馬超

[摘 ?要] 文章以高中數(shù)學“事件的獨立性”為例，通過創(chuàng)設具體情境，師生、生生之間的探討，幫助學生理解基本概念和加深對基本概念的應用，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，引導學生能夠用數(shù)學的眼光觀察世界、用數(shù)學的思維分析世界、用數(shù)學的語言表達世界，最終將數(shù)學核心素養(yǎng)進行內化和沉淀.

[關鍵詞] 數(shù)學核心素養(yǎng);創(chuàng)設情境;數(shù)學建模

設計背景及理念

數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學，是人類文化的重要組成部分. 數(shù)學素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應該具備的基本素養(yǎng)，數(shù)學在發(fā)揮培養(yǎng)學生思維能力和創(chuàng)新能力方面起著不可替代的作用.

通過對課標的學習，筆者將數(shù)學學科核心素養(yǎng)在教學實踐中的具體實踐總結如圖1所示.

筆者希望通過創(chuàng)設實際情境——隨機摸球游戲，幫助學生通過基本活動經(jīng)驗深度理解獨立事件、互斥事件和對立事件的概念，并通過這種情境教學，發(fā)展學生數(shù)學建模、數(shù)學運算以及邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng).

教學內容分析

本部分內容在高中的整體教學安排如圖2所示.

從課程的整體安排可以看出，“事件的獨立性”是必修3中概率內容的延續(xù)，是后面二項分布和統(tǒng)計中的獨立性檢驗等的理論基礎，在整個高中概率模塊里起著承上啟下的作用.

學習者分析

（1）學生學習本課之前，已掌握古典概型的基本特征，能夠識別古典概型，并能根據(jù)實際問題構建概率模型，具備了初等數(shù)學建模，解決簡單的實際問題的能力;學生不知道的是事件獨立性的概念以及條件概率和獨立性之間的關系;通過本節(jié)課的學習，希望學生能夠理解獨立事件的基本概念，能供運用獨立事件公式和性質求解積事件發(fā)生的概率，能夠運用概率加法公式和乘法公式解決較復雜的概率問題.

（2）從數(shù)學核心素養(yǎng)角度分析，學生數(shù)學建模能力可以進一步提高，數(shù)學抽象能力需要進一步發(fā)展，學生的邏輯推理能力需要進一步提高.

（3）從認知主義心理學角度分析如圖3所示.

學習目標設計

筆者將從以下幾個方面進行學習目標設計：

（1）數(shù)學核心素養(yǎng)：通過具體情境——隨機抽球游戲的情境創(chuàng)設，達到對學生數(shù)學抽象、數(shù)學建模、邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

（2）“四基”：通過本節(jié)的學習希望學生能夠掌握基礎知識（事件的獨立性、公式、性質、古典概型、互斥事件、對立事件、條件概率、概率的加法公式和乘法公式）、基本技能（運算、推理、交流）、基本思想（數(shù)學建模、分類、特殊到一般），通過觀察、實驗、猜想、驗證、推理與交流、抽象概括、問題反思和建構等知識建構過程，參與綜合運用順序額知識、技能和方法的解決問題的過程獲得數(shù)學基本活動經(jīng)驗.

（3）“四能”：通過簡單問題——抽取一個球的實驗，觀察、發(fā)現(xiàn)、區(qū)分事件之間的關系：獨立、互斥、對立等的練習，提升學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力;通過分析復雜問題，進一步認識獨立事件和互斥事件在問題解決中的應用，分析可以解決的事件類型，找到不同的解決方案，從而提升學生分析問題、解決問題的能力.

學習活動設計

筆者將從以下五個環(huán)節(jié)進行活動設計，每一個環(huán)節(jié)都包含教的活動、學的活動以及設計意圖三部分.

環(huán)節(jié)一：情境創(chuàng)設——主題引出

（1）教的活動：（創(chuàng)設情境1）從3個紅色、2個黃色球中隨機抽取一個球. 求：①抽取到的球是紅色球的概率;②抽取到的球是1號球的概率;③在抽取到的球是紅色球的條件下，抽取到1號球的概率;④抽取到紅色1號球的概率.

這些事件之間有什么關系？這些事件的概率之間又有什么關系？

（2）學的活動：回答問題，通過簡單的問題情境——“一屬性抽一球”，到“兩屬性抽一球”，求事件發(fā)生的概率，并觀察發(fā)現(xiàn)事件之間的關系，提出猜想：①顏色對號碼的抽取沒有影響;②積事件的概率是兩個事件的概率的乘積. 并嘗試證明猜想，問題1：可以從事件本身的性質分析得到猜想正確，提出事件的獨立性;問題2：可以通過條件概率公式進行推理證明.

