郭東

摘 ?要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，精神實體比實體更為重要。精神實體確證主體存在、體現(xiàn)數(shù)學(xué)價值、彰顯學(xué)習(xí)本質(zhì)。數(shù)學(xué)教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生觸碰知識本身、知識體驗、知識探究過程中的精神實體。通過觸碰精神實體，讓學(xué)生感受、體驗精神實體的永恒絢爛。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);精神實體;學(xué)習(xí)生長

著名數(shù)學(xué)教育專家孫曉天在《關(guān)于數(shù)學(xué)課程的思考》中提出，數(shù)學(xué)教育目標(biāo)有兩個：一個是實體性目標(biāo)，另一個是精神實體目標(biāo)。所謂“實體”，是指數(shù)學(xué)知識、技能等;所謂“精神實體”，是指數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、思想方法等。實體性目標(biāo)是數(shù)學(xué)教學(xué)顯性目標(biāo)，精神實體目標(biāo)是數(shù)學(xué)教學(xué)隱性目標(biāo)。正如荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾所說：“精神實體比實體更為重要?！?/p>

一、怎樣理解“精神實體”？

“精神實體”是相對于“實體”而言的，一般來說，實體是有形的，精神實體是無形的?！皩嶓w”內(nèi)化為“精神實體”，“精神實體”外化為“實體”。實體是精神實體的表現(xiàn)，精神實體是實體的根據(jù) [1]。教學(xué)中，只有讓學(xué)生觸摸、感受、體驗到精神實體，學(xué)生才能領(lǐng)略數(shù)學(xué)課程的魅力，體悟到數(shù)學(xué)課程的博大、精妙與深邃。

1. “精神實體”確證主體的存在

從哲學(xué)視角審視，可以認(rèn)為精神實體是一種主體性永恒存在。教學(xué)中，要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識創(chuàng)生、發(fā)展和更新的全過程，孕育學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光、大腦，這就是學(xué)生的數(shù)學(xué)精神實體。精神實體確證學(xué)生主體存在且具有永恒性。這從日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國藏的話語中便可窺見一斑?！霸趯W(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識，畢業(yè)后若沒什么機會去用，一兩年后就會忘記?！ㄓ猩钌钽懣淘谛闹械臄?shù)學(xué)的精神、思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地發(fā)生作用?！笨梢赃@樣說，數(shù)學(xué)“精神實體”體現(xiàn)為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主體的“精”“氣”“神”。

2. “精神實體”體現(xiàn)數(shù)學(xué)的價值

數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是數(shù)學(xué)精神實體的重要組成，但卻不是精神實體的全部。數(shù)學(xué)的思想方法、活動經(jīng)驗是數(shù)學(xué)精神實體于有形中最為重要的投影和顯現(xiàn)。數(shù)學(xué)精神實體是數(shù)學(xué)的根本，是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)精神實體指引著數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)內(nèi)涵及其脈絡(luò)趨向。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，引導(dǎo)學(xué)生回歸數(shù)學(xué)本身，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)散發(fā)出“數(shù)學(xué)的味道”。“精神實體”要體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本味、真味，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的根本價值。

3. “精神實體”彰顯學(xué)習(xí)的本質(zhì)

在荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾看來，“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化”。弗氏深刻指出：“與其說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，毋寧說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化;與其說是學(xué)習(xí)公理，毋寧說是學(xué)習(xí)公理化;與其說是學(xué)習(xí)形式，毋寧說是學(xué)習(xí)形式化。”從這個視角來看，精神實體不是靜態(tài)、固化的，而是動態(tài)、發(fā)展的。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不斷數(shù)學(xué)化、形式化、公理化的過程就是觸碰精神實體的過程。比如學(xué)生追問知識本質(zhì)，追尋結(jié)構(gòu)脈絡(luò)、追尋蘊含的思想等過程，就是學(xué)生走入數(shù)學(xué)精神實體世界的過程。

二、怎樣讓學(xué)生觸摸到數(shù)學(xué)的“精神實體”？

數(shù)學(xué)“精神實體”是抽象、概括、上位、頂層的思想、觀念等。從學(xué)科視角看，“精神實體”是學(xué)生數(shù)學(xué)思考、探究所依賴的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)課程與教學(xué)的精髓。對于“精神實體”，我們可認(rèn)為是“將具體數(shù)學(xué)知識都忘掉以后剩下的東西”。換言之，“精神實體”是隱性的、可持續(xù)性發(fā)展的。這種精神實體，最終會體現(xiàn)在學(xué)生的成長過程之中并得到外化。正如中國科學(xué)院李大潛院士所描述的那樣，“學(xué)數(shù)學(xué)的人，他的數(shù)學(xué)觀念會比較好，他的邏輯思維能力就和普通人不一樣，講話做事比較有條理。通過學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)會變成你的習(xí)慣、修養(yǎng)、素質(zhì)，一直存留在你身上。” [2]這就是精神實體的作用。

