郭魏麗

【摘要】初中數(shù)學課本里的習題是專家們經(jīng)過反復推敲和琢磨選定的，這些題目充分體現(xiàn)了基礎(chǔ)教育課程標準的精神和數(shù)學學科的核心素養(yǎng)，蘊含著數(shù)學思想的典型性、示范性，題目本身具有很強的遷移性。本文對2018年廣州市中考題里的其中一道題進行深入研究，結(jié)合課本中的習題，進行一題多解、多題歸一的分析。

【關(guān)鍵詞】課本習題；初中數(shù)學；一題多解

課本中的一些典型習題是命題專家們青睞的對象，通過對題目的條件、圖形、提問方式等改編，可以衍變出豐富多樣的題目。但在信息技術(shù)推動的多媒體教學環(huán)境下，教師經(jīng)常直接用課件和課堂學案代替課本內(nèi)容，導致學生也忽略了課本的重要性。這樣舍本逐末的教法和學法，對中考備考的系統(tǒng)復習是很不利的。筆者認為，教師在教學中應引導學生重視課本的例題和習題，對習題進行不同角度的改編、拓展和延伸，充分發(fā)揮這些題目的示范作用。下面結(jié)合2018年廣州市中考第23題中的第二問和課本上與之相關(guān)的習題，探討一題多解與多解歸一、一題多變與多題歸一的問題。

一、鏈接中考，一題多解與多解歸一

題目：在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB>CD，AD=AB+CD（見圖1）。

（1）利用尺規(guī)作∠ADC的平分線DE，交BC于點E，連接AE（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）的條件證明：AE⊥DE。

第一問省略，第二問解題思路如下：

方法一：利用平行線的性質(zhì)與判定、全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形三線合一等知識。

證明：延長DE、AB交于點F（見圖2）

∵DE平分∠ADC

∴∠CDF=∠ADF

∵∠B=∠C=90°

∴CD∥AB

∴∠CDF=∠F，∠ADF=∠F

∴AD=AF

∵AF=AB+BF，AD=AB+CD

∴CD=BF

∵在△CDE與△BFE中，CD=BF，∠EBF=∠C=90°，∠DEC=∠FEB

△CDE≌△BFE（AAS）

DE=FE，又△ADF為等腰三角形

AE⊥DE

運用方法一解題時，有些學生審題不清，沒有系統(tǒng)理解知識的內(nèi)在聯(lián)系，導致出錯。例如：延長AB，在AB上截取BF=DC，連接EF，默認點D、點E、點F三點共線，直接證△CDE≌△BFE；默認CE=BE；錯誤利用等腰三角形的三線合一等。

方法二：利用截長補短、全等三角形的性質(zhì)與判定、角平分線的性質(zhì)、平角為180°等知識。

證明：在AD上截取點F，使DF=DC（見圖3）（注：在AD上截取點F，使AF=AB亦可）

∵DE平分∠ADC，∠FDE=∠CDE，在△FED和△CDE中，DF=DC，∠FDE=∠CDE，DE=DE

∴△FED≌△CDE（SAS）

∴∠DFE=∠DCE=90°，∠AFE=180°-∠DFE=90°，∠DEF=∠DEC

∵AD=AB+DC=AF+DF，且DF=DC

∴AF=AB

∴Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）

∴∠AEB=∠AEF

∴∠AED= ∠AEF+ ∠DEF=∠CEF+∠BEF

∴AE⊥DE

這里截長補短有兩種方式，選擇在AD上截取DF=DC的方法可以直接得到△FED與△CDE全等的條件，不容易走入誤區(qū)；選擇在AD上截取AF=AB，不能直接證△AFE與Rt△ABE全等，要先由AD=AB+DC這個條件，得到DF=DC，證明△FED與△CDE全等，得到EC=EF，再證△AFE與Rt△ABE全等，這樣證明比較復雜，也容易出錯。

方法三：利用直角三角形的性質(zhì)與判定、角平分線的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)與判定等知識。

證明：作EF⊥AD交AD于點F（見圖4）

∵DE平分∠ADC

∴∠CDF=∠ADF

∵在△FED和△CDE中，DE=DE，∠DFE=∠DCE=90°，∠CDF=∠EDF

∴△FED≌△CDE（AAS）

∴DC=DF

∵AD=AB+DC=AF+DF

∴AF=AB

∵在Rt△FEA和Rt△EBA中， AE=AE，AF=AB

∴Rt△FEA≌Rt△EBA（HL）

∴∠FAE=∠BAE

∵∠B=∠C=90°

∴∠B+∠C=180°

∴AB//CD

∴∠CDA+∠DAB=180°

∴∠ADE+∠EAD= ∠CDA+ ∠DAB=90°

∴∠AED=180-（∠ADE+∠EAD）=90°

∴AE⊥DE

運用方法三解題時，部分學生誤用了角平分線的性質(zhì)定理，沒有抓住“一分兩垂得線等”的關(guān)鍵是確定誰是角平分線上的點，錯誤地認為可以直接得到DC=DF；有些學生把EF=EB=EC當做已知條件用，但卻并沒有證明。