（3）設計意圖：通過簡單的實際情境進行觀察、發(fā)現(xiàn)并提出問題、猜想，嘗試運用已學知識解釋猜想或證明猜想. 體會事件相互獨立性的關系，提出獨立事件的概念，推導出獨立事件的公式. 提高學習數(shù)學的興趣，增強學好數(shù)學的自信心.

環(huán)節(jié)二：初步應用——概念辨析

（1）教的活動：（問題）你能否描述一些其他的事件并求出他們的概率？這些事件之間有什么關系？

（2）學的活動：從不同的角度描述不同的事件，并利用古典概型求概率;觀察發(fā)現(xiàn)事件之間的關系——對立事件、互斥事件、獨立事件.

（3）設計意圖：通過簡單事件初步應用獨立事件的公式判斷事件的獨立性，結合具體事例辨別獨立事件、對立事件、互斥事件，加深對概念的理解. 讓學生能夠在更自由的情境中發(fā)現(xiàn)、分析、解決和提出新問題.

環(huán)節(jié)三：再次體驗——領會本質

（1）教的活動：（創(chuàng)設情境2）若從3個紅色、2個黃色球中隨機抽取一個球，上述事件之間的關系會發(fā)生改變嗎？為什么？

（2）學的活動：通過概率的計算發(fā)現(xiàn)互斥事件和對立事件關系不變，但是獨立關系改變.

（3）設計意圖：以知識為載體，以問題情境為媒介，通過師生之間和學生之間的探討、研究和相互影響，幫助學生不斷、反復地經(jīng)歷從自悟到他悟，最終頓悟的過程，從而加深對數(shù)學知識的理解和新技能方法的掌握，加深數(shù)學思想的感悟和體會.

環(huán)節(jié)四：應用實踐——深度挖掘

（1）教的活動：（創(chuàng)設情境3）從3個紅色、2個黃色球中隨機抽取2個球，請你設計一個實驗（不同的抽取方式）.

請求解下列事件的概率：

A：抽取到的2個球都是紅色球;

B：抽取到的2個球都是1號球.

AB：

C：抽取到的2個球有紅色球;

D：抽取到的2個球有1號球.

CD：

E：抽取到的2個球有紅色1號球……

還能提出哪些問題？

（3）設計意圖：通過稍微較復雜事件（取“兩球一屬性”）和復雜事件（取“兩球兩屬性”）的概率求解，進一步體會事件獨立性在問題解決過程中的應用，落實“四基四能”.

環(huán)節(jié)五：總結交流——感悟升華

（1）教的活動：通過前面的活動，由學生談談對本節(jié)課在知識、方法等方面的感受.

（2）學的活動：通過回顧，總結交流知識、方法、能力等方面的感受.

（3）設計意圖：通過同伴交流，體會自悟、他悟以及頓悟的經(jīng)歷，提升數(shù)學學習的能力和興趣，幫助學生體會數(shù)學的價值，引導學生感受數(shù)學來源于生活，服務于生活，從而不斷地培養(yǎng)學生提升數(shù)學核心素養(yǎng)，教會他們用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維分析世界，用數(shù)學的語言表達世界.

教學反思與改進

（1）概率的學習是建立在學生對隨機事件的充分理解基礎之上的，本節(jié)課通過抽取小球問題情境，引導學生學會親身經(jīng)歷分析問題、提出問題、分析問題和解決問題的探索過程，這符合《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》“從學生已有生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學模型并進行解釋與應用的過程”的理念. 貼近生活的問題情境，有助于激發(fā)學生的求知欲與探索熱情，更重要的是，主動參與數(shù)學活動的經(jīng)歷會使他們終生受益，樹立正確的人生觀、價值觀.

（2）本節(jié)課在提出相互獨立性的定義之后，進一步深化了互相獨立事件的內涵，并結合具體事例強調了互相獨立事件的本質屬性.

（3）從心理學層面來看，對客觀事務的認識經(jīng)由兩個過程：先通過感覺、知覺形成觀念（表象），再通過分析、比較、抽象、概括等一系列思維活動，把事物的共同特點抽象出來形成概念. 停留在觀念層面上只是“知其然”，準確、深刻地理解概念才是“知其所以然”. 長期根植于應試的教學方式，忽視概念的教學，只是將精力放置概念的表層，直接的后果就是學生在概念面前不得要領.