1. 觸摸知識“精神實體”

數(shù)學(xué)知識蘊含著“精神實體”，比如數(shù)學(xué)知識點的本質(zhì)、源頭、結(jié)構(gòu)性關(guān)聯(lián)等，它們都具有隱性特質(zhì)。數(shù)學(xué)知識“精神實體”是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的骨架，對學(xué)生數(shù)學(xué)生命成長具有重要價值。對于數(shù)學(xué)知識中的精神實體的觸摸，通常不是直觀的，而是必須經(jīng)歷一個過程。從這個意義上說，觸摸精神實體是一種創(chuàng)造、一種積淀、一種傳承、一種自由。

教學(xué)《平行四邊形的面積》《三角形的面積》《梯形的面積》《圓的面積》等，盡管它們分布在不同的教材中，盡管它們轉(zhuǎn)化成的對象不同、轉(zhuǎn)化方法不同，但其間蘊含的知識形成過程是一致的，這就是“將未知圖形的面積轉(zhuǎn)化成已知圖形的面積”。對這幾個部分內(nèi)容的教學(xué)，教師要注重啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識創(chuàng)造的過程，尤其對于“三角形面積”“梯形面積”和“圓的面積”更是如此，因為“當(dāng)學(xué)生將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形”后，就能獲得一種啟迪。如筆者在教學(xué)這部分內(nèi)容時，總讓學(xué)生積極嘗試，盡管有學(xué)生探究之路非常崎嶇，盡管學(xué)生在探究路上會遭遇一些困難，但“精神實體”正是通過學(xué)生感悟而形成的。講解、灌輸只會讓學(xué)生生厭，只會消弭、泯滅學(xué)生思維、探究的興趣。在這種平面圖形的面積推導(dǎo)過程中，學(xué)生獲得的絕不僅僅是數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗、思想方法，而是精神實體。精神實體可以理解為內(nèi)隱數(shù)學(xué)知識，也可理解為緘默性知識背景、認(rèn)知取向、探究觀念、探究原理背景、價值要素等。

因此，教師應(yīng)對“壓縮化”數(shù)學(xué)知識“解壓”，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的誕生過程，讓學(xué)生感受、體驗數(shù)學(xué)知識的形成過程，從而深度洞悉數(shù)學(xué)知識的本來面目，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。這種對數(shù)學(xué)知識精神實體的觸摸，能啟迪學(xué)生的數(shù)學(xué)智慧。

2. 觸摸體驗中的精神實體

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中會產(chǎn)生一些感受、體驗，其中有些感受與體驗是積極的，有些則是消極的。積極的體驗?zāi)艽龠M(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，消極的體驗則會阻礙學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，比如學(xué)習(xí)倦怠感、無助感、無力感。對消極的學(xué)習(xí)體驗，教師要積極疏導(dǎo)。作為教師，我們應(yīng)當(dāng)嘗試站到學(xué)生的立場上去思考問題，包括學(xué)生在學(xué)習(xí)中會遇到的可能性障礙、困惑。要努力敞亮學(xué)生的想法，不能屏蔽學(xué)生的想法，從而讓學(xué)生能觸碰到體驗中的精神實體。

對于任何一個數(shù)學(xué)知識，教師不僅要追問學(xué)生“是什么”“為什么”“還可以怎樣做”等，而且要引導(dǎo)學(xué)生自我反思、追問。其實，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要培育學(xué)生的認(rèn)知能力，提升學(xué)生的認(rèn)知水平，更要發(fā)展學(xué)生的元認(rèn)知意識，提升學(xué)生的元認(rèn)知水平。學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)感受、體驗中的精神實體就包括學(xué)生的元認(rèn)知意識。只有當(dāng)學(xué)生自覺地從精神實體方面來進(jìn)行學(xué)習(xí)時，才能發(fā)展、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力。教學(xué)《解決問題的策略——假設(shè)》（蘇教版六上），當(dāng)學(xué)生學(xué)完“倍數(shù)關(guān)系”兩種量的假設(shè)關(guān)系后，有學(xué)生就自覺地反思：“老師，假設(shè)策略我好像似曾相識?！薄袄蠋煟僭O(shè)的策略我們并不陌生。”顯然，學(xué)生通過數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)體驗已經(jīng)觸碰到了精神實體。為此，筆者這樣引導(dǎo)學(xué)生：“是啊，假設(shè)策略的運用非常廣泛，我們并不陌生?；貞浺幌拢郧霸谔骄磕男?shù)學(xué)知識時我們運用了假設(shè)的策略呢？”如此，學(xué)生便能積極審視、發(fā)掘自我數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗中的精神實體。結(jié)果學(xué)生們發(fā)現(xiàn)：試商時運用了假設(shè)策略，估算時運用了假設(shè)策略，解決問題時運用了假設(shè)策略等。正是由于學(xué)生觸碰到自我體驗中的精神實體，因而能迸發(fā)出諸多發(fā)現(xiàn)。

