鐘雪媛

【摘要】近4年高考全國Ⅰ卷的理科數(shù)學(xué)的概率與統(tǒng)計(jì)的解答題背景來源于生活實(shí)際。2018年全國Ⅰ卷的理科數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)解答題位于20題，2019年全國Ⅰ卷的理科數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)解答題放在壓軸題的位置。該試題的解答對數(shù)據(jù)分析，數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)運(yùn)算，邏輯推理，數(shù)學(xué)建模有一定的要求。本文從簡要分析兩道高考解答題的基礎(chǔ)上，就高三復(fù)習(xí)如何促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，提出幾點(diǎn)高考備考建議。

【關(guān)鍵詞】概率統(tǒng)計(jì);試題分析;備考啟示

一、引言

概率統(tǒng)計(jì)是近代數(shù)學(xué)的重要分支也是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。近4年高考全國Ⅰ卷的理科數(shù)學(xué)的概率與統(tǒng)計(jì)的解答題背景來源于生活實(shí)際。概率與統(tǒng)計(jì)解答題在2018年全國Ⅰ卷的理科數(shù)學(xué)位于20題，而在2019年理科數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷放在壓軸題的位置。解答題綜合考查了學(xué)生通過審題提取有效信息，分析數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力。而回歸考綱，《2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱的說明（理科）》考綱主要考查考生統(tǒng)計(jì)內(nèi)容中的隨機(jī)抽樣，用樣本估計(jì)總體，變量的相關(guān)性，包括線性回歸分析，獨(dú)立性檢驗(yàn);概率則考查隨機(jī)事件的概率，古典概型，隨機(jī)數(shù)與幾何概型，離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差，正態(tài)分布。統(tǒng)計(jì)考查重點(diǎn)是應(yīng)用回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)思想方法和用樣本估計(jì)總體，概率則重點(diǎn)考查古典概型，離散型隨機(jī)變量的分布列、期望和方差。所以，本文以2019年的高考理科數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷為載體，著重從分析解答題中，深度探索高中概率統(tǒng)計(jì)中高考備考的復(fù)習(xí)對策。

二、試題分析

1.試題呈現(xiàn)

（2019年全國高考Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第21題）（見下圖）

2.考查思路分析

該題以生物科技試驗(yàn)為背景，由概率值解釋試驗(yàn)方案的合理性。將概率與數(shù)列結(jié)合，綜合性強(qiáng)，作為壓軸題，具有創(chuàng)新性。對學(xué)生而言，對其數(shù)學(xué)應(yīng)用、創(chuàng)新也有新的要求。審題時(shí)，如何從403個(gè)字符里抽象出數(shù)學(xué)模型，邏輯推理的能力.突出了學(xué)生對數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的考查。該題以分布列，數(shù)列證明作為基礎(chǔ)知識，通過離散型隨機(jī)變量分布列，遞推關(guān)系證明等比數(shù)列的方法以及累加法求通項(xiàng)的方法基礎(chǔ)知識方法。對該題中的條件“當(dāng)甲藥治愈比乙藥治愈多4只或當(dāng)乙藥治愈比甲藥治愈的多4只時(shí)，則停止”“在每輪試驗(yàn)中，若甲藥治愈且乙藥未治愈則甲得1分，乙得-1分”，反之“若乙藥治愈且甲藥未治愈則乙1分，甲得-1分”“均治愈或者均未治愈則兩藥為0分”進(jìn)行信息分析整合.通過第二小題第一問“（）為等比數(shù)列”，通過觀察問題結(jié)構(gòu)為的形式，利用累加法求出第2問中的。對學(xué)生對數(shù)列遞推關(guān)系的掌握，也即對其分析和解決問題的能力要求較高。

3.解答思路分析

依據(jù)信息，第一問由題意可知X表示的是一輪試驗(yàn)中甲藥的得分，又因?yàn)轭}目中的約定，易知X的所有可能的取值為：-1，0，1。利用甲藥與乙藥得分的“相關(guān)性”求解概率，再根據(jù)獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式和離散型隨機(jī)變量分布列等基礎(chǔ)知識寫出分布列。第二問分為2小題，第1小題由“， ，（i=1，2，…，7）其中，，，結(jié)合第1小題的提示“（i=1，2，…，7）為等比數(shù)列”運(yùn)用構(gòu)造法得出等比數(shù)列的證明。第2小題由第1問中遞推公式應(yīng)用累加法求通項(xiàng)得出，再結(jié)合題干中“假設(shè)，”，總結(jié)出該試驗(yàn)方案的合理性。

4.解答過程

表示在初始4分的情況下，甲藥累計(jì)得分為4時(shí)，認(rèn)為甲藥比乙藥更有效的概率僅為，而事實(shí)上確實(shí)如此，因?yàn)橐宜幍闹斡蚀笥诩姿帲蔬@種試驗(yàn)方案是合理的。

