朱滿(mǎn)華

【摘要】數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的起點(diǎn)，是進(jìn)行邏輯推理和運(yùn)算的保證。對(duì)概念的理解模糊不清，就會(huì)出現(xiàn)運(yùn)算不靈、邏輯推理錯(cuò)誤的現(xiàn)象。例如，在“實(shí)數(shù)的平方根”這個(gè)概念的教學(xué)中，學(xué)生沒(méi)有真正理解 “實(shí)數(shù)的平方根” 的概念，很容易出現(xiàn) 16 的平方根表示為或的錯(cuò)誤，一旦學(xué)生對(duì)此概念的錯(cuò)誤理解未能得到有效的糾正，他們將會(huì)在以后的學(xué)習(xí)中延續(xù)同樣的錯(cuò)誤。因此，我們要重視中學(xué)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)。

【關(guān)鍵詞】中學(xué)；數(shù)學(xué)概念；數(shù)學(xué)概念教學(xué)

概念是客觀事物的本質(zhì)屬性在人們頭腦中抽象、概括的反映。一個(gè)概念的形成過(guò)程通常是按感覺(jué)—知覺(jué)—表象—概念的過(guò)程。數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系及其特征在思維中的反映。數(shù)學(xué)概念的形成也要通過(guò)人的感官形成感覺(jué)、知覺(jué)，通過(guò)大腦加工—比較、分析、綜合、概括—形成。因此完成一個(gè)概念的教學(xué)，不能平鋪直敘，或簡(jiǎn)單地要求學(xué)生死記條文、定義，而是讓學(xué)生了解概念的來(lái)龍去脈，理解概念，才能使他們做到學(xué)以致用。這就要求老師必須根據(jù)概念的特點(diǎn)和學(xué)生的知識(shí)水平，認(rèn)真設(shè)計(jì)概念的引入，明確其定義，然后深化概念的理解，最后還要加強(qiáng)概念的鞏固。

一、認(rèn)真設(shè)計(jì)概念的引入，明確其定義

概念在其形成的過(guò)程中逐漸明朗化。任何一個(gè)概念的產(chǎn)生都有它的實(shí)際過(guò)程，在概念的形成過(guò)程中，認(rèn)識(shí)它的必要性和合理性，可以達(dá)到理解概念訓(xùn)練思維的目的。

1. 提供數(shù)學(xué)模型，通過(guò)觀察、比較、分析、歸納概念的定義

（1）通過(guò)對(duì)實(shí)例的比較、分析、歸納概念的定義

中學(xué)數(shù)學(xué)概念中，如映射、等差數(shù)列、等比數(shù)列等，都是從實(shí)例中歸納總結(jié)出來(lái)的。如在新教材（第一冊(cè)（下））里學(xué)習(xí)“等比數(shù)列”時(shí)，先列出三個(gè)數(shù)列：

讓學(xué)生觀察數(shù)列①②與數(shù)列③的異同之處，學(xué)生很容易得出這樣的結(jié)論：對(duì)于①和②兩個(gè)數(shù)列，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都是一個(gè)不為零的常數(shù)。由此，我們很容易導(dǎo)出等比數(shù)列的概念。通過(guò)對(duì)比，學(xué)生可很快掌握等比數(shù)列的概念和本質(zhì)屬性。

（2）通過(guò)觀察圖形，引出概念，歸納其定義

在教學(xué)過(guò)程中，有些概念是可以結(jié)合圖形進(jìn)行闡述的。如在講授函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，可先呈獻(xiàn)如下兩圖。引導(dǎo)學(xué)生觀察兩圖中的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。學(xué)生容易得出這樣的結(jié)論： ①兩個(gè)函數(shù)圖象都是連續(xù)的，因而這兩個(gè)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。②圖1從左至右是下降的圖象，y隨x的增大而減少；圖2從左至右是上升的圖象，y隨x的增大而增大。

2. 提出問(wèn)題，引導(dǎo)探究，得出定義

第一，提出問(wèn)題，通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作進(jìn)行探究。如在高二解析幾何橢圓的概念教學(xué)中，先提出“到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)的軌跡是什么？”根據(jù)此問(wèn)題，可讓學(xué)生準(zhǔn)備一根無(wú)彈性的繩子和圓規(guī)，引導(dǎo)學(xué)生按繩子長(zhǎng)分別小于、等于、大于兩定點(diǎn)距離三種情況，進(jìn)行畫(huà)圖，學(xué)生容易得到繩子長(zhǎng)小于兩定點(diǎn)距離時(shí)不能作圖即沒(méi)有軌跡，等于時(shí)軌跡是兩點(diǎn)間的線段、大于時(shí)軌跡是一個(gè)橢圓，從而得出橢圓定義。