觸碰體驗中的精神實體，能讓學(xué)生穿透數(shù)學(xué)知識、技能的表層，直抵?jǐn)?shù)學(xué)知識的本質(zhì)、靈魂深處，直抵學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念深處。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘自我感受、體驗，引導(dǎo)學(xué)生向著“精神實體”的方向漫溯。只有當(dāng)學(xué)生能觸碰到體驗中的精神實體，學(xué)生才能獲得良好的學(xué)科感悟。

3. 觸碰探究中的精神實體

數(shù)學(xué)“精神實體”不僅存在于數(shù)學(xué)知識、學(xué)生體驗之中，還存在于知識探究過程之中。每一門學(xué)科，不僅有學(xué)科差異，而且有基于學(xué)科特質(zhì)的學(xué)習(xí)方式的差異。語文學(xué)科通過讀背還能讓學(xué)生悟出點什么，但數(shù)學(xué)學(xué)科的知識感悟一定是基于理解的。我們要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)觀察、操作、思維、想象，將學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、探究引向深入。教學(xué)中，教師要優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)活動方式，讓學(xué)生能觸碰到數(shù)學(xué)活動、探究過程中的精神實體。

如對于低年級的“認(rèn)數(shù)”，許多教師總認(rèn)為很簡單、小兒科。那么，“認(rèn)數(shù)”這樣一個簡單的知識點背后有“精神實體”嗎？認(rèn)數(shù)的本質(zhì)是什么？學(xué)生為什么要認(rèn)數(shù)？為什么要有計數(shù)單位呢？十進(jìn)制的原理價值在哪里？我校的一位教師執(zhí)教《認(rèn)識整億數(shù)》，采用了學(xué)生喜聞樂見的“變數(shù)游戲”方式，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)游戲活動中觸碰數(shù)學(xué)的精神實體。教師首先出示數(shù)字卡片2，讓學(xué)生擺放到不同數(shù)位上，引導(dǎo)學(xué)生讀數(shù)。同樣一個數(shù)字，為什么可以變化出這么多不同的數(shù)呢？十個阿拉伯?dāng)?shù)字放到這么多的數(shù)位上，能組成多少個不同的數(shù)呢？通過這樣的數(shù)學(xué)游戲，學(xué)生能觸碰到數(shù)的認(rèn)識、讀寫中的精神實體，即“位置值”。正如北京教育學(xué)院著名教授劉加霞所指出的，“學(xué)生學(xué)習(xí)自然數(shù)的兩個核心價值就是進(jìn)制和位值制”。當(dāng)學(xué)生在游戲中意識到不同數(shù)位有不同值后，認(rèn)數(shù)就不僅僅停留在認(rèn)的層面，而是上升到了思想層面。這種位值原理計數(shù)思想凝聚著人類生命實踐的智慧，最能體現(xiàn)數(shù)字、數(shù)學(xué)的神奇與偉大。為深化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知，讓學(xué)生從更深層次上觸摸到精神實體，教師還可進(jìn)行拓展、延伸：有比“千億”大的計數(shù)單位嗎？有比“個”小的計數(shù)單位嗎？通過計數(shù)單位左延、右拓，從精神實體的源頭賦予學(xué)生不同的探索方向，讓學(xué)生的思維觸角不斷延伸，從而感受到認(rèn)數(shù)實體背后美妙的精神實體。

對于數(shù)學(xué)精神實體，教師要做實引導(dǎo)，讓學(xué)生做實探究。通過探究，直擊數(shù)學(xué)知識表層下深藏著的精神實體，以一種超越知識的統(tǒng)攝視角引導(dǎo)學(xué)生去觸碰，就能讓學(xué)生感受、體驗到數(shù)學(xué)精神實體的永恒絢爛 [3]。正如德國著名哲學(xué)家黑格爾所言：“萬物皆精神，精神即實體。”

數(shù)學(xué)精神實體具有一種自組織、自生長的力量。數(shù)學(xué)精神實體是客觀存在的，但又不能被學(xué)生直觀感知到。只有引導(dǎo)學(xué)生不斷地探究，撥開數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的層層迷霧，學(xué)生才能窺視、觸碰到數(shù)學(xué)的精神實體。數(shù)學(xué)精神實體召喚著學(xué)生的不斷探究，作為教師，要引導(dǎo)學(xué)生去觸碰，并努力讓數(shù)學(xué)的精神實體能駐扎于學(xué)生心間！

參考文獻(xiàn)：

[1] ?魯小超. 奏響三重奏，演繹完美的“精神實體”. 小學(xué)科學(xué)（教師版），2016（05）﹒

[2] ?張祖潤. “精神實體”：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)價值的新視角[J]﹒江蘇教育研究，2013（11）﹒

[3] ?蔡月珍. 數(shù)學(xué)教學(xué)如何向“精神實體”目標(biāo)伸展[J]. 小學(xué)教學(xué)研究，2010（09）﹒