三、2020高考備考啟示

1.把握高考命題方向

高考備考中，對真題的研究與解讀，把握備考方向顯得尤為重要。通過對近4年的高考概率統(tǒng)計(jì)解答題的背景，命題方向，問題解決的難點(diǎn)突破分析對比，全國卷對概率統(tǒng)計(jì)的考查由偏重概率到概率統(tǒng)計(jì)結(jié)合，到偏重統(tǒng)計(jì)到概率統(tǒng)計(jì)與其他知識點(diǎn)結(jié)合。按照表格，19年概率統(tǒng)計(jì)解答題結(jié)合數(shù)列，難度較之18年的題目也是增加，預(yù)計(jì)2020年的概率統(tǒng)計(jì)試題依然會保持近4年的命題思路，推陳出新。

而對于學(xué)生，近幾年的高考概率統(tǒng)計(jì)解答題字符數(shù)多，閱讀量大，對于信息數(shù)據(jù)的處理能力要求就更高了.而試題背景多為生活實(shí)際問題，應(yīng)用性強(qiáng).從命題角度思考，試題對樣本數(shù)據(jù)的概率及其分布進(jìn)行考查，考查統(tǒng)計(jì)規(guī)律，結(jié)合其他知識點(diǎn)對數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)分析。那么，在概率復(fù)習(xí)教學(xué)中要立足隨機(jī)試驗(yàn)，重點(diǎn)是隨機(jī)變量，概率模型的選取。而在統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)中要體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)的過程，結(jié)合統(tǒng)計(jì)案例的分析，統(tǒng)計(jì)模型的理解，突出統(tǒng)計(jì)思想。

2.研讀考綱，回歸教材，注重概率統(tǒng)計(jì)與其他知識點(diǎn)的結(jié)合

命題專家專業(yè)知識深厚，對于知識點(diǎn)的串聯(lián)更加游刃有余，結(jié)合時(shí)事熱點(diǎn)，契合考綱命制出創(chuàng)新性題目。而近幾年的高考概率統(tǒng)計(jì)所結(jié)合的知識點(diǎn)不穩(wěn)定，甚至?xí)疾椤袄溟T”邊角知識。這也要求我們在平時(shí)復(fù)習(xí)中要注意真題中暫時(shí)考查頻率較低的正態(tài)分布、條件概型、殘差圖、擬合效果等。近幾年的試題基本是生產(chǎn)方案決策問題，方案判斷問題，注重與其他知識點(diǎn)的結(jié)合。例如，2019年的高考全國Ⅰ卷解答題與數(shù)列證明相結(jié)合，往前一年，2018年全國Ⅰ卷則對函數(shù)、導(dǎo)數(shù)內(nèi)容綜合考查，2016年的試題與不等式內(nèi)容結(jié)合。這也啟發(fā)教師在高考復(fù)習(xí)備考中要重視概率統(tǒng)計(jì)與其它專題的知識結(jié)合，比如，函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、三角等綜合性練習(xí)，在備考其他專題知識學(xué)習(xí)中也要強(qiáng)化知識之間的聯(lián)系，舉一反三，深度學(xué)習(xí)。

3.關(guān)注統(tǒng)計(jì)圖表、樣本數(shù)字特征與事件類型和概率模型

高考概率統(tǒng)計(jì)解答題在考查隨機(jī)變量分布列，數(shù)學(xué)期望和樣本的數(shù)字特征可能通過頻率分布直方圖，折線圖，莖葉圖的形式出現(xiàn)。這樣有利于考查學(xué)生的數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)分析與處理能力，在高考備考復(fù)習(xí)中建議先對每種統(tǒng)計(jì)表進(jìn)行了解，如何看表，如何從表中提取有效信息，再結(jié)合實(shí)際問題分析，也會大大降低難度。

樣本的數(shù)字特征，首先要理解數(shù)字特征的含義，例如，眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的表示的含義，要求學(xué)生能根據(jù)實(shí)際問題選取合理的特征進(jìn)行說明。建議在平時(shí)復(fù)習(xí)中能讓學(xué)生能夠理解數(shù)字特征的含義，加強(qiáng)學(xué)生的利用數(shù)字特征來描述數(shù)學(xué)問題。

事件，理解互斥、對立事件及獨(dú)立事件的含義，根據(jù)具體問題，分析屬于哪種事件，再結(jié)合不同事件類型計(jì)算概率.對于概率模型，有超幾何分布、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布等。而理解好事件模型對于選取概率模型也是有幫助的。所以，在高考備考中，對于把握概念，如何更好地理解事件類型，從何角度理解（如集合角度理解獨(dú)立事件與互斥事件）？如何分辨二項(xiàng)分布與超幾何分布？首先試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，常見的信息有，有放回的抽取，即每次抽取概率不變，選二項(xiàng)分布;又或者題目樣本總數(shù)很大的字眼的時(shí)候即使不放回，也要選二項(xiàng)分布。當(dāng)題目中出現(xiàn)N次完全相同重復(fù)試驗(yàn)并且試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，樣本個(gè)體有限，不重復(fù)抽樣，我們簡稱有放回的抽樣，那么求試驗(yàn)成功的次數(shù)選用的概率分布模型是超幾何分布。

四、結(jié)語

2020年全國高考作為一個(gè)分界點(diǎn)，也是新的開始，概率統(tǒng)計(jì)地位的提高，也是發(fā)揮核心素養(yǎng)在教學(xué)育人中重要體現(xiàn)。作為一線教師，更需要在深度解讀全國卷的同時(shí)，也要深化對核心素養(yǎng)的理解。

參考文獻(xiàn)：

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