周潔

【摘要】在當(dāng)前實(shí)施新課標(biāo)，注重培養(yǎng)學(xué)生素質(zhì)的大環(huán)境下，開發(fā)高中學(xué)生的思維潛能，提高思維品質(zhì)，具有十分重大的意義.本文以具體數(shù)學(xué)問題為例，探討了如何培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)發(fā)散思維的培養(yǎng)策略.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);發(fā)散思維;培養(yǎng)策略

一、發(fā)散問題的解法

在教學(xué)過程中，用多種方法，從各個(gè)不同角度和不同途徑去尋求問題的答案，用一題多解來培養(yǎng)學(xué)生思維過程的靈活性.

例1求證：1-cos2θ+sin2θ1+cos2θ+sin2θ=tgθ.

證法1（運(yùn)用二倍角公式統(tǒng)一角度）

左=2sin2θ+2sinθcosθ2cos2θ+2sinθcosθ=2sinθ（sinθ+cosθ）2cosθ（sinθ+cosθ）=右.

證法2（逆用半角公式統(tǒng)一角度）

左=1-cos2θsin2θ+11+cos2θsin2θ+1=tgθ+1ctgθ+1=右.

證法3（運(yùn)用萬能公式統(tǒng)一函數(shù)種類）設(shè)tgθ=t，

左=1-1-t21+t2+2t1+t21+1-t21+t2+2t1+t2=2t2+2t2t+2=t=右.

證法4∵tgθ=1-cos2θsin2θ（構(gòu)法分母sin2θ并促使分子重新組合，在運(yùn)算形式上得到統(tǒng)一），

∴左=（1-cos2θ+sin2θ）sin2θ（1+cos2θ+sin2θ）sin2θ=1-cos2θsin2θ=右.

證法5可用變更論證法.只要證下式即可.

（1-cos2θ+sin2θ）sin2θ=（1-cos2θ）（1+cos2θ+sin2θ）.

證法6由正切半角公式tgθ=1-cos2θsin2θ=sin2θ1+cos2θ，利用合分比性質(zhì)，則命題得證.

通過一題多解引導(dǎo)學(xué)生歸納證明三角恒等式的基本方法：（1）統(tǒng)一函數(shù)種類;（2）統(tǒng)一角度;（3）統(tǒng)一運(yùn)算.

一題多解可以拓寬思路，增強(qiáng)知識(shí)間聯(lián)系，學(xué)會(huì)多角度思考解題的方法和靈活的思維方式.

二、發(fā)散問題的結(jié)論

對結(jié)論的發(fā)散是指確定了已知條件后沒有現(xiàn)成的結(jié)論.讓學(xué)生自己盡可能多地探究尋找有關(guān)結(jié)論，并進(jìn)行求解.

例2已知：sinα+sinβ=13（1），cosα+cosβ=14（2），由此可得到哪些結(jié)論？

讓學(xué)生進(jìn)行探索，然后相互討論研究，各抒己見.

想法一（1）2+（2）2可得cos（α-β）=-263288（兩角差的余弦公式）.

想法二（1）×（2），再和差化積：sin（α+β）[cos（α-β）+1]=112.

結(jié)合想法一可知：sin（α+β）=2425.

想法三（1）2-（2）2再和差化積：

2cos（α+β）[cos（α-β）+1]=-7144.

結(jié)合想法一可知：可得cos（α+β）=-725.

想法四（1）（2），再和差化積約去公因式可得：tgα+β2=43，進(jìn)而用萬能公式可求：

sin（α+β），cos（α+β），tg（α+β）.

想法五由sin2α+cos2α=1消去α得：

4sinβ+3cosβ=2524，

消去β可得4sinα+3cosα=2524（消參思想）.

想法六（1）+（2）并逆用兩角和的正弦公式：

sinα+π4+sinβ+π4=7224.

（1）-（2）并逆用兩角差的正弦公式.

sinα-π4+sinβ-π4=224.

想法七（1）×3-（2）×4：

3sinα-4cosα+3sinβ-4cosβ=0，

sin（α-θ）+sin（β-θ）=0θ=arctg43，

即2sinα+β-2θ2·cosα-β2=0，

∴α=2kπ+π+β（與已知矛盾舍去）或α+β=2kπ+2θ（k∈Z），

則sin（α+β），cos（α+β），tg（α+β）均可求.

開放型題目的引入，可以引導(dǎo)學(xué)生從不同角度來思考.不僅僅思考條件本身，而且要思考條件之間的關(guān)系.要根據(jù)條件運(yùn)用各種綜合變換手段來處理信息、探索結(jié)論，有利于思維起點(diǎn)靈活性的培養(yǎng)，也有利于孜孜不倦的鉆研精神和創(chuàng)造力的培養(yǎng).

總之，在平時(shí)的教學(xué)中，要多注意各種基礎(chǔ)知識(shí)間的聯(lián)系與區(qū)別，注意積累各種基本的解題技能與技巧，不斷地對零散的知識(shí)進(jìn)行整合，對各種方法進(jìn)行歸納，這樣才可以在解題時(shí)靈活調(diào)動(dòng)相關(guān)知識(shí)、方法，迅速準(zhǔn)確地解題.