第二，根據(jù)數(shù)學(xué)內(nèi)在發(fā)展需要，提出問(wèn)題，得出定義。如在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)方程x2+1=0的解是什么？學(xué)生顯然很容易知道此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，為了使它有解，就引入一個(gè)新數(shù)i，i滿(mǎn)足x2=-1，它和實(shí)數(shù)在一起可以按四則運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，由此引入復(fù)數(shù)的概念，于是方程x2+1=0就有解了。

二、充分揭示概念的內(nèi)涵和外延，深化概念的理解

第一，用集合的觀點(diǎn)闡明概念間的內(nèi)在聯(lián)系，深刻揭示概念的內(nèi)涵和外延，從而深化概念的理解。例如數(shù)的概念中，從自然數(shù)到有理數(shù)、無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)、虛數(shù)、再到復(fù)數(shù)，構(gòu)成了復(fù)數(shù)這一完整的整體?？梢粤幸粋€(gè)數(shù)系圖如下。

第二，抓住概念的本質(zhì)特征，從概念的內(nèi)涵和外延上作深入的剖析，從而深化概念的理解。如三角函數(shù) ，可這樣揭示正弦函數(shù)的值的本質(zhì)是一個(gè)“比值”，它是α終邊上任一點(diǎn)的縱坐標(biāo)y與這一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r的比值，由于y≤r，因此是一個(gè)不超過(guò)1的數(shù)值；這個(gè)比值與點(diǎn)在角的終邊上的位置無(wú)關(guān)，這個(gè)比值的大小隨的變化而變化，當(dāng)α取某個(gè)確定的值，比值也有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)。如此以函數(shù)為基本線索，從中找出自變量、函數(shù)以及對(duì)應(yīng)法則，從而對(duì)正弦函數(shù)理解就比較深刻了。經(jīng)這內(nèi)涵分析后，指出角的終邊上任意一點(diǎn)P（x、y）一經(jīng)確定，就涉及x、y、r這三個(gè)量，任取其中兩個(gè)量組成比值，有且只有六個(gè)，因此基本三角函數(shù)只有六個(gè)。這樣對(duì)三角函數(shù)的外延就揭示得十分清楚了，從而對(duì)三角函數(shù)的概念有一個(gè)既有“質(zhì)”又有“量”的完整統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)和理解。

第三，充分利用圖形，使抽象的概念直觀化、具體化，深刻揭示概念的內(nèi)涵和外延，從而深化概念的理解。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，通過(guò)揭示概念的形狀與其意義之間的聯(lián)系，使學(xué)生加深對(duì)概念的理解和掌握。因此，在教學(xué)中應(yīng)特別重視數(shù)學(xué)概念幾何意義的揭示，數(shù)學(xué)概念的幾何意義對(duì)概念作出了直觀的解釋?zhuān)垢拍罡庇^、更易于理解。在高中數(shù)學(xué)教材中有許多概念，如橢圓、雙曲線、拋物線的概念，熟悉圖形可得出焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、對(duì)稱(chēng)軸、中心、離心率、長(zhǎng)短軸、實(shí)虛軸以及漸近線等概念，對(duì)加深理解概念的性質(zhì)與記憶概念很有幫助。

三、加強(qiáng)概念的鞏固

心理學(xué)原理告訴我們，概念一旦獲得，如不及時(shí)鞏固，就會(huì)被遺忘。鞏固的主要手段是應(yīng)用和歸納總結(jié)。

1. 在應(yīng)用中鞏固概念

我們選擇習(xí)題時(shí)，可選具有概念性、典型性的。如學(xué)習(xí)了反函數(shù)有關(guān)概念之后，設(shè)函數(shù) ，求f -1（2）的值。一般的思路是先求出反函數(shù)f -1（x），再求f -1（2）的值。但是如果直接應(yīng)用反函數(shù)的概念，所求f -1（2）的值就是原函數(shù)f （x）函數(shù)值等于2時(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量的值，即方程 的解，這樣就比一般的思路快捷多了。

2.歸納總結(jié)，加強(qiáng)概念的鞏固

在某些章節(jié)講完之后，老師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)，以鞏固對(duì)概念的理解。例如：在講完圓錐曲線這一章后，可把有關(guān)的圖形和性質(zhì)，根據(jù)它們的內(nèi)在聯(lián)系，列成一個(gè)完整的知識(shí)表，具體如下。

總之，中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，對(duì)構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高認(rèn)知水平，培養(yǎng)思維能力有重要意義。教學(xué)時(shí)，輔以靈活多樣的教法使學(xué)生牢固掌握概念的實(shí)質(zhì)及概念彼此間的聯(lián)系與區(qū)別，理清概念的脈絡(luò)和體系。

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