以上三種解法中發(fā)現(xiàn)，輔助線做法不同，過程難易程度也不盡相同，但本題的核心考點仍然是全等三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵的思路是構(gòu)造全等三角形。

下面來看一下課本上通過改變已知條件、圖形、設(shè)問方式等延伸出來的與上題相似的題目。

二、重視課本，一題多變與多題歸一

題目一（人教版8年級上冊P52第7題）：已知∠B=∠C=90°，E是BC的中點，DE平分∠ADC，求證：AE是∠DAB的平分線。

證明：作EF⊥AD交AD于點F（見圖5）

∵DE平分∠ADC

∴∠CDF=∠ADF

∵在△FED和△CDE中，

DE=DE，∠DFE=∠DCE=90°，∠CDF=∠EDF

∴△FED≌△CDE（AAS）

∴EC=EF

∵點E是BC的中點

∴EC=EB

∴EF=EB

∵∠B=∠AFE=90°，在Rt△FEA和Rt△EBA中， AE=AE，EF=EB

∴Rt△FEA≌Rt△EBA（HL）

∴∠FAE=∠BAE

∴AE是∠DAB的平分線

本題的圖形跟上題一樣，都是直角梯形模型，本題將上題中的已知條件AD=AB+CD變成了E是BC的中點，這樣線段之間的相等關(guān)系更容易找到，實際上降低了題目的難度，解決本題的關(guān)鍵也是構(gòu)造全等三角形。另外本題還可以改編成求證：AD=AB+CD，方法和思路同上。

題目二 （人教版9年級上冊102第11題）：如圖6，AB，BC，CD分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G，且AB∥CD，BO=6cm，CO=8cm.求BC的長。

證明：連接OE，OF，OG（見圖6）

∵AB，BC，CD分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G

∴OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD

∵OE=OF，OE⊥AB，OF⊥BC

∴BO是∠ABC的平分線

∴∠OBE=∠OBF

同理可證∠OCG=∠OCF

∵AB∥CD

∴∠ABC+∠DCB=180°

∴∠OBF+∠OCF=90°

∴OB⊥OC

∵在Rt△BOC中，BO=6cm，CO=8cm

∴ cm

本題將直角梯形和圓結(jié)合在一起，圖形看上去相對復雜，但只是將上題中的直角條件以圓的切線的形式呈現(xiàn)，實質(zhì)上，解題思路跟上題類似，關(guān)鍵還是證明OB⊥OC。

三、研究課本習題對教學的啟示

第一，關(guān)注教材，充分發(fā)揮教材中題目的示范作用。課本是體現(xiàn)數(shù)學學科核心素養(yǎng)的直接載體，在教學實踐中，教師要創(chuàng)造性地運用課本，重視課本中具有代表性的習題或例題——它們是中考命題的參考，既有知識的堅守又有考點的創(chuàng)新，所提供的解題策略是求解同類問題的重要模型。在教學中，教師應深入研究課本，充分發(fā)揮教材中題目的示范作用。

第二，關(guān)注學生，注重培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力。對課本中典型例題和習題的研究是中考復習的一個重要環(huán)節(jié)，教師可以通過引導學生改變題目中的條件、結(jié)論、圖形等進行變式教學，讓學生的思維活躍起來，不斷強化學生對知識和方法的理解，引領(lǐng)學生進行多角度、多層次的思考，提高學生分析問題和解決問題的能力。與此同時，教師也要不斷地學習，提高自身的綜合業(yè)務能力，為學生的數(shù)學學習保駕護航。

第三，關(guān)注方法，培養(yǎng)學生一題多解和多題歸一的數(shù)學思維。一道好題的解題方法和出題方式往往千變?nèi)f化，但歸根結(jié)底是萬變不離其宗。求“變”可培養(yǎng)學生思維的靈活性和敏捷性，追“宗”可培養(yǎng)學生思維的深刻性和嚴謹性。通過對核心知識的歸納和整理，學生將所學的知識與技能“由厚到薄”，使知識結(jié)構(gòu)更系統(tǒng)化。因此，教師要引導學生在學習中不斷總結(jié)做題的方法和技巧，學生只有認清題目本質(zhì)、理解題目內(nèi)涵，才能真正地學會數(shù)學、學好數(shù)學。

參考文獻：

[1]池旭.一題多解尋求多種解題方法[J].中學數(shù)學，2016（3）：70-72.

[2]張寧.一道課本習題在中考中的堅守與創(chuàng)新[J].數(shù)理化學習（初中版），2017（7）：15-18.