PB2+PC2+ （PB-PC）2= 19·12+ -14·PB·PC=19- PB·PC≤19.當(dāng)且僅當(dāng)PB·PC=0，即P與B或者C重合時(shí)取等號(hào).

（2）當(dāng)P在劣弧BC上時(shí)，同理可得當(dāng)PA2+PB2+PC2=19+ PB·PC.

又因?yàn)镾△ABC= ·PB·PCsin∠BPC，當(dāng)S△ABC最大時(shí)，PB·PC最大，此時(shí)AP為圓的直徑. 所以PB·PC= ，PA2+PB2+PC2=19+ PB·PC≤19+ · = .

綜上可得 2+ 2+ 2最大值為 .

4. 分類(lèi)化——利用特殊位置求解

解法5：①當(dāng)P與A重合時(shí)， 2+ 2+ 2=14.

②當(dāng)P與B或C重合時(shí)， 2+ 2+ 2=19.

③當(dāng)P異于A(yíng)，B，C 時(shí)，設(shè)圓心O到PA，PB，PC的距離分別為d1，d2，d3，則PA2=4（R2-d ），PB2=4（R2-d ），PC2=4（R2-d ）.

所以 2+ 2+ 2=4×[3R2-（d +d +d ）].

要使 2+ 2+ 2最大，只要d +d +d 最小即可. 必有d1=0或d2=0或d3=0.

若d1=0時(shí)，則d2=d3= .

2+ 2+ 2=4·3× - = ;

若d2=0時(shí)，d1= ，d3= ;若d3=0時(shí)，d1= ，d2= .

2+ 2+ 2=4·3× - = .

綜上可知 2+ 2+ 2最大值為 .

近些年來(lái)，這類(lèi)題型一直是江蘇、浙江等省份的高考熱點(diǎn)題型，教師在教學(xué)中應(yīng)予以重視. 其基本題型是根據(jù)已知條件求某個(gè)變量的最值或范圍，解題思路是建立目標(biāo)函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，同時(shí)向量有著“數(shù)”與“形”的雙重身份. 解決它的另一種思路是數(shù)形結(jié)合，利用圖形的相關(guān)幾何性質(zhì)解決問(wèn)題.我們?cè)谒伎紗?wèn)題的時(shí)候，應(yīng)盡可能從數(shù)與形兩個(gè)方面進(jìn)行聯(lián)想，可以相互驗(yàn)證.